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一、复数的概念
导学2　复数的几何意义
复　数
第七章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　复数与复平面点的关系
知识梳理
1. 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴
叫做 ，实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表
示 .
虚轴　
纯虚数　
2. 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝
a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点 ，这是复数的
一种几何意义.
Z(a，b)　
点拨：复数的实部、虚部分别与复平面内对应点的横坐标和纵坐标对
应，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的
取值特征.
例1　求当实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－
3a＋2)i的点：
(1)位于第二象限；
解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－
3a＋2)i的点为Z(a2＋a－2，a2－3a＋2).
(1)由点Z位于第二象限得 解得－2＜a＜1.
故满足条件的实数a的取值范围是(－2，1).
(2)位于实轴上方；
解：(2)由点Z位于实轴上方得a2－3a＋2＞0，解得a＞2，或a＜1，故
满足条件的实数a的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞).
(3)位于直线y＝x上.
解：(3)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.
故满足条件的实数a的值为1.
[反思感悟]　利用复数与点的对应关系解题的步骤：
(1)找对应关系：复数的几何表示法，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以
用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据；
(2)列出方程：解决此类问题，可建立复数的实部与虚部应满足的条
件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.
知识点二
知识点二　复数与复平面内向量的关系
知识梳理
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向
量 由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量 唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了 关系(实数0与零向量对应)，即z＝a＋bi 平面向量 . 这是复数的另一种几何意义.
一一对应
例2　 (1)向量 对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　C　)
A. －10＋8i B. 10－8i
C. 0 D. 10＋8i
【解析】 由复数的几何意义，可得＝(5，－4)，＝(－5，4)，
∴＋ ＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，∴ ＋ 对应的复
数为0.
C
(2)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数
分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
解：记O为复平面的原点，由题意得 ＝(2，3)， ＝(3，2)，
＝(－2，－3).
设 ＝(x，y)，则 ＝(x－2， y－3)， ＝(－5，－5).　
由题意知， ＝ ，∴ 即 故点D对应的
复数为－3－2i.
[反思感悟]　复数与向量的对应和转化：
(1)对应：复数z与向量 是一一对应关系.
(2)转化：将复数的有关问题转化为向量问题来求解.
知识点三
知识点三　复数的模
知识梳理
1. 定义：向量 的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
2. 记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作 .
3. 公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝ .
｜z｜或｜a＋bi｜　
　
例3　(1)已知复数z满足z＋｜z｜＝2＋8i，求复数z；
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则｜z｜＝ ，代入方程得a＋bi
＋ ＝2＋8i，
∴ 解得 ∴z＝－15＋8i.
(2)设z∈C，且满足下列条件，则在复平面内，复数z对应的点Z的集合
是什么图形.
①｜z｜＜3；
②｜z｜＝2.
解：①由｜z｜＜3得向量 的模小于3，∴复数z对应的点Z的集合是
以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界.
解： ②由｜z｜＝2得向量 的模等于2，∴满足｜z｜＝2的点Z的集合为以原点O为圆心，2为半径的圆.
[反思感悟]　1. 复数z＝a＋bi的模的计算：｜z｜＝ .
2. 复数的模的几何意义：复数的模的几何意义是复数所对应的点到原
点的距离.
3. 转化思想：利用模的定义将复数的模的条件转化为其实部、虚部满
足的条件，就是复数问题实数化思想.
知识点四
知识点四　共轭复数
知识梳理
1. 定义：一般地，当两个复数的实部 ，虚部
时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫
做 .
相等　
互为相反数　
共轭虚数　
2. 表示：复数z的共轭复数用 表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那
么 ＝ .
a－bi　
例4　(1)复数z＝3－4i的共轭复数对应的点在(　A　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 z＝3－4i的共轭复数为 ＝3＋4i，可知其对应的点在第一
象限.
A
(2)(多选)下列说法中，正确的是(　AD　)
A. 复数和其共轭复数都是成对出现的
B. 实数不存在共轭复数
C. 互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称
D. 复数和其共轭复数的模相等
【解析】 根据共轭复数的定义可知A正确；根据共轭复数的定义可知，
实数的共轭复数是它本身，B错误；互为共轭复数的两个复数在复平面
内对应的点关于实轴对称，C错误；根据复数模的定义可知D正确.
AD
[反思感悟]　共轭复数的注意点：
(1)结构特点：实部相等，虚部互为相反数.
(2)几何意义：在复平面内，两个共轭复数的对应点关于实轴对称.
随堂巩固
随堂巩固
1. 复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　C　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
C
2. 若复数z＝－2＋i，则复数z的共轭复数 等于(　B　)
A. －2＋i B. －2－i
C. 2＋i D. 2－i
B
3. 已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值是(　A　)
A. 1或3 B. 1
C. 3 D. 2
A
4. 若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，
则｜z｜＝ .
3　7.1 导学2　复数的几何意义
知识点一　复数与复平面点的关系
1. 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做 ，实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示 .
2. 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点 ，这是复数的一种几何意义.
点拨：复数的实部、虚部分别与复平面内对应点的横坐标和纵坐标对应，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征.
例1　求当实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点：
(1)位于第二象限；
(2)位于实轴上方；
(3)位于直线y＝x上.
[反思感悟]　利用复数与点的对应关系解题的步骤：
(1)找对应关系：复数的几何表示法，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据；
(2)列出方程：解决此类问题，可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.
知识点二　复数与复平面内向量的关系
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了 关系(实数0与零向量对应)，即z＝a＋bi平面向量. 这是复数的另一种几何意义.
例2　 (1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　 　)
A. －10＋8i 　　B. 10－8i
C. 0 　　D. 10＋8i
(2)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
[反思感悟]　复数与向量的对应和转化：
(1)对应：复数z与向量是一一对应关系.
(2)转化：将复数的有关问题转化为向量问题来求解.
知识点三　复数的模
1. 定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
2. 记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作 .
3. 公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝ .
例3　(1)已知复数z满足z＋｜z｜＝2＋8i，求复数z；
(2)设z∈C，且满足下列条件，则在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形.
①｜z｜＜3；②｜z｜＝2.
[反思感悟]　1. 复数z＝a＋bi的模的计算：｜z｜＝.
2. 复数的模的几何意义：复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离.
3. 转化思想：利用模的定义将复数的模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，就是复数问题实数化思想.
知识点四　共轭复数
1. 定义：一般地，当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 .
2. 表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝ .
例4　(1)复数z＝3－4i的共轭复数对应的点在(　 　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
(2)(多选)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 复数和其共轭复数都是成对出现的
B. 实数不存在共轭复数
C. 互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称
D. 复数和其共轭复数的模相等
[反思感悟]　共轭复数的注意点：
(1)结构特点：实部相等，虚部互为相反数.
(2)几何意义：在复平面内，两个共轭复数的对应点关于实轴对称.
1. 复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　 　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 若复数z＝－2＋i，则复数z的共轭复数等于(　 　)
A. －2＋i B. －2－i
C. 2＋i D. 2－i
3. 已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值是(　 　)
A. 1或3 B. 1
C. 3 D. 2
4. 若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则｜z｜＝ .7.1 导学2　复数的几何意义
知识点一　复数与复平面点的关系
1. 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做　虚轴　，实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示　纯虚数　.
2. 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点　Z(a，b)　，这是复数的一种几何意义.
点拨：复数的实部、虚部分别与复平面内对应点的横坐标和纵坐标对应，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征.
例1　求当实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点：
(1)位于第二象限；
解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点为Z(a2＋a－2，a2－3a＋2).
(1)由点Z位于第二象限得解得－2＜a＜1.
故满足条件的实数a的取值范围是(－2，1).
(2)位于实轴上方；
解：(2)由点Z位于实轴上方得a2－3a＋2＞0，解得a＞2，或a＜1，故满足条件的实数a的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞).
(3)位于直线y＝x上.
解：(3)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.
[反思感悟]　利用复数与点的对应关系解题的步骤：
(1)找对应关系：复数的几何表示法，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据；
(2)列出方程：解决此类问题，可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.
知识点二　复数与复平面内向量的关系
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了　一一对应　关系(实数0与零向量对应)，即z＝a＋bi平面向量. 这是复数的另一种几何意义.
例2　 (1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　C　)
A. －10＋8i 　　B. 10－8i
C. 0 　　D. 10＋8i
【解析】 由复数的几何意义，可得＝(5，－4)，＝(－5，4)，∴＋＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，∴＋对应的复数为0.
(2)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
解：记O为复平面的原点，由题意得＝(2，3)，＝(3，2)，＝(－2，－3).
设＝(x，y)，则＝(x－2， y－3)，＝(－5，－5).　
由题意知，＝，∴即故点D对应的复数为－3－2i.
[反思感悟]　复数与向量的对应和转化：
(1)对应：复数z与向量是一一对应关系.
(2)转化：将复数的有关问题转化为向量问题来求解.
知识点三　复数的模
1. 定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
2. 记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作　｜z｜或｜a＋bi｜　.
3. 公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝　　.
例3　(1)已知复数z满足z＋｜z｜＝2＋8i，求复数z；
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则｜z｜＝，代入方程得a＋bi＋＝
2＋8i，
∴解得∴z＝－15＋8i.
(2)设z∈C，且满足下列条件，则在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形.
①｜z｜＜3；②｜z｜＝2.
解：①由｜z｜＜3得向量的模小于3，∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界.
②由｜z｜＝2得向量的模等于2，∴满足｜z｜＝2的点Z的集合为以原点O为圆心，2为半径的圆.
[反思感悟]　1. 复数z＝a＋bi的模的计算：｜z｜＝.
2. 复数的模的几何意义：复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离.
3. 转化思想：利用模的定义将复数的模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，就是复数问题实数化思想.
知识点四　共轭复数
1. 定义：一般地，当两个复数的实部　相等　，虚部　互为相反数　时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做　共轭虚数　.
2. 表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝　a－bi　.
例4　(1)复数z＝3－4i的共轭复数对应的点在(　A　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 z＝3－4i的共轭复数为＝3＋4i，可知其对应的点在第一象限.
(2)(多选)下列说法中，正确的是(　AD　)
A. 复数和其共轭复数都是成对出现的
B. 实数不存在共轭复数
C. 互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称
D. 复数和其共轭复数的模相等
【解析】 根据共轭复数的定义可知A正确；根据共轭复数的定义可知，实数的共轭复数是它本身，B错误；互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称，C错误；根据复数模的定义可知D正确.
[反思感悟]　共轭复数的注意点：
(1)结构特点：实部相等，虚部互为相反数.
(2)几何意义：在复平面内，两个共轭复数的对应点关于实轴对称.
1. 复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　C　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 若复数z＝－2＋i，则复数z的共轭复数等于(　B　)
A. －2＋i B. －2－i
C. 2＋i D. 2－i
3. 已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值是(　A　)
A. 1或3 B. 1
C. 3 D. 2
4. 若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则｜z｜＝　3　.

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