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二、复数的四则运算
导学2　复数的乘、除运算
复　数
第七章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　复数乘法的运算法则与运算律
知识梳理
1. 复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它
们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ .
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2. 复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有：
交换律 z1z2＝
结合律 (z1z2)z3＝
分配律 z1(z2＋z3)＝
z2z1　
z1(z2z3)　
z1z2＋z1z3　
例1　计算下列各题：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
解：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解：(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋
11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
[反思感悟]　1. 复数的乘法运算可以把i看作字母，与多项式的乘法进
行类比，注意要把i2化为－1，对最后结果进行化简.
2. 对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.
常见的乘法公式包括平方差公式、完全平方公式等.
知识点二
知识点二　复数除法的运算法则
知识梳理
(a＋bi)÷(c＋di)＝ ＝ 　
.
＋ i (a，b，c，d∈R，
且c＋di≠0)　
点拨：对复数除法的两点说明：
(1) 实数化：分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结
果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理
化”类似.
(2) 代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.
例2　 (1)若 ＝1＋i，则z等于(　C　)
A. －1－i B. －1＋i
C. 1－i D. 1＋i
【解析】 ∵ ＝ ＝1＋ ＝1＋i，∴z＝1＋ ＝1－i.
C
(2)(2023·全国乙卷)设z＝ ，则 等于(　B　)
A. 1－2i B. 1＋2i
C. 2－i D. 2＋i
【解析】 z＝ ＝ ＝ ＝1－2i，∴ ＝1＋2i.
B
(3)如图所示，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是 ， ，
则 对应的点位于(　C　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
C
【解析】 由复数的几何意义知z1＝2＋i，z2＝－1＋i，则 ＝ ＝
＝－ － i，对应的点的坐标为 ，位于第三
象限.
[反思感悟]　1. 进行复数的运算时，除了运用四则运算法则之外，对于
一些简单算式，要知道其结果，这样可以简化运算过程.例如， ＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i， ＝i， ＝－i，a＋bi＝i(b－ai)， ＝i等.
2. 运算方法要灵活，有时要巧妙运用相应的实数乘法公式.
知识点三
知识点三　在复数范围内解方程
例3　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数).
(1)求b，c的值；
解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0，
∴ 得 ∴b＝－2，c＝2.
(2)试判断1－i是否为方程的根.
解：(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得x2－
2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的
一个根.
[反思感悟]　1. 在复数范围内，任何实系数一元二次方程都是有根的，
当实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＜0时，其求根
公式为x＝ .
2. 利用复数相等的定义求解.设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将
此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解.
随堂巩固
随堂巩固
1. 设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　A　)
A. －i B. i
C. －1 D. 1
A
2. 若复数z＝i(3－2i)(i为虚数单位)，则 等于(　A　)
A. 2－3i B. 2＋3i
C. 3＋2i D. 3－2i
A
3. 复数 (i为虚数单位)的实部为 .
－3　
4. (1＋i)2－ ＝ 　－ ＋ i　.
－ ＋ i　7.2 导学2　复数的乘、除运算
知识点一　复数乘法的运算法则与运算律
1. 复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ .
2. 复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有：
交换律 z1z2＝
结合律 (z1z2)z3＝
分配律 z1(z2＋z3)＝
例1　计算下列各题：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
[反思感悟]　1. 复数的乘法运算可以把i看作字母，与多项式的乘法进行类比，注意要把i2化为－1，对最后结果进行化简.
2. 对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.常见的乘法公式包括平方差公式、完全平方公式等.
知识点二　复数除法的运算法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝
.
点拨：对复数除法的两点说明：
(1) 实数化：分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”类似.
(2) 代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.
例2　 (1)若＝1＋i，则z等于(　 　)
A. －1－i B. －1＋i
C. 1－i D. 1＋i
(2)(2023·全国乙卷)设z＝，则等于(　 　)
A. 1－2i B. 1＋2i
C. 2－i D. 2＋i
(3)如图所示，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则对应的点位于(　 　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
[反思感悟]　1. 进行复数的运算时，除了运用四则运算法则之外，对于一些简单算式，要知道其结果，这样可以简化运算过程.例如，＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，＝i等.
2. 运算方法要灵活，有时要巧妙运用相应的实数乘法公式.
知识点三　在复数范围内解方程
例3　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数).
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是否为方程的根.
[反思感悟]　1. 在复数范围内，任何实系数一元二次方程都是有根的，当实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＜0时，其求根公式为x＝.
2. 利用复数相等的定义求解.设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解.
1. 设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　 　)
A. －i B. i
C. －1 D. 1
2. 若复数z＝i(3－2i)(i为虚数单位)，则等于(　 　)
A. 2－3i B. 2＋3i
C. 3＋2i D. 3－2i
3. 复数(i为虚数单位)的实部为 .
4. (1＋i)2－＝ .7.2 导学2　复数的乘、除运算
知识点一　复数乘法的运算法则与运算律
1. 复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝　(ac－bd)＋(ad＋bc)i　.
2. 复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有：
交换律 z1z2＝　z2z1　
结合律 (z1z2)z3＝　z1(z2z3)　
分配律 z1(z2＋z3)＝　z1z2＋z1z3　
例1　计算下列各题：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
解：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解：(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
[反思感悟]　1. 复数的乘法运算可以把i看作字母，与多项式的乘法进行类比，注意要把i2化为－1，对最后结果进行化简.
2. 对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.常见的乘法公式包括平方差公式、完全平方公式等.
知识点二　复数除法的运算法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝　＋i　
　a，b，c，d∈R，且(c＋di≠0)　.
点拨：对复数除法的两点说明：
(1) 实数化：分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”类似.
(2) 代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.
例2　 (1)若＝1＋i，则z等于(　C　)
A. －1－i B. －1＋i
C. 1－i D. 1＋i
【解析】 ∵＝＝1＋＝1＋i，∴z＝1＋＝1－i.
(2)(2023·全国乙卷)设z＝，则等于(　B　)
A. 1－2i B. 1＋2i
C. 2－i D. 2＋i
【解析】 z＝＝＝＝1－2i，∴＝1＋2i.
(3)如图所示，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则对应的点位于(　C　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 由复数的几何意义知z1＝2＋i，z2＝－1＋i，则＝＝＝
－－i，对应的点的坐标为，位于第三象限.
[反思感悟]　1. 进行复数的运算时，除了运用四则运算法则之外，对于一些简单算式，要知道其结果，这样可以简化运算过程.例如，＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，＝i等.
2. 运算方法要灵活，有时要巧妙运用相应的实数乘法公式.
知识点三　在复数范围内解方程
例3　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数).
(1)求b，c的值；
解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0，
∴得∴b＝－2，c＝2.
(2)试判断1－i是否为方程的根.
解：(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根.
[反思感悟]　1. 在复数范围内，任何实系数一元二次方程都是有根的，当实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＜0时，其求根公式为x＝.
2. 利用复数相等的定义求解.设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解.
1. 设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　A　)
A. －i B. i
C. －1 D. 1
2. 若复数z＝i(3－2i)(i为虚数单位)，则等于(　A　)
A. 2－3i B. 2＋3i
C. 3＋2i D. 3－2i
3. 复数(i为虚数单位)的实部为　－3　.
4. (1＋i)2－＝　－＋i　.

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