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四、 平面向量的应用
导学6　余弦定理、正弦定理的综合应用
平面向量及其应用
第六章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　三角形面积公式
知识梳理
1. 三角形的面积公式
S△ABC＝ bc sin A＝ ac sin B＝ ab sin C，即任意三角形的面积等于
任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.
2. △ABC中的常用结论
(1)A＋B＋C＝180°， sin (A＋B)＝ sin C， cos (B＋C)＝－ cos C.
(2)大边对大角，即a＞b A＞B sin A＞ sin C.
点拨：三角形的面积公式S＝ ab sin C与原来的面积公式S＝ a·h(h
为a边上的高)的关系为h＝b sin C，实质上b sin C就是△ABC中a边
上的高.
例1　(1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积
为 ；
【解析】 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B得72＝52＋c2－2×5c×
cos 120°，即c2＋5c－24＝0，解得c＝3，或c＝－8(舍去)，
∴S△ABC＝ ac sin B＝ ×5×3 sin 120°＝ .
　
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若 sin B＝
2 sin A，且△ABC的面积为a2 sin B，则 cos B＝ .
【解析】 由 sin B＝2 sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2 sin B，
得 ac sin B＝a2 sin B，由 sin B≠0，知c＝2a，∴ cos B＝ ＝
＝ .
　
[反思感悟]　求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，将问题转化
为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用.
知识点二
知识点二　正、余弦定理在平面几何中的应用
例2　如图所示，在平面四边形ABCD中，∠D＝ ，CD＝ ，
△ACD的面积为 .
(1)求AC的长；
解：∵∠D＝ ，CD＝ ，△ACD的面积为 ，
∴S△ACD＝ AD·CD· sin D＝ ·AD· × ＝ ，
∴AD＝ ，∴由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD· cos D＝6＋6－2×6× ＝18，∴AC＝3 .
(2)若AB⊥AD，∠B＝ ，求BC的长.
解：由(1)知，在△ACD中AD＝ ，CD＝ ，∠D＝ ，
∴∠DAC＝ ，∵AB⊥AD，∴∠BAC＝ .又∠B＝ ，
AC＝3 ，∴在△ABC中，由正弦定理，
得 ＝ ，即 ＝ ，∴BC＝3 .
[反思感悟]　正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此面对
几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定
理，特别是涉及公共边时，要利用公共边进行过渡，即利用公共边创造
的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.
知识点三
知识点三　代数条件下的解三角形问题
例3　(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，
S3，已知S1－S2＋S3＝ ， sin B＝ .
(1)求△ABC的面积；
解：(1)由题意得S1＝ a2× ＝ a2，S2＝ b2，S3＝ c2，则S1－S2
＋S3＝ a2－ b2＋ c2＝ ，即a2－b2＋c2＝2，由余弦定理得 cos B
＝ ，整理得ac cos B＝1，则 cos B＞0，又 sin B＝ ，∴ cos B
＝ ＝ ，ac＝ ＝ ，则S△ABC＝ ac sin B＝ .
(2)若 sin A sin C＝ ，求b的值.
解：(2)由正弦定理得 ＝ ＝ ，则 ＝ · ＝
＝ ＝ ，∴ ＝ ，从而b＝ sin B＝ .
[反思感悟]　代数条件下的解三角形问题，往往提供一个含有边和角的
代数方程，在这个方程的基础上，利用正弦定理和三角形内角和定理将
其转化为一个新的方程来求解.
知识点四
知识点四　正、余弦定理与三角函数综合问题
例4　已知函数f(x)＝2 sin x cos x＋ sin 2x－ cos 2x.
(1)求f(x)的单调递减区间；
解：(1)∵f(x)＝2 sin x cos x＋ sin 2x－ cos 2x＝ sin 2x－ cos 2x＝
2 sin ，
∴2kπ＋ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z，解得kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，
k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为 ，k∈Z.
(2)△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝2，b＝
3，c＝2，求A的内角平分线AD的长.
解：(2)∵f(A)＝ 2 sin ＝2，∴ sin ＝1.
∵A∈(0， π)，∴2A－ ∈ ，
∴2A－ ＝ ，∴A＝ ，故∠BAD＝∠CAD＝ ，
由题意知，S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，
∴ AB·AD sin ∠BAD＋ AD·AC sin ∠CAD＝ AB·AC sin ∠BAC，
即 ×2AD sin ＋ ×3AD· sin ＝ ×2×3 sin ，∴AD＝ .
[反思感悟]　解决三角形与三角函数综合问题的方法：
(1)“三统一”：即“统一角，统一函数，统一结构”.
(2)定理公式的应用：注意正、余弦定理，三角形内角和定理及三角形
面积公式的应用.
随堂巩固
随堂巩固
1. 在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC等于(　B　)
A. B. C. D. 3
B
2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2－
a2＝bc＝1，则△ABC的面积为(　C　)
A. B. C. D.
C
3. 如图所示，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝
AD＝2，BD＝4，则 sin B的值为(　D　)
A. B. C. D.
D
4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2 cos A(b
cos C＋c cos B)＝a＝ ，△ABC的面积为3 ，则A＝ 　 　，b＋
c＝ .
　
7　6.4 导学6　余弦定理、正弦定理的综合应用
知识点一　三角形面积公式
1. 三角形的面积公式
S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.
2. △ABC中的常用结论
(1)A＋B＋C＝180°，sin(A＋B)＝sin C，cos(B＋C)＝－cos C.
(2)大边对大角，即a＞b A＞B sin A＞sin C.
点拨：三角形的面积公式S＝absin C与原来的面积公式S＝a·h(h为a边上的高)的关系为h＝bsin C，实质上bsin C就是△ABC中a边上的高.
例1　(1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为 ；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝ .
[反思感悟]　求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，将问题转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用.
知识点二　正、余弦定理在平面几何中的应用
例2　如图所示，在平面四边形ABCD中，∠D＝，CD＝，△ACD的面积为.
(1)求AC的长；
(2)若AB⊥AD，∠B＝，求BC的长.
[反思感悟]　正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.
知识点三　代数条件下的解三角形问题
例3　(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝，sinB＝.
(1)求△ABC的面积；
(2)若sin Asin C＝，求b的值.
[反思感悟]　代数条件下的解三角形问题，往往提供一个含有边和角的代数方程，在这个方程的基础上，利用正弦定理和三角形内角和定理将其转化为一个新的方程来求解.
知识点四　正、余弦定理与三角函数综合问题
例4　已知函数f(x)＝2sin xcos x＋sin2x－cos2x.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝2，b＝3，c＝2，求A的内角平分线AD的长.
[反思感悟]　解决三角形与三角函数综合问题的方法：
(1)“三统一”：即“统一角，统一函数，统一结构”.
(2)定理公式的应用：注意正、余弦定理，三角形内角和定理及三角形面积公式的应用.
1. 在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC等于(　 　)
A. B. C. D. 3
2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝bc＝1，则△ABC的面积为(　 　)
A. B. C. D.
3. 如图所示，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B的值为(　 　)
A. B. C. D.
4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2cos A(bcos C＋ccos B)＝
a＝，△ABC的面积为3，则A＝ ，b＋c＝ .6.4 导学6　余弦定理、正弦定理的综合应用
知识点一　三角形面积公式
1. 三角形的面积公式
S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.
2. △ABC中的常用结论
(1)A＋B＋C＝180°，sin(A＋B)＝sin C，cos(B＋C)＝－cos C.
(2)大边对大角，即a＞b A＞B sin A＞sin C.
点拨：三角形的面积公式S＝absin C与原来的面积公式S＝a·h(h为a边上的高)的关系为h＝bsin C，实质上bsin C就是△ABC中a边上的高.
例1　(1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为　　；
【解析】 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得72＝52＋c2－2×5c×cos 120°，
即c2＋5c－24＝0，解得c＝3，或c＝－8(舍去)，∴S△ABC＝acsin B＝×5×
3sin 120°＝.
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝　　.
【解析】 由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，得acsin B＝a2sin B，由sin B≠0，知c＝2a，∴cos B＝＝＝.
[反思感悟]　求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，将问题转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用.
知识点二　正、余弦定理在平面几何中的应用
例2　如图所示，在平面四边形ABCD中，∠D＝，CD＝，△ACD的面积为.
(1)求AC的长；
解：∵∠D＝，CD＝，△ACD的面积为，
∴S△ACD＝AD·CD·sin D＝·AD·×＝，∴AD＝，∴由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D＝6＋6－2×6×＝18，∴AC＝3.
(2)若AB⊥AD，∠B＝，求BC的长.
解：由(1)知，在△ACD中AD＝，CD＝，∠D＝，∴∠DAC＝，∵AB⊥AD，∴∠BAC＝.又∠B＝，AC＝3，∴在△ABC中，由正弦定理，得＝，即＝，∴BC＝3.
[反思感悟]　正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.
知识点三　代数条件下的解三角形问题
例3　(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝，sinB＝.
(1)求△ABC的面积；
解：(1)由题意得S1＝a2×＝a2，S2＝b2，S3＝c2，则S1－S2＋S3＝a2－b2＋c2＝，即a2－b2＋c2＝2，由余弦定理得cos B＝，整理得accos B＝1，则cos B＞0，又sin B＝，∴cos B＝＝，ac＝＝，则S△ABC＝acsin B＝.
(2)若sin Asin C＝，求b的值.
解：(2)由正弦定理得＝＝，则＝·＝＝＝，
∴＝，从而b＝sin B＝.
[反思感悟]　代数条件下的解三角形问题，往往提供一个含有边和角的代数方程，在这个方程的基础上，利用正弦定理和三角形内角和定理将其转化为一个新的方程来求解.
知识点四　正、余弦定理与三角函数综合问题
例4　已知函数f(x)＝2sin xcos x＋sin2x－cos2x.
(1)求f(x)的单调递减区间；
解：(1)∵f(x)＝2sin xcos x＋sin2x－cos2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
∴2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝2，b＝3，c＝2，求A的内角平分线AD的长.
解：(2)∵f(A)＝ 2sin＝2，∴sin＝1.
∵A∈(0， π)，∴2A－∈，
∴2A－＝，∴A＝，故∠BAD＝∠CAD＝，
由题意知，S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，
∴AB·ADsin∠BAD＋AD·ACsin∠CAD＝AB·ACsin∠BAC，即×2ADsin ＋×3AD·sin ＝×2×3sin ，∴AD＝.
[反思感悟]　解决三角形与三角函数综合问题的方法：
(1)“三统一”：即“统一角，统一函数，统一结构”.
(2)定理公式的应用：注意正、余弦定理，三角形内角和定理及三角形面积公式的应用.
1. 在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC等于(　B　)
A. B. C. D. 3
2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2－a2＝bc＝1，则△ABC的面积为(　C　)
A. B. C. D.
3. 如图所示，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B的值为(　D　)
A. B. C. D.
4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2cos A(bcos C＋ccos B)＝
a＝，△ABC的面积为3，则A＝　　，b＋c＝　7　.

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