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8.3 导学3　与球有关的切、接问题
知识点一　球与长方体(正方体)的“切”“接”
例1　甲球与某正方体的各个面都相切，乙球与这个正方体的各条棱都相切，丙球过这个正方体的所有顶点，则甲、乙、丙三个球的半径的平方之比为(　A　)
A. 1∶2∶3 B. 1∶∶
C. 1∶∶ D. 1∶2∶3
【解析】 设正方体的棱长为a.
显然，对于正方体的内切球，取其中截面，则球的直径等于正方体的棱长，即
2R甲＝a，∴R甲＝.
对于正方体的棱切球，取其中截面，则球的直径等于正方体的面对角线，即2R乙＝a，∴R乙＝.
对于正方体的外接球，取其对角面，则球的直径等于正方体的体对角线，即2R丙＝a，∴R丙＝，∴甲、乙、丙三球的半径的平方之比为1∶2∶3.
[反思感悟]　解决与球有关的相接、相切问题时，关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题.
(1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.
(2)球外接于正方体(长方体)，正方体(长方体)的顶点均在球面上，正方体(长方体)的体对角线长等于球的直径.
知识点二　球与其他多面体的“切”“接”
例2　 (1)已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(　C　)
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
【解析】 根据已知可得球的半径等于1，三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于2，∴这个三棱柱的表面积等于3×2×2＋2××2×3＝18.
(2)若正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点都在同一个球面上，则球的表面积为　　.
【解析】 如图所示，H'，H分别为上、下底面的中心，HH'的中点O即为外接球的球心.
由题意得，在Rt△OAH中，AH＝，OH＝，则外接球的半径R＝OA＝＝，表面积S＝4πR2＝.
[反思感悟]　1. 解决特殊多面体的内切球或外接球问题时，要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊的位置，比如几何体的中心、对角线的中点等.
2. 对于一些特殊的三棱锥、四棱锥，还要会利用补体法转化为长方体(正方体)与球的相切、相接问题，如三条侧棱两两垂直的三棱锥、对棱相等的三棱锥、有一条侧棱与底面(为矩形)垂直的四棱锥等都可以补成长方体后确定球心.
知识点三　球与旋转体的“切”“接”
例3　(1)已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为(　C　)
A. π B. C. 2π D. 3π
【解析】 依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为r，易知轴截面三角形边AB上的高为2，因此＝，解得r＝，∴圆锥内切球的表面积为4π×＝2π.
(2)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为(　B　)
A. 3π B. 4π C. 9π D. 12π
【解析】 如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，高的比为3∶1，即AD＝3BD，设球的半径为R，则＝，可得R＝2，∴AB＝AD＋BD＝4BD＝4，∴BD＝1，AD＝3.∵CD⊥AB，则∠CAD＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，又∠ADC＝∠BDC，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴CD＝＝，∴这两个圆锥的体积之和为π·CD2·(AD＋BD)＝π×3×4＝4π.
[反思感悟]　由于球及旋转体都是轴对称图形，故一般要利用这种对称性确定球心，即作出球与旋转体的轴截面，利用球心到球面上两点的距离都等于半径来确定球心与半径.
1. 长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，，，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是(　A　)
A. 12π B. 18π C. 36π D. 6π
2. 表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个多面体的体积为(　C　)
A. Q B. Q C. Q D. 2Q
3. 如图所示，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是　　.
4. 若一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为　3∶2　.(共19张PPT)
三、简单几何体的表面积与体积
导学3　与球有关的切、接问题
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　球与长方体(正方体)的“切”“接”
例1　甲球与某正方体的各个面都相切，乙球与这个正方体的各条棱都
相切，丙球过这个正方体的所有顶点，则甲、乙、丙三个球的半径的平
方之比为(　A　)
A. 1∶2∶3 B. 1∶ ∶
C. 1∶ ∶ D. 1∶2 ∶3
A
【解析】 设正方体的棱长为a.
显然，对于正方体的内切球，取其中截面，则球的直径等于正方体的棱
长，即2R甲＝a，∴R甲＝ .
对于正方体的棱切球，取其中截面，则球的直径等于正方体的面对角
线，即2R乙＝ a，∴R乙＝ .
对于正方体的外接球，取其对角面，则球的直径等于正方体的体对角
线，即2R丙＝ a，∴R丙＝ ，∴甲、乙、丙三球的半径的平方之
比为1∶2∶3.
[反思感悟]　解决与球有关的相接、相切问题时，关键是根据“接点”
和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题.
(1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于
球的直径.
(2)球外接于正方体(长方体)，正方体(长方体)的顶点均在球面上，正方
体(长方体)的体对角线长等于球的直径.
知识点二
知识点二　球与其他多面体的“切”“接”
例2　 (1)已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一
个体积为 的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积
是(　C　)
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
【解析】 根据已知可得球的半径等于1，三棱柱的高等于2，底面三角
形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于2 ，∴这
个三棱柱的表面积等于3×2 ×2＋2× ×2 ×3＝18 .
C
(2)若正三棱柱ABC－A'B'C'的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点都在
同一个球面上，则球的表面积为 .
【解析】 如图所示，H'，H分别为上、下底面的中心，HH'的中点O
即为外接球的球心.
　
由题意得，在Rt△OAH中，AH＝ ，OH＝ ，
则外接球的半径R＝OA＝ ＝ ，表面积S＝4πR2＝ .
[反思感悟]　1. 解决特殊多面体的内切球或外接球问题时，要注意球心
的位置与几何体的关系.一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊
的位置，比如几何体的中心、对角线的中点等.
2. 对于一些特殊的三棱锥、四棱锥，还要会利用补体法转化为长方体
(正方体)与球的相切、相接问题，如三条侧棱两两垂直的三棱锥、对棱
相等的三棱锥、有一条侧棱与底面(为矩形)垂直的四棱锥等都可以补成
长方体后确定球心.
知识点三
知识点三　球与旋转体的“切”“接”
例3　(1)已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的
表面积为(　C　)
A. π B. C. 2π D. 3π
【解析】 依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为r，易知轴截面三角形边AB上的高为2 ，因此 ＝ ，
解得r＝ ，∴圆锥内切球的表面积为4π× ＝2π.
C
(2)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为(　B　)
A. 3π B. 4π C. 9π D. 12π
B
【解析】 如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，高的比为3∶1，
即AD＝3BD，设球的半径为R，则 ＝ ，可得R＝2，∴AB＝
AD＋BD＝4BD＝4，∴BD＝1，AD＝3.∵CD⊥AB，则∠CAD＋
∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，
又∠ADC＝∠BDC，∴△ACD∽△CBD，∴ ＝ ，
∴CD＝ ＝ ，∴这两个圆锥的体积之和为
π·CD2·(AD＋BD)＝ π×3×4＝4π.
[反思感悟]　由于球及旋转体都是轴对称图形，故一般要利用这种对称
性确定球心，即作出球与旋转体的轴截面，利用球心到球面上两点的距
离都等于半径来确定球心与半径.
随堂巩固
随堂巩固
1. 长方体的一个顶点处的三条棱长分别是 ， ， ，这个长方体
的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是(　A　)
A. 12π B. 18π C. 36π D. 6π
A
2. 表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个
多面体的体积为(　C　)
A. Q B. Q C. Q D. 2Q
C
3. 如图所示，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及
母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则 的值
是 .
　
4. 若一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和
球的表面积之比为 .
3∶2　8.3 导学3　与球有关的切、接问题
知识点一　球与长方体(正方体)的“切”“接”
例1　甲球与某正方体的各个面都相切，乙球与这个正方体的各条棱都相切，丙球过这个正方体的所有顶点，则甲、乙、丙三个球的半径的平方之比为(　 　)
A. 1∶2∶3 B. 1∶∶
C. 1∶∶ D. 1∶2∶3
[反思感悟]　解决与球有关的相接、相切问题时，关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题.
(1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.
(2)球外接于正方体(长方体)，正方体(长方体)的顶点均在球面上，正方体(长方体)的体对角线长等于球的直径.
知识点二　球与其他多面体的“切”“接”
例2　 (1)已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(　 　)
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
(2)若正三棱柱ABC-A'B'C'的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点都在同一个球面上，则球的表面积为 .
[反思感悟]　1. 解决特殊多面体的内切球或外接球问题时，要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊的位置，比如几何体的中心、对角线的中点等.
2. 对于一些特殊的三棱锥、四棱锥，还要会利用补体法转化为长方体(正方体)与球的相切、相接问题，如三条侧棱两两垂直的三棱锥、对棱相等的三棱锥、有一条侧棱与底面(为矩形)垂直的四棱锥等都可以补成长方体后确定球心.
知识点三　球与旋转体的“切”“接”
例3　(1)已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为(　 　)
A. π B. C. 2π D. 3π
(2)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为(　 　)
A. 3π B. 4π C. 9π D. 12π
[反思感悟]　由于球及旋转体都是轴对称图形，故一般要利用这种对称性确定球心，即作出球与旋转体的轴截面，利用球心到球面上两点的距离都等于半径来确定球心与半径.
1. 长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，，，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是(　 　)
A. 12π B. 18π C. 36π D. 6π
2. 表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个多面体的体积为(　 　)
A. Q B. Q C. Q D. 2Q
3. 如图所示，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是 .
4. 若一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为 .

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