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四、空间点、直线、平面之间的位置关系
导学1　平面
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　平面的概念、画法及表示
知识梳理
1. 平面的概念
(1)直观理解：课桌面、黑板面、教室地面、平静的水面等都给我们以
平面的直观感觉，但它们都不是平面，而是平面的一部分.
(2)抽象理解：平面是 ，平面是 的，平面没
有 、没有 .
平的　
无限延展　
厚薄　
大小　
2. 平面的画法与表示
(1)画法：在立体几何中，平面通常画成一个 .当平面水
平放置时，通常将平行四边形的锐角画成 ，且使横边长等于其
邻边长的 (如图1所示)，当平面竖直放置时，通常将平行四边形
的一组对边画成铅垂线(如图2所示).
图1 图2
平行四边形　
45°　
2倍　
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮
挡部分用虚线画出来或者不画.如图3所示.
图3
(3)如图1所示的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面
BD.
图1
例1　下列说法中，正确的是(　D　)
A. 镜面是一个平面
B. 一个平面长10 m，宽5 m
C. 一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D. 所有的平面都是无限延展的
【解析】 镜面可以抽象成平面，但不是平面，∴A错误；平面没有大
小，∴B，C错误.
D
[反思感悟]　1. “平面”是平的(这是区分“平面”与“曲面”的依据).
2. “平面”无厚薄之分.
3. “平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区分“平面”与
“平面图形”的依据.
知识点二
知识点二　基本事实及应用
知识梳理
1. 基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本事 实1 过不在一条直线上的三个点， 一个平面
A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
有且只有　
基本事实 内容 图形 符号
基本事 实2 如果一条直线上的
在一个平面内，那么这条直线在 A∈l，B∈l，且
A∈α，B∈α

基本事 实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 P∈α，P∈β α∩β＝
l，且P∈l
两个点
这个平面内　
l α　
公共直线　
2. 基本事实1，2的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直
线外一点，有且只有一
个平面
A a 直线a与点A
共面于平面α，且
平面唯一
推论2 经过两条相交直线，有
且只有一个平面
a∩b＝P 直线a，
b共面于平面α，且
平面唯一
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论3 经过两条平行直线，有
且只有一个平面
直线a∥b 直线a，
b共面于平面α，且
平面唯一
角度1　点共面问题
例2　 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 证明：直线l1，
l2，l3在同一平面内.
证明：方法一(纳入平面法) ∵l1∩l2＝A，
∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又l2 α，∴B∈α，同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，
∴l3 α，∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二(辅助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.∵A∈l2，l2 β，∴A∈β，同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
[反思感悟]　证明点、线共面的常用方法：
(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平
面内.
(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余
元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
角度2　三点共线问题
例3　已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示.证明：P，Q，R三点共线.
证明：方法一 ∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC，
∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，
∴P，Q，R三点共线.
方法二 ∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.
[反思感悟]　证明三点共线的方法：
角度3　线共点问题
例4　如图所示，已知平面α，β，且α∩β＝l，在梯形ABCD中，
AD∥BC，且AB α，CD β.
证明：AB，CD，l共点(相交于一点).
证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD＝M. 又AB α，CD β，∴M∈α，M∈β，∴M∈α∩β.又α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点(相交于一点).
[反思感悟]　证明三线共点的步骤：
随堂巩固
随堂巩固
1. 如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　A　)
A. 平面MN B. 平面NQ
C. 平面α D. 平面MNPQ
A
2. 若一直线a在平面α内，则下列各图中，正确的是(　A　)
A. B. C. D.
A
3. 如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以
表示为(　B　)
A. A a，a α，B∈α B. A∈a，a α，B∈α
C. A a，a∈α，B α D. A∈a，a∈α，B∈α
B
4. 下列条件中，能确定一个平面的是(　D　)
A. 空间三个点 B. 一个点和一条直线
C. 无数个点 D. 两条相交直线
D8.4 导学1　平面
知识点一　平面的概念、画法及表示
1. 平面的概念
(1)直观理解：课桌面、黑板面、教室地面、平静的水面等都给我们以平面的直观感觉，但它们都不是平面，而是平面的一部分.
(2)抽象理解：平面是　平的　，平面是　无限延展　的，平面没有　厚薄　、没有　大小　.
2. 平面的画法与表示
(1)画法：在立体几何中，平面通常画成一个　平行四边形　.当平面水平放置时，通常将平行四边形的锐角画成　45°　，且使横边长等于其邻边长的　2倍　(如图1所示)，当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成铅垂线(如图2所示).
图1　　 　图2
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来或者不画.如图3所示.
图3
(3)如图1所示的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD.
例1　下列说法中，正确的是(　D　)
A. 镜面是一个平面
B. 一个平面长10 m，宽5 m
C. 一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D. 所有的平面都是无限延展的
【解析】 镜面可以抽象成平面，但不是平面，∴A错误；平面没有大小，∴B，C错误.
[反思感悟]　1. “平面”是平的(这是区分“平面”与“曲面”的依据).
2. “平面”无厚薄之分.
3.“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区分“平面”与“平面图形”的依据.
知识点二　基本事实及应用
1. 基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，　有且只有　一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的　两个点　在一个平面内，那么这条直线在　这个平面内　 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α 　l α　
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的　公共直线　 P∈α，P∈β α∩β＝l，且P∈l
2. 基本事实1，2的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 A a 直线a与点A共面于平面α，且平面唯一
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b＝P 直线a，b共面于平面α，且平面唯一
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 直线a∥b 直线a，b共面于平面α，且平面唯一
角度1　点共面问题
例2　 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.证明：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明：方法一(纳入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又l2 α，∴B∈α，同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α，∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二(辅助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.∵A∈l2，l2 β，∴A∈β，同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
[反思感悟]　证明点、线共面的常用方法：
(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内.
(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
角度2　三点共线问题
例3　已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示.证明：P，Q，R三点共线.
证明：方法一 ∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC，∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，∴P，Q，R三点共线.
方法二 ∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.
[反思感悟]　证明三点共线的方法：
角度3　线共点问题
例4　如图所示，已知平面α，β，且α∩β＝l，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.
证明：AB，CD，l共点(相交于一点).
证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，∴AB，CD必定相交于一点，设AB∩CD＝M. 又AB α，CD β，∴M∈α，M∈β，∴M∈α∩β.又α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点(相交于一点).
[反思感悟]　证明三线共点的步骤：
1. 如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　A　)
A. 平面MN B. 平面NQ
C. 平面α D. 平面MNPQ
2. 若一直线a在平面α内，则下列各图中，正确的是(　A　)
A. B. C. D.
3. 如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　B　)
A. A a，a α，B∈α B. A∈a，a α，B∈α
C. A a，a∈α，B α D. A∈a，a∈α，B∈α
4. 下列条件中，能确定一个平面的是(　D　)
A. 空间三个点 B. 一个点和一条直线
C. 无数个点 D. 两条相交直线8.4 导学1　平面
知识点一　平面的概念、画法及表示
1. 平面的概念
(1)直观理解：课桌面、黑板面、教室地面、平静的水面等都给我们以平面的直观感觉，但它们都不是平面，而是平面的一部分.
(2)抽象理解：平面是 ，平面是 的，平面没有 、没有 .
2. 平面的画法与表示
(1)画法：在立体几何中，平面通常画成一个 .当平面水平放置时，通常将平行四边形的锐角画成 ，且使横边长等于其邻边长的 (如图1所示)，当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成铅垂线(如图2所示).
图1　　 　图2
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来或者不画.如图3所示.
图3
(3)如图1所示的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD.
例1　下列说法中，正确的是(　 　)
A. 镜面是一个平面
B. 一个平面长10 m，宽5 m
C. 一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D. 所有的平面都是无限延展的
[反思感悟]　1. “平面”是平的(这是区分“平面”与“曲面”的依据).
2. “平面”无厚薄之分.
3.“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区分“平面”与“平面图形”的依据.
知识点二　基本事实及应用
1. 基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过不在一条直线上的三个点， 一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 P∈α，P∈β α∩β＝l，且P∈l
2. 基本事实1，2的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 A a 直线a与点A共面于平面α，且平面唯一
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b＝P 直线a，b共面于平面α，且平面唯一
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 直线a∥b 直线a，b共面于平面α，且平面唯一
角度1　点共面问题
例2　 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.证明：直线l1，l2，l3在同一平面内.
[反思感悟]　证明点、线共面的常用方法：
(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内.
(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
角度2　三点共线问题
例3　已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示.证明：P，Q，R三点共线.
[反思感悟]　证明三点共线的方法：
角度3　线共点问题
例4　如图所示，已知平面α，β，且α∩β＝l，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.
证明：AB，CD，l共点(相交于一点).
[反思感悟]　证明三线共点的步骤：
1. 如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　 　)
A. 平面MN B. 平面NQ
C. 平面α D. 平面MNPQ
2. 若一直线a在平面α内，则下列各图中，正确的是(　 　)
A. B. C. D.
3. 如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为(　 　)
A. A a，a α，B∈α B. A∈a，a α，B∈α
C. A a，a∈α，B α D. A∈a，a∈α，B∈α
4. 下列条件中，能确定一个平面的是(　 　)
A. 空间三个点 B. 一个点和一条直线
C. 无数个点 D. 两条相交直线

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