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一、基本立体图形
导学2　圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　旋转体的结构特征
知识梳理
1. 圆柱的结构特征
定义 以 所在直线为旋转轴， 其余三边旋转一周形成
的面所围成的旋转体叫做圆柱
图示
以及
相关 概念
轴： 叫做圆柱的轴
底面： 的边旋转而成的圆面
侧面： 的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，
柱体：圆柱和棱柱统称为柱体
矩形的一边　
旋转轴　
垂直于轴　
平行于轴　
始终平行于轴的边　
2. 圆锥的结构特征
定义 以 所在直线为旋转轴，其余两边
旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
图示
以及
相关
概念
轴： 叫做圆锥的轴
底面： 的边旋转而成的圆面
侧面： 旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，
锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
直角三角形的一条直角边　
旋转轴　
垂直于轴　
直角三角形的斜边　
不垂直于轴的边　
3. 圆台的结构特征
定义 用 的平面去截圆锥， 之间
的部分叫做圆台
图示
以及
相关
概念
轴：圆锥的
底面：圆锥的底面和
侧面：圆锥的侧面在 之间的部分
母线：圆锥的母线在 之间的部分
台体：棱台和圆台统称为台体
平行于圆锥底面　
底面与截面　
轴　
截面　
底面与截面　
底面与截面　
4. 球的结构特征
定义 以 所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成
的旋转体叫做球体，简称球
图示以
及相关
概念
球心：半圆的 叫做球的球心
半径：半圆的 叫做球的半径
直径：半圆的 叫做球的直径
半圆的直径　
圆心　
半径　
直径　
例1　(1)下列说法中，错误的是(　C　)
A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形
B. 过圆锥轴所得的截面是一个等腰三角形
C. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D. 平行于圆台底面所得的截面是圆面
【解析】 由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋
转一周所围成的几何体是圆锥.强调一定要绕着它的一条直角边，即旋
转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，C错误.
C
(2)(多选)下列说法中，正确的是(　BD　)
A. 圆柱的母线与它的轴可以不平行
B. 圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线
都可以构成直角三角形
C. 在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的
母线
D. 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
【解析】 由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B，D正确，
A，C错误.
BD
[反思感悟]　简单旋转体结构特征问题的解题方法：
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的形成过程及其结构特征是解决此
类概念问题的关键.
(2)解题时要注意两点：
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线.
知识点二
知识点二　简单组合体的结构特征
知识梳理
1. 简单组合体的定义
由 组合而成的几何体叫做简单组合体.
2. 简单组合体的构成形式
一种是由简单几何体 而成的；另一种是由简单几何体
一部分而成的.
简单几何体　
拼接　
截去或
挖去　
点拨： 识别组合体，要准确理解简单几何体(柱体、锥体、台体、球体)
的结构特征.若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作
出辅助线(或面).
例2　 (1)观察图中的几何体，分析它们是由哪些简单几何体组成的；
图1 图2 图3
解：图1是由一个四棱柱挖去一个三棱柱组成的几何体.图2是由一个四
棱柱和一个圆柱拼接而成的几何体.图3是由一个四棱柱与一个半圆柱拼
接，并在相接处挖去一个圆柱组成的几何体.
(2)如图所示，在平面曲边图形ABCDE中，曲边DE为四分之一圆周，且圆心在AE上，AB，BC，CD为线段，CD∥AE，该曲边图形绕AE所在的直线旋转一周，分析得到的几何体是由哪些简单几何体组成的.
解：线段AB，BC，CD及曲线DE绕AE所在的直线旋转一周，分别形
成圆锥、圆台和圆柱的侧面和半球面，如图所示.得到的几何体由圆
锥、圆台、圆柱和半球组成.
[反思感悟]　1. 判定实物图是由哪些简单几何体组成的，首先要熟练掌
握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个
简单几何体，具有一定的空间想象能力.
2. 组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体
的构成，结合柱体、锥体、台体、球体的结构特征，先分割，后验证.
知识点三
知识点三　旋转体的有关计算
例3　(1)已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，
则球心与截面圆圆心之间的距离是 cm.
【解析】 如图所示，
8　
设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R. 由示意图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可.由已知，R＝10 cm，由πr2＝36π cm2，得r＝6 cm，∴d＝ ＝
＝8 cm.　
(2)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π
cm2，求：
①圆台的高；
解：圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，如图所示.
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.
又由题意知腰长为12 cm，∴高AM＝ ＝3 cm.
②将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.
解：如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥
的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得 ＝ ，解得l＝20 cm，
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
[反思感悟]　1. 用平行于底面的平面去截柱体、锥体、台体等几何体，
注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋
转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形的比例关系，构造相关几
何未知量的方程(组)来求解.
2. 旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即
将立体问题平面化.
随堂巩固
随堂巩固
1. (多选)下列说法中，错误的是(　ABD　)
A. 正方形通过旋转不可能形成圆柱
B. 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C. 圆锥截去一个小圆锥后，剩余部分是圆台
D. 通过圆台侧面上一点，有无数条母线
ABD
2. 下列几何体的轴截面中，一定为圆面的是(　C　)
A. 圆柱 B. 圆锥
C. 球 D. 圆台
C
3. 如图所示，螺母可以看成一个组合体，对其结构特征表述最准确的
是(　C　)
A. 一个六棱柱中挖去一个棱柱
B. 一个六棱柱中挖去一个棱锥
C. 一个六棱柱中挖去一个圆柱
D. 一个六棱柱中挖去一个圆台
C
4. 若圆锥的高与底面半径相等，母线长等于5 ，则底面半径等于 .
5　8.1 导学2　圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体
知识点一　旋转体的结构特征
1. 圆柱的结构特征
定义 以 所在直线为旋转轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图示以及相关 概念 轴： 叫做圆柱的轴 底面： 的边旋转而成的圆面 侧面： 的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置， 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体
2. 圆锥的结构特征
定义 以 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
图示以及相关概念 轴： 叫做圆锥的轴 底面： 的边旋转而成的圆面 侧面： 旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置， 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
3. 圆台的结构特征
定义 用 的平面去截圆锥， 之间的部分叫做圆台
图示以及相关概念 轴：圆锥的 底面：圆锥的底面和 侧面：圆锥的侧面在 之间的部分 母线：圆锥的母线在 之间的部分 台体：棱台和圆台统称为台体
4. 球的结构特征
定义 以 所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球
图示以及相关概念 球心：半圆的 叫做球的球心 半径：半圆的 叫做球的半径 直径：半圆的 叫做球的直径
例1　(1)下列说法中，错误的是(　 　)
A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形
B. 过圆锥轴所得的截面是一个等腰三角形
C. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D. 平行于圆台底面所得的截面是圆面
(2)(多选)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 圆柱的母线与它的轴可以不平行
B. 圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形
C. 在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D. 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
[反思感悟]　简单旋转体结构特征问题的解题方法：
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的形成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键.
(2)解题时要注意两点：
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线.
知识点二　简单组合体的结构特征
1. 简单组合体的定义
由 组合而成的几何体叫做简单组合体.
2. 简单组合体的构成形式
一种是由简单几何体 而成的；另一种是由简单几何体 一部分而成的.
点拨： 识别组合体，要准确理解简单几何体(柱体、锥体、台体、球体)的结构特征.若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面).
例2　 (1)观察图中的几何体，分析它们是由哪些简单几何体组成的；
图1 　图2 　图3
(2)如图所示，在平面曲边图形ABCDE中，曲边DE为四分之一圆周，且圆心在AE上，AB，BC，CD为线段，CD∥AE，该曲边图形绕AE所在的直线旋转一周，分析得到的几何体是由哪些简单几何体组成的.
[反思感悟]　1. 判定实物图是由哪些简单几何体组成的，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单几何体，具有一定的空间想象能力.
2. 组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱体、锥体、台体、球体的结构特征，先分割，后验证.
知识点三　旋转体的有关计算
例3　(1)已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心之间的距离是 cm.
(2)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
①圆台的高；
②将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.
[反思感悟]　1. 用平行于底面的平面去截柱体、锥体、台体等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形的比例关系，构造相关几何未知量的方程(组)来求解.
2. 旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.
1. (多选)下列说法中，错误的是(　 　)
A. 正方形通过旋转不可能形成圆柱
B. 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C. 圆锥截去一个小圆锥后，剩余部分是圆台
D. 通过圆台侧面上一点，有无数条母线
2. 下列几何体的轴截面中，一定为圆面的是(　 　)
A. 圆柱 B. 圆锥
C. 球 D. 圆台
3. 如图所示，螺母可以看成一个组合体，对其结构特征表述最准确的是(　 　)
A. 一个六棱柱中挖去一个棱柱
B. 一个六棱柱中挖去一个棱锥
C. 一个六棱柱中挖去一个圆柱
D. 一个六棱柱中挖去一个圆台
4. 若圆锥的高与底面半径相等，母线长等于5，则底面半径等于 .8.1 导学2　圆柱、圆锥、圆台、球和简单组合体
知识点一　旋转体的结构特征
1. 圆柱的结构特征
定义 以　矩形的一边　所在直线为旋转轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图示以及相关 概念 轴：　旋转轴　叫做圆柱的轴 底面：　垂直于轴　的边旋转而成的圆面 侧面：　平行于轴　的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，　始终平行于轴的边　 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体
2. 圆锥的结构特征
定义 以　直角三角形的一条直角边　所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
图示以及相关概念 轴：　旋转轴　叫做圆锥的轴 底面：　垂直于轴　的边旋转而成的圆面 侧面：　直角三角形的斜边　旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，　不垂直于轴的边　 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
3. 圆台的结构特征
定义 用　平行于圆锥底面　的平面去截圆锥，　底面与截面　之间的部分叫做圆台
图示以及相关概念 轴：圆锥的　轴　 底面：圆锥的底面和　截面　 侧面：圆锥的侧面在　底面与截面　之间的部分 母线：圆锥的母线在　底面与截面　之间的部分 台体：棱台和圆台统称为台体
4. 球的结构特征
定义 以　半圆的直径　所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球
图示以及相关概念 球心：半圆的　圆心　叫做球的球心 半径：半圆的　半径　叫做球的半径 直径：半圆的　直径　叫做球的直径
例1　(1)下列说法中，错误的是(　C　)
A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形
B. 过圆锥轴所得的截面是一个等腰三角形
C. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D. 平行于圆台底面所得的截面是圆面
【解析】 由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥.强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，C错误.
(2)(多选)下列说法中，正确的是(　BD　)
A. 圆柱的母线与它的轴可以不平行
B. 圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形
C. 在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D. 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
【解析】 由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B，D正确，A，C错误.
[反思感悟]　简单旋转体结构特征问题的解题方法：
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的形成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键.
(2)解题时要注意两点：
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线.
知识点二　简单组合体的结构特征
1. 简单组合体的定义
由　简单几何体　组合而成的几何体叫做简单组合体.
2. 简单组合体的构成形式
一种是由简单几何体　拼接　而成的；另一种是由简单几何体　截去或挖去　一部分而成的.
点拨： 识别组合体，要准确理解简单几何体(柱体、锥体、台体、球体)的结构特征.若用分割的方法，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面).
例2　 (1)观察图中的几何体，分析它们是由哪些简单几何体组成的；
图1 　图2 　图3
解：图1是由一个四棱柱挖去一个三棱柱组成的几何体.图2是由一个四棱柱和一个圆柱拼接而成的几何体.图3是由一个四棱柱与一个半圆柱拼接，并在相接处挖去一个圆柱组成的几何体.
(2)如图所示，在平面曲边图形ABCDE中，曲边DE为四分之一圆周，且圆心在AE上，AB，BC，CD为线段，CD∥AE，该曲边图形绕AE所在的直线旋转一周，分析得到的几何体是由哪些简单几何体组成的.
解：线段AB，BC，CD及曲线DE绕AE所在的直线旋转一周，分别形成圆锥、圆台和圆柱的侧面和半球面，如图所示.得到的几何体由圆锥、圆台、圆柱和半球组成.
[反思感悟]　1. 判定实物图是由哪些简单几何体组成的，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单几何体，具有一定的空间想象能力.
2. 组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱体、锥体、台体、球体的结构特征，先分割，后验证.
知识点三　旋转体的有关计算
例3　(1)已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心之间的距离是　8　cm.
【解析】 如图所示，
设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由示意图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可.由已知，R＝10 cm，由πr2＝36π cm2，得r＝6 cm，∴d＝＝＝8 cm.　
(2)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
①圆台的高；
解：圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，如图所示.
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.
又由题意知腰长为12 cm，∴高AM＝＝3 cm.
②将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.
解：如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20 cm，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
[反思感悟]　1. 用平行于底面的平面去截柱体、锥体、台体等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形的比例关系，构造相关几何未知量的方程(组)来求解.
2. 旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.
1. (多选)下列说法中，错误的是(　ABD　)
A. 正方形通过旋转不可能形成圆柱
B. 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C. 圆锥截去一个小圆锥后，剩余部分是圆台
D. 通过圆台侧面上一点，有无数条母线
2. 下列几何体的轴截面中，一定为圆面的是(　C　)
A. 圆柱 B. 圆锥
C. 球 D. 圆台
3. 如图所示，螺母可以看成一个组合体，对其结构特征表述最准确的是(　C　)
A. 一个六棱柱中挖去一个棱柱
B. 一个六棱柱中挖去一个棱锥
C. 一个六棱柱中挖去一个圆柱
D. 一个六棱柱中挖去一个圆台
4. 若圆锥的高与底面半径相等，母线长等于5，则底面半径等于　5　.

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