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8.4 导学2　空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点一　空间中两条直线的位置关系
1. 异面直线
(1)定义：不同在　任何一个　平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法.
图1 　图2 　图3
(3)异面直线的判定方法.
方法 内容
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线
反证法 既　不平行　，也　不相交　的两条直线
2. 空间两条直线的位置关系
位置关系 特点
相交 同一平面内，有且只有　一个　公共点
平行 同一平面内，　没有　公共点
异面直线 不同在　任何一个　平面内，没有　公共点　
点拨： 1. 在不同平面内的两条直线不一定异面.2. 没有公共点的两条直线平行或异面.
例1　(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列说法中，正确的是(　BD　)
A. 直线AM与CC1是相交直线
B. 直线BN与MB1是异面直线
C. AM与BN平行
D. 直线A1M与BN共面
【解析】 根据异面直线的定义可以判断直线AM与CC1、直线BN与MB1、直线AM与BN都是异面直线，A，C错误，B正确.∵M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，∴MN∥D1C，由正方体的性质可知A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1D1CB是平行四边形，因此D1C∥A1B，∴MN∥A1B，因此M，N，A1，B四点共面，
∴直线A1M与BN共面，D正确.
[反思感悟]　判断空间两条直线位置关系的诀窍：
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.
(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.
知识点二　空间直线与平面的位置关系
位置 关系 直线在 平面内 直线在平面外
直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 　无数个　 　1个　 　0个　
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
点拨： 直线a在平面α外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.
例2　 (1)若直线上有一点在平面外，则下列说法中，正确的是(　B　)
A. 直线上所有的点都在平面外
B. 直线上有无数个点都在平面外
C. 直线上有无数个点都在平面内
D. 直线上至少有一个点在平面内
【解析】 直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，直线上有无数多个点在平面外.
(2)(多选)若a，b表示直线，α表示平面，则下列命题中，为假命题的是(　ABC　)
A. 若a∥b，b α，则a∥α
B. 若a∥α，b∥α，则a∥b
C. 若a∥b，b∥α，则a∥α
D. 若a∥α，b α，则a∥b或a与b异面
【解析】 可借助正方体来判断.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
A1B1∥AB，AB 平面ABB1A1，A1B1 平面ABB1A1，A错误；A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，但A1B1与B1C1相交，B错误；AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，C错误；∵a∥α，∴a与α无公共点，又b在α内，∴a与b无公共点，∴a∥b或a与b异面.
[反思感悟]　判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断.
知识点三　平面与平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平 面平行 　α∥β　 没有公 共点
两个平面相交 　α∩β＝l　 有一条公共直线
点拨： 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
例3　 (1)(多选)下列说法中，正确的是(　CD　)
A. 在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B. 在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
C. 平面α内的△ABC的三个顶点在平面β的同一侧，并且到平面β的距离相等且不为0，那么平面α与β平行
D. 平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交
【解析】 这两个平面平行或相交，A错误；在平面α内任意一条直线都和平面β平行，这两个平面才平行，B错误；∵△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，∴平面α与β平行，C正确；平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交，D正确.
(2)若点A∈α，点B α，点C α，则平面ABC与平面α的位置关系是 　相交　.
【解析】 ∵点A∈α，B α，C α，∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，
∴平面ABC与平面α的位置关系是相交.
[反思感悟]　1. 平面与平面的位置关系的判断方法：
(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.
2. 常见平面与平面平行的几何模型：
(1)棱柱(台)、圆柱(台)的上、下底面.
(2)长方体中三组相对的面.
1. 若点M∈平面α，点M∈平面β，则不同平面α与β的位置关系是(　B　)
A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 不确定
2. 在三棱锥S-ABC中，与SA是异面直线的为(　C　)
A. SB B. SC C. BC D. AB
3. 已知直线a在平面α外，则(　D　)
A. a∥α B. 直线a与平面α至少有一个公共点
C. a∩α＝A D. 直线a与平面α至多有一个公共点
4. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AA1异面的棱有　4　条，正方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面有　3　个.8.4 导学2　空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点一　空间中两条直线的位置关系
1. 异面直线
(1)定义：不同在 平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法.
图1 　图2 　图3
(3)异面直线的判定方法.
方法 内容
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线
反证法 既 ，也 的两条直线
2. 空间两条直线的位置关系
位置关系 特点
相交 同一平面内，有且只有 公共点
平行 同一平面内， 公共点
异面直线 不同在 平面内，没有
点拨： 1. 在不同平面内的两条直线不一定异面.2. 没有公共点的两条直线平行或异面.
例1　(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 直线AM与CC1是相交直线
B. 直线BN与MB1是异面直线
C. AM与BN平行
D. 直线A1M与BN共面
[反思感悟]　判断空间两条直线位置关系的诀窍：
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.
(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.
知识点二　空间直线与平面的位置关系
位置 关系 直线在 平面内 直线在平面外
直线与平面相交 直线与平面平行
公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
点拨： 直线a在平面α外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.
例2　 (1)若直线上有一点在平面外，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 直线上所有的点都在平面外
B. 直线上有无数个点都在平面外
C. 直线上有无数个点都在平面内
D. 直线上至少有一个点在平面内
(2)(多选)若a，b表示直线，α表示平面，则下列命题中，为假命题的是(　 　)
A. 若a∥b，b α，则a∥α
B. 若a∥α，b∥α，则a∥b
C. 若a∥b，b∥α，则a∥α
D. 若a∥α，b α，则a∥b或a与b异面
[反思感悟]　判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断.
知识点三　平面与平面的位置关系
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平 面平行 没有公 共点
两个平面相交 有一条公共直线
点拨： 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
例3　 (1)(多选)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B. 在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
C. 平面α内的△ABC的三个顶点在平面β的同一侧，并且到平面β的距离相等且不为0，那么平面α与β平行
D. 平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交
(2)若点A∈α，点B α，点C α，则平面ABC与平面α的位置关系是 .
[反思感悟]　1. 平面与平面的位置关系的判断方法：
(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.
2. 常见平面与平面平行的几何模型：
(1)棱柱(台)、圆柱(台)的上、下底面.
(2)长方体中三组相对的面.
1. 若点M∈平面α，点M∈平面β，则不同平面α与β的位置关系是(　 　)
A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 不确定
2. 在三棱锥S-ABC中，与SA是异面直线的为(　 　)
A. SB B. SC C. BC D. AB
3. 已知直线a在平面α外，则(　 　)
A. a∥α B. 直线a与平面α至少有一个公共点
C. a∩α＝A D. 直线a与平面α至多有一个公共点
4. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AA1异面的棱有 条，正方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面有 个.(共24张PPT)
四、空间点、直线、平面之间的位置关系
导学2　空间点、直线、平面之间的位置关系
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　空间中两条直线的位置关系
知识梳理
1. 异面直线
(1)定义：不同在 平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法.
图1 图2 图3
任何一个　
(3)异面直线的判定方法.
方法 内容
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线
反证法 既 ，也 的两条直线
不平行　
不相交　
2. 空间两条直线的位置关系
位置关系 特点
相交 同一平面内，有且只有 公共点
平行 同一平面内， 公共点
异面直线 不同在 平面内，没有
点拨： 1. 在不同平面内的两条直线不一定异面.2. 没有公共点的两条
直线平行或异面.
一个　
没有　
任何一个　
公共点　
例1　(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为
棱C1D1，C1C的中点，则下列说法中，正确的是(　BD　)
BD
A. 直线AM与CC1是相交直线
B. 直线BN与MB1是异面直线
C. AM与BN平行
D. 直线A1M与BN共面
【解析】 根据异面直线的定义可以判断直线AM与CC1、直线BN与
MB1、直线AM与BN都是异面直线，A，C错误，B正确.∵M，N分别
为棱C1D1，C1C的中点，∴MN∥D1C，由正方体的性质可知
A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1D1CB是平行四边形，因此
D1C∥A1B，∴MN∥A1B，因此M，N，A1，B四点共面，∴直线
A1M与BN共面，D正确.
[反思感悟]　判断空间两条直线位置关系的诀窍：
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关
系，特别关注异面直线.
(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直
线的位置关系.
知识点二
知识点二　空间直线与平面的位置关系
知识梳理
位置 关系 直线在 平面内 直线在平面外
直线与平面相交 直线与平面平行
公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
无数个
1个　
0个　
点拨： 直线a在平面α外包括两种情形：a∥α与a∩α＝A.
例2　 (1)若直线上有一点在平面外，则下列说法中，正确的是(　B　)
A. 直线上所有的点都在平面外
B. 直线上有无数个点都在平面外
C. 直线上有无数个点都在平面内
D. 直线上至少有一个点在平面内
【解析】 直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，直线上有无数
多个点在平面外.
B
(2)(多选)若a，b表示直线，α表示平面，则下列命题中，为假命题的是
(　ABC　)
A. 若a∥b，b α，则a∥α
B. 若a∥α，b∥α，则a∥b
C. 若a∥b，b∥α，则a∥α
D. 若a∥α，b α，则a∥b或a与b异面
ABC
【解析】 可借助正方体来判断.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB 平面ABB1A1，A1B1 平面ABB1A1，A错误；A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，但A1B1与B1C1
相交，B错误；AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，
AB 平面ABB1A1，C错误；∵a∥α，∴a与α无公共点，
又b在α内，∴a与b无公共点，∴a∥b或a与b异面.
[反思感悟]　判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑
到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判
断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判
断，避免凭空臆断.
知识点三
知识点三　平面与平面的位置关系
知识梳理
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平 面平行 没有公
共点
两个平面相交 有一条公共直线
α∥β　
α∩β＝l　
点拨： 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边
形的对应边平行.
例3　 (1)(多选)下列说法中，正确的是(　CD　)
A. 在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B. 在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
C. 平面α内的△ABC的三个顶点在平面β的同一侧，并且到平面β的距
离相等且不为0，那么平面α与β平行
D. 平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平
行或相交
CD
【解析】 这两个平面平行或相交，A错误；在平面α内任意一条直线都
和平面β平行，这两个平面才平行，B错误；∵△ABC的三个顶点在平
面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，∴平面α与β平行，C正
确；平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面
平行或相交，D正确.
(2)若点A∈α，点B α，点C α，则平面ABC与平面α的位置关系
是 .
【解析】 ∵点A∈α，B α，C α，∴平面ABC与平面α有公共点，且
不重合，∴平面ABC与平面α的位置关系是相交.
相交　
[反思感悟]　1. 平面与平面的位置关系的判断方法：
(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.
2. 常见平面与平面平行的几何模型：
(1)棱柱(台)、圆柱(台)的上、下底面.
(2)长方体中三组相对的面.
随堂巩固
随堂巩固
1. 若点M∈平面α，点M∈平面β，则不同平面α与β的位置关系是
(　B　)
A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 不确定
B
2. 在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的为(　C　)
A. SB B. SC C. BC D. AB
C
3. 已知直线a在平面α外，则(　D　)
A. a∥α B. 直线a与平面α至少有一个公共点
C. a∩α＝A D. 直线a与平面α至多有一个公共点
D
4. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AA1异面的棱有
条，正方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C，
平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面有 个.
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