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三、简单几何体的表面积与体积
导学1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
知识梳理
1. 多面体的表面积就是围成多面体 的面积的和.
2. 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的 的面积的和.
各个面　
各个面　
点拨：对于一个几何体，展开方式不同，其平面展开图是不同的，但其
表面积是唯一确定的.
例1　(1)若正三棱锥的底面边长为a，三条侧棱两两垂直，则它的侧面
积为 ；
【解析】 ∵正三棱锥的底面边长为a，三条侧棱两两垂直，∴该三棱锥
的三个侧面均为全等的等腰直角三角形，且斜边长为a，侧棱长为
a，则它的侧面积为3× × a× a＝ a2.
a2　
(2)(2024·广东广州期中)已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为
4，高为3，则其表面积为 .
【解析】 如图所示，作B1H⊥平面ABCD，B1Q⊥BC，垂足分别为
H，Q，连接HQ.
12 ＋20　
由题可知，HQ＝1，B1H＝3，∴B1Q＝ ＝ ，
∴表面积S＝22＋42＋4× ×(2＋4)× ＝20＋12 .　
[反思感悟]　求正棱台的表面积时注意棱台的基本量：底面边长、高、
斜高、侧棱长，并注意两个直角梯形的应用.
(1)高，侧棱，上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.
(2)高，斜高，上、下底面多边形的中心与多边形边的中点连线所成的
直角梯形.
知识点二
知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
知识梳理
几何体 体积 相关概念
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的 ，h为棱柱的
棱锥 V棱锥＝ Sh S为棱锥的 ，h为棱锥的
棱台 V棱台＝ h(S'
＋ ＋S) S'，S分别为棱台的 ，h为棱台的
底面积　
高　
底面积　
高　
上、下底面面积　
高　
点拨： 1. 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系.
V棱柱＝Sh V棱台＝ (S'＋ ＋S)h V棱锥＝ Sh.
2. 求三棱锥的体积时，每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，要注意
转换顶点.
例2　 (1)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段
B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为 ；
　
【解析】 V三棱锥A-DED ＝V三棱锥E－DD A
＝ × ×1×1×1＝ .
1
1
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1
＝1，AA1＝ ，则该棱台的体积为 　 　.
　
【解析】 方法一 如图所示，
设O1，O分别为正四棱台ABCD－A1B1C1D1上、
下底面的中心，连接B1D1，BD，则O1，O分别
为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即正四
棱台ABCD－A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥
BD，垂足为E，则B1E＝O1O. ∵AB＝2，A1B1＝1，∴OB＝ ，O1B1＝ ，∴BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝ ，又AA1＝ ，
∴BB1＝ ，B1E＝ ＝ ＝ ，∴O1O＝ ，
∴V正四棱台ABCD－A B C D ＝ ×(22＋12＋ )× ＝ .
1
1
1
1
方法二 如图所示，将正四棱台ABCD－A1B1C1D1补形成正四棱锥P－
ABCD，∵AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，∴A1，B1，C1，D1分别
为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝ ，∴PA＝2 ，即PB＝
2 .连接BD，取BD的中点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知
BO＝ ，∴PO＝ ＝ ，∴正四棱台ABCD－A1B1C1D1
的高为 ，∴V正四棱台ABCD－A1B1C1D1＝ ×(22＋12＋ )× ＝
( 或者V四棱锥P－ABCD＝ ×22× ＝ ，V四棱锥P－A1B1C1D1＝ V四棱锥P－ABCD，∴V正四棱台ABCD－A1B1C1D1＝V四棱锥P－ABCD－
V四棱锥P－A1B1C1D1＝ V四棱锥P－ABCD＝ × ＝ ).
[反思感悟]　1. 求棱台体积的方法：
(1)补台为锥，利用锥体体积公式计算.
(2)利用棱台体积计算公式直接求解.
2. 求棱锥的体积的常用方法：
(1)等积法：若四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积
和高都易求的形式即可.
(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积，最后相加
求解.
知识点三
知识点三　简单组合体的表面积与体积
例3　一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇
制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋的体积忽略不计，结
果精确到0.01立方米)？
解：将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为
等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.
S底＝0.6×1.1－ ×(0.5＋0.3)×0.3＝0.54(平方米)，
V＝S底·h＝0.54×24.8≈13.39(立方米)，
∴浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.
[反思感悟]　求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面
有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各面的面
积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的
体积，再相加或相减.
随堂巩固
随堂巩固
1. 正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　B　)
A. 48 B. 64
C. 16 D. 96
B
2. 侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，当底面边长为a时，该三棱锥
的表面积是(　A　)
A. a2 B. a2
C. a2 D. a2
A
3. 若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，
则其侧面积等于(　D　)
A. 12 B. 48
C. 64 D. 72
D
4. 棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台体积等于
.
6＋28.3 导学1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
1. 多面体的表面积就是围成多面体　各个面　的面积的和.
2. 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的　各个面　的面积的和.
点拨：对于一个几何体，展开方式不同，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的.
例1　(1)若正三棱锥的底面边长为a，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为　a2　；
【解析】 ∵正三棱锥的底面边长为a，三条侧棱两两垂直，∴该三棱锥的三个侧面均为全等的等腰直角三角形，且斜边长为a，侧棱长为a，则它的侧面积为3××a×a＝a2.
(2)(2024·广东广州期中)已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，则其表面积为　12＋20　.
【解析】 如图所示，作B1H⊥平面ABCD，B1Q⊥BC，垂足分别为H，Q，连接HQ.
由题可知，HQ＝1，B1H＝3，∴B1Q＝＝，∴表面积S＝22＋42＋4××(2＋4)×＝20＋12.　
[反思感悟]　求正棱台的表面积时注意棱台的基本量：底面边长、高、斜高、侧棱长，并注意两个直角梯形的应用.
(1)高，侧棱，上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.
(2)高，斜高，上、下底面多边形的中心与多边形边的中点连线所成的直角梯形.
知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 相关概念
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的　底面积　，h为棱柱的　高　
棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的　底面积　，h为棱锥的　高　
棱台 V棱台＝h(S'＋＋S) S'，S分别为棱台的　上、下底面面积　，h为棱台的　高　
点拨： 1. 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系.
V棱柱＝ShV棱台＝(S'＋＋S)hV棱锥＝Sh.
2. 求三棱锥的体积时，每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，要注意转换顶点.
例2　 (1)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为　　；
【解析】 ××1×1×1＝.
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为　　.
【解析】 方法一 如图所示，
设O1，O分别为正四棱台ABCD－A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.∵AB＝2，A1B1＝1，∴OB＝，O1B1＝，∴BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝，又AA1＝，∴BB1＝，B1E＝＝＝，∴O1O＝，∴＝×(22＋12＋)×＝.
方法二 如图所示，将正四棱台ABCD－A1B1C1D1补形成正四棱锥P－ABCD，∵AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，∴A1，B1，C1，D1分别为PA，PB，PC，PD的中点，又A1A＝，∴PA＝2，即PB＝2.连接BD，取BD的中点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，易知BO＝，∴PO＝＝，∴正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为，∴＝×(22＋12＋)×＝( 或者＝×22×＝，＝，∴＝－＝＝×＝).
[反思感悟]　1. 求棱台体积的方法：
(1)补台为锥，利用锥体体积公式计算.
(2)利用棱台体积计算公式直接求解.
2. 求棱锥的体积的常用方法：
(1)等积法：若四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积，最后相加求解.
知识点三　简单组合体的表面积与体积
例3　一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋的体积忽略不计，结果精确到0.01立方米)？
解：将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.S底＝0.6×1.1－×(0.5＋0.3)×0.3＝0.54(平方米)，V＝S底·h＝0.54×24.8≈13.39(立方米)，
∴浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.
[反思感悟]　求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
1. 正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　B　)
A. 48 B. 64
C. 16 D. 96
2. 侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，当底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　A　)
A. a2 B. a2
C. a2 D. a2
3. 若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于(　D　)
A. 12 B. 48
C. 64 D. 72
4. 棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于　6＋2　.8.3 导学1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
1. 多面体的表面积就是围成多面体 的面积的和.
2. 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的 的面积的和.
点拨：对于一个几何体，展开方式不同，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的.
例1　(1)若正三棱锥的底面边长为a，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为 ；
(2)(2024·广东广州期中)已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，则其表面积为 .
[反思感悟]　求正棱台的表面积时注意棱台的基本量：底面边长、高、斜高、侧棱长，并注意两个直角梯形的应用.
(1)高，侧棱，上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.
(2)高，斜高，上、下底面多边形的中心与多边形边的中点连线所成的直角梯形.
知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 相关概念
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的 ，h为棱柱的
棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的 ，h为棱锥的
棱台 V棱台＝h(S'＋＋S) S'，S分别为棱台的 ，h为棱台的
点拨： 1. 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系.
V棱柱＝ShV棱台＝(S'＋＋S)hV棱锥＝Sh.
2. 求三棱锥的体积时，每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，要注意转换顶点.
例2　 (1)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为 ；
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为 .
[反思感悟]　1. 求棱台体积的方法：
(1)补台为锥，利用锥体体积公式计算.
(2)利用棱台体积计算公式直接求解.
2. 求棱锥的体积的常用方法：
(1)等积法：若四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积，最后相加求解.
知识点三　简单组合体的表面积与体积
例3　一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋的体积忽略不计，结果精确到0.01立方米)？
[反思感悟]　求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
1. 正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　 　)
A. 48 B. 64
C. 16 D. 96
2. 侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，当底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　 　)
A. a2 B. a2
C. a2 D. a2
3. 若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于(　 　)
A. 12 B. 48
C. 64 D. 72
4. 棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于 .

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