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8.5 导学2　直线与平面平行
知识点一　直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果　平面外　一条直线与此　平面内　的一条直线　平行　，那么该直线与此平面平行
符号语言 　a α，b α，且a∥b　 a∥α
图形语言
点拨： 1. 定理中的三个条件“a α，b α，a∥b”缺一不可.
2. 实质是线线平行 线面平行.
例1　(1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别为下底面ABCD和上底面A'B'C'D'的中心，则正方体的六个面所在平面中，与EF平行的有　4　个；
【解析】 如图所示，连接AC，A'C'，BD，B'D'，则由题意得EF∥AA'∥CC'，∵EF 平面AA'D'D，EF 平面CC'D'D，EF 平面BB'C'C，EF 平面AA'B'B，AA' 平面AA'D'D，CC' 平面CC'D'D，CC' 平面BB'C'C，AA' 平面AA'B'B，∴EF∥平面AA'D'D，EF∥平面CC'D'D，EF∥平面BB'C'C，EF∥平面AA'B'B，则正方体的六个面所在平面中与EF平行的有4个.
(2)如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是平行四边形，M，N分别是SA，BD上的点，且＝，证明：MN∥平面SBC.
证明：连接AN并延长，使之交BC于点P，连接SP. ∵AD∥BC，∴＝，又＝，∴＝，∴MN∥SP.又MN 平面SBC，SP 平面SBC，∴MN∥平面SBC.
[反思感悟]　1. 用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下：
2. 上述证明步骤的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等来解题.
知识点二　直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面　平行　，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与　交线　平行
符号语言 a∥α，　a β，α∩β＝b　 a∥b
图形语言
点拨： 1. 定理中的三个条件“a∥α，α∩β＝b，a β”缺一不可.
2. 实质是线面平行 线线平行.
例2　 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH，证明：AP∥GH.
证明：连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又M是PC的中点，∴AP∥OM.又AP 平面BDM，OM 平面BDM，∴AP∥平面BDM.又AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
[反思感悟]　1. 用线面平行的性质定理解题的步骤：
2. 运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.
知识点三　线、面平行的综合
例3　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，CD＝2AB，E为棱PD的中点.
(1)证明：AE∥平面PBC；
证明：如图所示，取PC的中点F，连接EF，BF.
∵E，F分别为PD，PC的中点，∴EF∥DC，且EF＝DC.　
∵AB∥DC，CD＝2AB，∴EF∥AB，EF＝AB，∴四边形EFBA为平行四边形，则AE∥BF.∵AE 平面PBC，BF 平面PBC，∴AE∥平面PBC.
(2)PB与平面AEC是否平行？请说明理由.
解：PB与平面AEC不平行.
理由如下：假设PB∥平面AEC，连接BD，设BD∩AC＝O，连接OE.∵平面AEC∩平面PDB＝OE，PB 平面PDB，PB∥平面AEC，∴PB∥OE，∴在△PDB中，有＝，又E为PD的中点，∴＝＝1，即OB＝OD.
∵AB∥DC，∴＝＝，这与OB＝OD矛盾，∴假设不成立，即PB与平面AEC不平行.
[反思感悟]　判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行.
1. 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是(　A　)
A. 平行 B. 相交
C. 在平面内 D. 不确定
2. 能保证直线a与平面α平行的条件是(　D　)
A. b α，a∥b
B. b α，c∥α，a∥b，a∥c
C. b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D. a α，b α，a∥b
3. 过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1， C1， B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是　平行　.
4. 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是　平行或异面　.8.5 导学2　直线与平面平行
知识点一　直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果 一条直线与此 的一条直线 ，那么该直线与此平面平行
符号语言 a∥α
图形语言
点拨： 1. 定理中的三个条件“a α，b α，a∥b”缺一不可.
2. 实质是线线平行 线面平行.
例1　(1)在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F分别为下底面ABCD和上底面A'B'C'D'的中心，则正方体的六个面所在平面中，与EF平行的有 个；
(2)如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是平行四边形，M，N分别是SA，BD上的点，且＝，证明：MN∥平面SBC.
[反思感悟]　1. 用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下：
2. 上述证明步骤的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等来解题.
知识点二　直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 平行
符号语言 a∥α， a∥b
图形语言
点拨： 1. 定理中的三个条件“a∥α，α∩β＝b，a β”缺一不可.
2. 实质是线面平行 线线平行.
例2　 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH，证明：AP∥GH.
[反思感悟]　1. 用线面平行的性质定理解题的步骤：
2. 运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.
知识点三　线、面平行的综合
例3　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，CD＝2AB，E为棱PD的中点.
(1)证明：AE∥平面PBC；
(2)PB与平面AEC是否平行？请说明理由.
[反思感悟]　判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行.
1. 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是(　 　)
A. 平行 B. 相交
C. 在平面内 D. 不确定
2. 能保证直线a与平面α平行的条件是(　 　)
A. b α，a∥b
B. b α，c∥α，a∥b，a∥c
C. b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D. a α，b α，a∥b
3. 过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1， C1， B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是 .
4. 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是 .(共21张PPT)
五、空间直线、平面的平行
导学2　直线与平面平行
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　直线与平面平行的判定定理
知识梳理
文字语言 如果 一条直线与此 的一条直线
，那么该直线与此平面平行
符号语言 a∥α
图形语言
平面外　
平面内　
平
行　
a α，b α，且a∥b　
点拨： 1. 定理中的三个条件“a α，b α，a∥b”缺一不可.
2. 实质是线线平行 线面平行.
例1　(1)在正方体ABCD－A'B'C'D'中，E，F分别为下底面ABCD和
上底面A'B'C'D'的中心，则正方体的六个面所在平面中，与EF平行的
有 个；
【解析】 如图所示，连接AC，A'C'，BD，B'D'，则由题意得EF∥AA'∥CC'，∵EF 平面AA'D'D，EF 平面CC'D'D，EF 平面
BB'C'C，EF 平面AA'B'B，AA' 平面AA'D'D，
CC' 平面CC'D'D，CC' 平面BB'C'C，AA' 平面
AA'B'B，∴EF∥平面AA'D'D，EF∥平面CC'D'D，
EF∥平面BB'C'C，EF∥平面AA'B'B，
则正方体的六个面所在平面中与EF平行的有4个.
4　
(2)如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是平行四边形，M，N分别是
SA，BD上的点，且 ＝ ，证明：MN∥平面SBC.
证明：连接AN并延长，使之交BC于点P，连接SP.
∵AD∥BC，∴ ＝ ，又 ＝ ，∴ ＝ ，
∴MN∥SP. 又MN 平面SBC，SP 平面SBC，
∴MN∥平面SBC.
[反思感悟]　1. 用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下：
2. 上述证明步骤的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利
用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等来解题.
知识点二
知识点二　直线与平面平行的性质定理
知识梳理
文字语言 一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此
平面相交，那么该直线与 平行
符号语言 a∥α， a∥b
图形语言
平行　
交线　
a β，α∩β＝b　
点拨： 1. 定理中的三个条件“a∥α，α∩β＝b，a β”缺一不可.
2. 实质是线面平行 线线平行.
例2　 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和
AP作平面交平面BDM于GH，证明：AP∥GH.
证明：连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.
又M是PC的中点，∴AP∥OM. 又AP 平面BDM，
OM 平面BDM，∴AP∥平面BDM. 又AP 平面APGH，
平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
[反思感悟]　1. 用线面平行的性质定理解题的步骤：
2. 运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直
线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.
知识点三
知识点三　线、面平行的综合
例3　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，CD＝2AB，E
为棱PD的中点.
(1)证明：AE∥平面PBC；
证明：如图所示，取PC的中点F，连接EF，BF.
∵E，F分别为PD，PC的中点，∴EF∥DC，
且EF＝ DC. ∵AB∥DC，CD＝2AB，∴EF∥AB，EF＝AB，
∴四边形EFBA为平行四边形，则AE∥BF. ∵AE 平面PBC，
BF 平面PBC，∴AE∥平面PBC.
(2)PB与平面AEC是否平行？请说明理由.
解：PB与平面AEC不平行.
理由如下：假设PB∥平面AEC，连接BD，
设BD∩AC＝O，连接OE. ∵平面AEC∩平面PDB
＝OE，PB 平面PDB，PB∥平面AEC，
∴PB∥OE，∴在△PDB中，有 ＝ ，又E为PD的中点，
∴ ＝ ＝1，即OB＝OD. ∵AB∥DC，∴ ＝ ＝ ，
这与OB＝OD矛盾，∴假设不成立，即PB与平面AEC不平行.
[反思感悟]　判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推
出线面平行，再通过线面平行推出线线平行.
随堂巩固
随堂巩固
1. 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是(　A　)
A. 平行 B. 相交
C. 在平面内 D. 不确定
A
2. 能保证直线a与平面α平行的条件是(　D　)
A. b α，a∥b
B. b α，c∥α，a∥b，a∥c
C. b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D. a α，b α，a∥b
D
3. 过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1， C1， B的平面与底面
ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是 .
平行　
4. 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD
与平面α内的直线的位置关系只能是 .
平行或异面　

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