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7.1 导学1　数系的扩充和复数的概念
知识点一　复数的概念
1. 定义：我们把形如 的数叫做复数，其中i叫做 ，满足i2＝ .
2. 表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的 ，b叫做复数z的 .
3. 数集
(1)定义：全体复数所构成的集合叫做 .
(2)表示：通常用大写字母 表示，即C＝{a＋bi｜a，b∈R}.
点拨：1. i2＝－1.
2. i和实数之间能进行加法、乘法运算.
3. a，b∈R.
例1　写出下列复数的实部与虚部.
4，2－3i，－＋i，5＋i，6i.
[反思感悟]　在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部. 要特别注意：b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.
知识点二　复数的分类
1. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)分类如下：
复数
2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
点拨：1. 两个虚数不能比较大小.
2. a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件.
例2　求实数m取什么值时，复数z＝＋(m2－2m)i是：(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
[反思感悟]　复数分类问题的求解方法：
(1)化标准式：先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，从而确定实部与虚部.
(2)根据条件求解：根据所给条件列出实部和虚部满足的方程(不等式)，求解即可.
知识点三　复数相等的条件
在复数集C＝{a＋bi｜a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：当且仅当 时，a＋bi与c＋di相等.
点拨： a＋bi＝0 a＝b＝0.
例3　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；
(2)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，求实数a的值.
[反思感悟]　解决复数相等问题的基本步骤：
(1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)根据复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
(3)解方程组，求出相应的参数.
1. 在2＋，i，8＋5i，(1－)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　 　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. (1＋)i的实部与虚部分别是(　 　)
A. 1， B. 1＋，0
C. 0，1＋ D. 0，(1＋)i
3. 若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数，则实数m的值是(　 　)
A. －1 B. ±1
C. 1 D. －2
4. 已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x＞0)，则实数x，y的值分别是 .(共24张PPT)
一、复数的概念
导学1　数系的扩充和复数的概念
复　数
第七章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　复数的概念
知识梳理
1. 定义：我们把形如 的数叫做复数，其中i叫
做 ，满足i2＝ .
a＋bi(a，b∈R)　
虚数单位　
－1　
2. 表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a
叫做复数z的 ，b叫做复数z的 .
实部　
虚部　
3. 数集
(1)定义：全体复数所构成的集合叫做 .
(2)表示：通常用大写字母 表示，即C＝{a＋bi｜a，b∈R}.
复数集　
C　
点拨：1. i2＝－1.
2. i和实数之间能进行加法、乘法运算.
3. a，b∈R.
例1　写出下列复数的实部与虚部.
4，2－3i，－ ＋ i，5＋ i，6i.
解：4，2－3i，－ ＋ i，5＋ i，6i的实部分别是4，2，－ ，5，0，虚部分别是0，－3， ， ，6.
[反思感悟]　在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实
部和虚部. 要特别注意：b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它
的符号叫做复数的虚部.
知识点二
知识点二　复数的分类
知识梳理
1. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)分类如下：
复数
2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
点拨：1. 两个虚数不能比较大小.
2. a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件.
例2　求实数m取什么值时，复数z＝ ＋(m2－2m)i是：(1)实
数；
解：(1)当 即m＝2时，复数z是实数.
(2)虚数；
解：(2)当 即m≠0，且m≠2时，复数z是虚数.
(3)纯虚数.
解：(3)当 即m＝－3时，复数z是纯虚数.
[反思感悟]　复数分类问题的求解方法：
(1)化标准式：先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，从而确定实部
与虚部.
(2)根据条件求解：根据所给条件列出实部和虚部满足的方程(不等式)，
求解即可.
知识点三
知识点三　复数相等的条件
知识梳理
在复数集C＝{a＋bi｜a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，
c，d∈R)，我们规定：当且仅当 时，a＋bi与c＋
di相等.
点拨： a＋bi＝0 a＝b＝0.
a＝c，且b＝d　
例3　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；
解：由复数相等的充要条件，得 解得
(2)若关于x的方程3x2－ x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，求实数a的
值.
解：设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－ m－1＝(10－m
－2m2)i，∴ 解得 或 ∴a的值为11或－ .
[反思感悟]　解决复数相等问题的基本步骤：
(1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)根据复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程
组；
(3)解方程组，求出相应的参数.
随堂巩固
随堂巩固
1. 在2＋ ， i，8＋5i，(1－ )i，0.618这几个数中，纯虚数的个数
为(　C　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
C
2. (1＋ )i的实部与虚部分别是(　C　)
A. 1， B. 1＋ ，0
C. 0，1＋ D. 0，(1＋ )i
C
3. 若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数，则实数m的值是(　C　)
A. －1 B. ±1
C. 1 D. －2
C
4. 已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x＞0)，则实数x，y的值分别是 .
1， 17.1 导学1　数系的扩充和复数的概念
知识点一　复数的概念
1. 定义：我们把形如　a＋bi(a，b∈R)　的数叫做复数，其中i叫做　虚数单位　，满足i2＝　－1　.
2. 表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的　实部　，b叫做复数z的　虚部　.
3. 数集
(1)定义：全体复数所构成的集合叫做　复数集　.
(2)表示：通常用大写字母　C　表示，即C＝{a＋bi｜a，b∈R}.
点拨：1. i2＝－1.
2. i和实数之间能进行加法、乘法运算.
3. a，b∈R.
例1　写出下列复数的实部与虚部.
4，2－3i，－＋i，5＋i，6i.
解：4，2－3i，－＋i，5＋i，6i的实部分别是4，2，－，5，0，虚部分别是0，－3，，，6.
[反思感悟]　在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部. 要特别注意：b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.
知识点二　复数的分类
1. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)分类如下：
复数
2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
点拨：1. 两个虚数不能比较大小.
2. a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件.
例2　求实数m取什么值时，复数z＝＋(m2－2m)i是：(1)实数；
解：(1)当即m＝2时，复数z是实数.
(2)虚数；
解：(2)当即m≠0，且m≠2时，复数z是虚数.
(3)纯虚数.
解：(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数.
[反思感悟]　复数分类问题的求解方法：
(1)化标准式：先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，从而确定实部与虚部.
(2)根据条件求解：根据所给条件列出实部和虚部满足的方程(不等式)，求解即可.
知识点三　复数相等的条件
在复数集C＝{a＋bi｜a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：当且仅当　a＝c，且b＝d　时，a＋bi与c＋di相等.
点拨： a＋bi＝0 a＝b＝0.
例3　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；
解：由复数相等的充要条件，得解得
(2)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，求实数a的值.
解：设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
∴解得或 ∴a的值为11或－.
[反思感悟]　解决复数相等问题的基本步骤：
(1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)根据复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
(3)解方程组，求出相应的参数.
1. 在2＋，i，8＋5i，(1－)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　C　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. (1＋)i的实部与虚部分别是(　C　)
A. 1， B. 1＋，0
C. 0，1＋ D. 0，(1＋)i
3. 若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数，则实数m的值是(　C　)
A. －1 B. ±1
C. 1 D. －2
4. 已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x＞0)，则实数x，y的值分别是　1，1　.

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