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6.4 导学5　余弦定理、正弦定理应用举例
知识点一　测量距离
例1　(1)如图所示，一名学生在河岸紧靠笔直的岸边行走，开始在A处，经观察，在河的对岸有一参照物C，AC与学生的前进方向成30°角，学生前进200 m后到达点B，测得BC与前进方向成75°角.①点A与参照物C间的距离为　100(＋1)　m；②河的宽度为　50(＋1)　m.
【解析】 ①由已知，得∠ABC＝105°，∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴AC＝＝100(＋1) m，即点A与参照物C间的距离为100(＋1) m.②河的宽度为ACsin30°＝100(＋1)×＝50(＋1) m.
(2)如图所示，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为　900　m.
【解析】 ∵∠PAB＝90°，∠PAQ＝60°，∴∠BAQ＝30°.在△ABQ中，∵∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠ABQ＝120°，又∠BAQ＝30°，∴∠AQB＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，得＝，∴AQ＝900.在Rt△ABP中，可得AP＝ABtan 60°＝900，∴AQ＝AP＝900，又∠PAQ＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴PQ＝900，∴P，Q两点间的距离为900 m.
[反思感悟]　求两个不可到达的点之间的距离的基本方法：
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形.
(2)把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解.
知识点二　测量高度
例2　(2024·广东湛江模拟)山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北.整个黄河楼的主色调为灰红，其寓意为黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的雄伟壮观.如图所示，小张为了测量黄河楼的实际高度AB，选取了与楼底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝95°，CD＝116 m，在点D处测得黄河楼顶端A的仰角为45°，求黄河楼的实际高度(结果精确到0.1 m，sin 55°≈0.82).
　
解：由题知∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝55°，
在△BCD中，由正弦定理得＝，
则BD＝＝≈≈70.73 m.　
在△ABD中，AB⊥BD，∠ADB＝45°，
∴AB＝BDtan∠ADB＝BD≈70.73 m，故黄河楼的实际高度约为70.7 m.
[反思感悟]　解决测量高度问题的一般步骤：
(1)画图：根据已知条件画出示意图；
(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；
(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题过程中，要综合运用几何知识与方程思想.
知识点三　测量角度
例3　在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船.此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
解：设缉私船用t小时在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos120°＝6，∴BC＝，且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝×＝，
∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°，即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.
[反思感悟]　解决测量角度问题的基本思路：解决测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
1. 若P在Q的北偏东44°50'方向，则Q在P的(　C　)
A. 东偏北45°10'方向 B. 东偏北44°50'方向
C. 南偏西44°50'方向 D. 西偏南44°50'方向
2. 从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　B　)
A. α＞β B. α＝β
C. α＋β＝90° D. α＋β＝180°
3. 两灯塔A，B与海洋观察站C之间的距离都等于a(单位：km)，灯塔A在C北偏东30°方向，B在C南偏东60°方向，则A，B之间的距离为(　A　)
A. a km B. a km
C. a km D. 2a km
4. 一船以15 km/h的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔之间的距离为　30　km.(共18张PPT)
四、 平面向量的应用
导学5　余弦定理、正弦定理应用举例
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　测量距离
例1　(1)如图所示，一名学生在河岸紧靠笔直的岸边行走，开始在A
处，经观察，在河的对岸有一参照物C，AC与学生的前进方向成30°
角，学生前进200 m后到达点B，测得BC与前进方向成75°角.①点A
与参照物C间的距离为 　100(＋1)　m；②河的宽度为 　 5m.
100(＋1)　
50(＋1)
【解析】 ①由已知，得∠ABC＝105°，
∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.在△ABC中，
由正弦定理，得 ＝ ，
∴AC＝ ＝100(＋1) m，即点A与参照
物C间的距离为100(＋1) m.
②河的宽度为AC sin 30°＝100(＋1)× ＝50(＋1) m.
(2)如图所示，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上
一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端
点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝
60°，则P，Q两点间的距离为 m.
900　
【解析】 ∵∠PAB＝90°，∠PAQ＝60°，∴∠BAQ＝30°.在△ABQ中，∵∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠ABQ＝120°，
又∠BAQ＝30°，∴∠AQB＝180°－120°－30°
＝30°.由正弦定理，得 ＝ ，∴AQ＝900.
在Rt△ABP中，可得AP＝ABtan60°＝900，
∴AQ＝AP＝900，又∠PAQ＝60°，∴△APQ是等边三角
形，∴PQ＝900，∴P，Q两点间的距离为900 m.
[反思感悟]　求两个不可到达的点之间的距离的基本方法：
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三
角形.
(2)把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和
角，利用正、余弦定理求解.
知识点二
知识点二　测量高度
例2　(2024·广东湛江模拟)山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南
方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北.整个黄河楼的主色调为
灰红，其寓意为黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的雄伟壮观.如
图所示，小张为了测量黄河楼的实际高度AB，选取了与楼底B在同一
水平面内的两个测量基点C，D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝
95°，CD＝116 m，在点D处测得黄河楼
顶端A的仰角为45°，求黄河楼的实际高
度(结果精确到0.1 m， sin 55°≈0.82).
解：由题知∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝55°，
在△BCD中，由正弦定理得 ＝ ，
则BD＝ ＝ ≈ ≈70.73 m.　
在△ABD中，AB⊥BD，∠ADB＝45°，
∴AB＝BDtan∠ADB＝BD≈70.73 m，故黄河楼的实际高度约为70.7 m.
[反思感悟]　解决测量高度问题的一般步骤：
(1)画图：根据已知条件画出示意图；
(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；
(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解
题过程中，要综合运用几何知识与方程思想.
知识点三
知识点三　测量角度
例3　在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有
一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私
船奉命以10 海里/时的速度追截走私船.此时，走私船正以10海里/时
的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向能最快追
上走私船？
解：设缉私船用t小时在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝
10 t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝ －1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos ∠BAC＝(－1)2
＋22－2×(－1)×2× cos 120°＝6，
∴BC＝ ，且 sin ∠ABC＝ · sin ∠BAC＝ × ＝ ，
∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角，∴∠CBD＝90°＋
30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得 sin ∠BCD＝
＝ ＝ ，∴∠BCD＝30°，即缉私船
沿北偏东60°方向能最快追上走私船.
[反思感悟]　解决测量角度问题的基本思路：解决测量角度问题的关键
是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有
关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果
转化为实际问题的解.
随堂巩固
随堂巩固
1. 若P在Q的北偏东44°50'方向，则Q在P的(　C　)
A. 东偏北45°10'方向 B. 东偏北44°50'方向
C. 南偏西44°50'方向 D. 西偏南44°50'方向
C
2. 从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为
(　B　)
A. α＞β B. α＝β
C. α＋β＝90° D. α＋β＝180°
B
3. 两灯塔A，B与海洋观察站C之间的距离都等于a(单位：km)，灯塔
A在C北偏东30°方向，B在C南偏东60°方向，则A，B之间的距离
为(　A　)
A. a km B. a km
C. a km D. 2a km
A
4. 一船以15 km/h的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东
60°方向，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方
向，这时船与灯塔之间的距离为 km.
30 　6.4 导学5　余弦定理、正弦定理应用举例
知识点一　测量距离
例1　(1)如图所示，一名学生在河岸紧靠笔直的岸边行走，开始在A处，经观察，在河的对岸有一参照物C，AC与学生的前进方向成30°角，学生前进200 m后到达点B，测得BC与前进方向成75°角.①点A与参照物C间的距离为 m；②河的宽度为 m.
(2)如图所示，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为 m.
[反思感悟]　求两个不可到达的点之间的距离的基本方法：
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形.
(2)把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解.
知识点二　测量高度
例2　(2024·广东湛江模拟)山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北.整个黄河楼的主色调为灰红，其寓意为黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的雄伟壮观.如图所示，小张为了测量黄河楼的实际高度AB，选取了与楼底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝95°，CD＝116 m，在点D处测得黄河楼顶端A的仰角为45°，求黄河楼的实际高度(结果精确到0.1 m，sin 55°≈0.82).
　
[反思感悟]　解决测量高度问题的一般步骤：
(1)画图：根据已知条件画出示意图；
(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；
(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题过程中，要综合运用几何知识与方程思想.
知识点三　测量角度
例3　在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船.此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
[反思感悟]　解决测量角度问题的基本思路：解决测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
1. 若P在Q的北偏东44°50'方向，则Q在P的(　 　)
A. 东偏北45°10'方向 B. 东偏北44°50'方向
C. 南偏西44°50'方向 D. 西偏南44°50'方向
2. 从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　 　)
A. α＞β B. α＝β
C. α＋β＝90° D. α＋β＝180°
3. 两灯塔A，B与海洋观察站C之间的距离都等于a(单位：km)，灯塔A在C北偏东30°方向，B在C南偏东60°方向，则A，B之间的距离为(　 　)
A. a km B. a km
C. a km D. 2a km
4. 一船以15 km/h的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔之间的距离为 km.

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