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8.3 导学2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱 底面积：S底＝　πr2　， 侧面积：S侧＝　2πrl　， 表面积：S＝　2πrl＋2πr2　
圆锥 底面积：S底＝　πr2　， 侧面积：S侧＝　πrl　， 表面积：S＝　πrl＋πr2　
圆台 上底面面积：S上底＝　πr'2　， 下底面面积：＝　πr2　， 侧面积：S侧＝　πl(r＋r')　， 表面积：S＝　π(r'2＋r2＋r'l＋rl)　
点拨： 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的关系
例1　(1)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积为　2π　；
【解析】 由题意，母线长l＝2，底面半径为1，∴侧面积为π×1×2＝2π.
(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为　168π　.
【解析】 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解.圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，∴r＝2，R＝8. S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
[反思感悟]　求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤：
(1)得到空间几何体的平面展开图；
(2)依次求出各个平面图形的面积；
(3)将各平面图形的面积相加.
知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积 相关概念
圆柱 V圆柱＝Sh＝　πr2h　 S为底面积，h是高，r是底面半径
圆锥 V圆锥＝Sh＝　πr2h　 S为底面积，h是高，r是底面半径
圆台 V圆台＝(S'＋＋S)h＝　π(r'2＋r'r＋r2)h　 S'，S分别为上、下底面面积，h为高，r'，r分别是上、下底面半径
点拨： 圆柱、圆锥、圆台的体积公式的关系
例2　(1)已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥的体积为(　D　)
A. 2π B. π C. π D. π
【解析】 如图所示，
圆锥SO中，底面圆半径为r＝OA＝1，高为h＝＝，∴圆锥SO的体积为V圆锥＝×π×12×＝π.
(2)(2024·安徽高一阶段检测)已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为26π，则该圆台的体积为(　D　)
A. B. C. D.
【解析】 设圆台的母线长为l，高为h，∴π×12＋π×32＋π×(1＋3)l＝26π，解得
l＝4，
∴h＝＝2，∴该圆台的体积V＝×(π×12＋π×32＋)×2＝.
[反思感悟]　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，圆锥、圆台的高是由母线、高、半径(半径的差)组成的直角三角形的边长，列出方程并求解.
知识点三　球的表面积与体积
1. 球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝　πR3　.
2. 球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝　4πR2　，即球的表面积等于它的大圆面积的　4　倍.
例3　已知△ABC的三个顶点在球的表面上，且AB＝4，AC＝2，BC＝6. 若球心O与BC中点的连线长为4，求球的表面积与体积.
解：∵AB＝4，AC＝2，BC＝6，∴AB2＋AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形，∴平面ABC被球所截得的图形是以BC为直径的圆.由已知得球心O与截面圆圆心的距离为4，
∴球的半径R＝＝5，∴球的表面积S＝4πR2＝100π，体积V＝πR3＝.
[反思感悟]　1. 公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.
2. 两个结论：(1)两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；(2)两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.
1. 若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为(　C　)
A. B. C. π D. 2π
2. 若一个球的体积为4π，则它的表面积为(　C　)
A. 3π B. 12 C. 12π D. 36π
3. 圆台OO'的上、下底面半径分别为1和2，高为6，则其体积等于　14π　.
4. 如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝　　.(共22张PPT)
三、简单几何体的表面积与体积
导学2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
知识梳理
圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆
柱
底面积：S底＝ ，
侧面积：S侧＝ ，
表面积：S＝
圆
锥 底面积：S底＝ ，
侧面积：S侧＝ ，
表面积：S＝
πr2　
2πrl　
2πrl＋2πr2　
πr2　
πrl　
πrl＋πr2　
圆
台
上底面面积：S上底＝ ，
下底面面积： ＝ ，
侧面积：S侧＝ ，
表面积：S＝
πr'2　
πr2　
πl(r＋r')　
π(r'2＋r2＋r'l＋rl)　
点拨： 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的关系
例1　(1)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个
圆锥的侧面积为 ；
【解析】 由题意，母线长l＝2，底面半径为1，∴侧面积为π×1×2＝2π.
2π　
(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的
表面积为 .
【解析】 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求
解.圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面
半径为R，则它的母线长为l＝ ＝
＝5r＝10，∴r＝2，R＝8. S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
168π　
[反思感悟]　求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤：
(1)得到空间几何体的平面展开图；
(2)依次求出各个平面图形的面积；
(3)将各平面图形的面积相加.
知识点二
知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积
知识梳理
几何体 体积 相关概念
圆柱 V圆柱＝Sh＝ S为底面积，h是高，r是底面半径
圆锥 V圆锥＝ Sh＝ 　 2 h　. S为底面积，h是高，r是底面半径
圆台 V圆台＝ (S'＋ ＋S)h
＝ S'，S分别为上、下底面面积，h为高，r'，r分别是上、下底面半径
πr2h　
πr2h　
π(r'2＋r'r＋r2)h　
点拨： 圆柱、圆锥、圆台的体积公式的关系
例2　(1)已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥的体
积为(　D　)
A. 2π B. π C. π D. π
D
【解析】 如图所示，
圆锥SO中，底面圆半径为r＝OA＝1，
高为h＝ ＝ ，
∴圆锥SO的体积为V圆锥＝ ×π×12× ＝ π.
(2)(2024·安徽高一阶段检测)已知圆台的上、下底面的半径分别为1，
3，其表面积为26π，则该圆台的体积为(　D　)
A. B. C. D.
【解析】 设圆台的母线长为l，高为h，∴π×12＋π×32＋π×(1＋3)l
＝26π，解得l＝4，
∴h＝ ＝2 ，∴该圆台的体积V＝ ×(π×12＋π×32
＋ )×2 ＝ .
D
[反思感悟]　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，
其中高一般利用几何体的轴截面求得，圆锥、圆台的高是由母线、高、
半径(半径的差)组成的直角三角形的边长，列出方程并求解.
知识点三
知识点三　球的表面积与体积
知识梳理
1. 球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝ .
2. 球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝ ，即球的表面积等于它的
大圆面积的 倍.
πR3　
4πR2　
4　
例3　已知△ABC的三个顶点在球的表面上，且AB＝4 ，AC＝2，
BC＝6. 若球心O与BC中点的连线长为4，求球的表面积与体积.
解：∵AB＝4 ，AC＝2，BC＝6，∴AB2＋AC2＝BC2，即△ABC
为直角三角形，∴平面ABC被球所截得的图形是以BC为直径的圆.由
已知得球心O与截面圆圆心的距离为4，
∴球的半径R＝ ＝5，∴球的表面积S＝4πR2＝100π，
体积V＝ πR3＝ .
[反思感悟]　1. 公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确
定球的条件.
2. 两个结论：(1)两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；
(2)两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.
随堂巩固
随堂巩固
1. 若圆锥的底面半径为 ，高为1，则圆锥的体积为(　C　)
A. B. C. π D. 2π
C
2. 若一个球的体积为4 π，则它的表面积为(　C　)
A. 3π B. 12 C. 12π D. 36π
C
3. 圆台OO'的上、下底面半径分别为1和2，高为6，则其体积等于 .
14π　
4. 如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放
入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则 ＝ 　 　.
　8.3 导学2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱 底面积：S底＝ ， 侧面积：S侧＝ ， 表面积：S＝
圆锥 底面积：S底＝ ， 侧面积：S侧＝ ， 表面积：S＝
圆台 上底面面积：S上底＝ ， 下底面面积：＝ ， 侧面积：S侧＝ ， 表面积：S＝
点拨： 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的关系
例1　(1)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积为 ；
(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为 .
[反思感悟]　求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤：
(1)得到空间几何体的平面展开图；
(2)依次求出各个平面图形的面积；
(3)将各平面图形的面积相加.
知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积 相关概念
圆柱 V圆柱＝Sh＝ S为底面积，h是高，r是底面半径
圆锥 V圆锥＝Sh＝ S为底面积，h是高，r是底面半径
圆台 V圆台＝(S'＋＋S)h＝ S'，S分别为上、下底面面积，h为高，r'，r分别是上、下底面半径
点拨： 圆柱、圆锥、圆台的体积公式的关系
例2　(1)已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥的体积为(　 　)
A. 2π B. π C. π D. π
(2)(2024·安徽高一阶段检测)已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为26π，则该圆台的体积为(　 　)
A. B. C. D.
[反思感悟]　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，圆锥、圆台的高是由母线、高、半径(半径的差)组成的直角三角形的边长，列出方程并求解.
知识点三　球的表面积与体积
1. 球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝ .
2. 球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝ ，即球的表面积等于它的大圆面积的 倍.
例3　已知△ABC的三个顶点在球的表面上，且AB＝4，AC＝2，BC＝6. 若球心O与BC中点的连线长为4，求球的表面积与体积.
[反思感悟]　1. 公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.
2. 两个结论：(1)两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；(2)两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.
1. 若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为(　 　)
A. B. C. π D. 2π
2. 若一个球的体积为4π，则它的表面积为(　 　)
A. 3π B. 12 C. 12π D. 36π
3. 圆台OO'的上、下底面半径分别为1和2，高为6，则其体积等于 .
4. 如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝ .

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