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8.5 导学3　平面与平面平行
知识点一　平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的　两条相交直线　与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β，　a∩b＝P　，a∥α，b∥α β∥α
图形语言
点拨： 1. 平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的条件.
2. 面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把线面平行转化为面面平行.
例1　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点.证明：平面MDB1∥平面ANC.
证明：如图所示，连接MN.
∵M，N分别是所在棱的中点，∴四边形AMB1N和四边形MNCD都是平行四边形，∴MB1∥AN，CN∥MD.又MB1 平面MDB1，AN 平面MDB1，∴AN∥平面MDB1，同理可证CN∥平面MDB1，又AN∩CN＝N，AN，CN 平面ANC，∴平面MDB1∥平面ANC.
[反思感悟]　利用判定定理证明两个平面平行的步骤：
知识点二　平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线　平行　
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b 　a∥b　
图形语言
点拨： 平面与平面平行的性质定理的实质是由面面平行推出线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行.
例2　 如图所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1被平面α所截，截面为CDEF，其中点E在A1D1上，点F在B1C1上，且EF＝DC，证明：AD∥BC.
解：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，又平面ABCD∩平面α＝CD，平面A1B1C1D1∩平面α＝EF，∴EF∥CD.又C1D1∥CD，且C1D1＝CD，EF＝CD，∴C1D1∥EF，且C1D1＝EF，则四边形EFC1D1是平行四边形，∴D1E∥C1F，即A1D1∥B1C1，又A1D1∥AD，BC∥B1C1，∴AD∥BC.
[反思感悟]　利用平面与平面平行的性质定理判断两直线平行的基本步骤：
知识点三　平行关系的综合应用
例3　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点.
(1)证明：直线EG∥平面BDD1B1；
　
证明：如图所示，连接SB，由EG为△CSB的中位线，可得EG∥SB，又EG 平面BDD1B1，SB 平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1.
(2)证明：平面EFG∥平面BDD1B1；
证明：由题意知EF∥DB，又EF 平面BDD1B1，DB 平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1.
由(1)可得EG∥平面BDD1B1，又EF∩EG＝E，EF 平面EFG，EG 平面EFG，∴平面EFG∥平面BDD1B1.
(3)若正方体的棱长为1，过A，E，C1三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积.
解：如图所示，取B1C1的中点N，连接A1N，NE，AE，可得AE∥A1N，AE＝A1N.
取A1D1的中点M，连接MC1，AM，C1E，可得MC1＝A1N，MC1∥A1N，∴MC1∥AE，MC1＝AE，∴四边形AEC1M为平行四边形.易知平行四边形AEC1M为过点A，E，C1的截面，且AE＝EC1＝AM＝MC1＝＝，∴平行四边形AEC1M为菱形.连接AC1，ME，易得AC1＝，ME＝，∴截面的面积为×AC1×ME＝××＝.
[反思感悟]　1. 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立存在的，而是相互联系、相互转化的，它们的联系如下：
2. 判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是由高一级的平行关系推出低一级的平行关系.
1. 平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是(　A　)
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 平行或异面
2. 能够判断两个平面α，β平行的条件是(　D　)
A. 平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行
B. 夹在两个平面间的线段相等
C. 平面α内的无数条直线与平面β无公共点
D. 平面α内所有的点到平面β的距离都相等
3. 平面α内任意一条直线均平行于平面β，则平面α与平面β的位置关系是　平行　.
4. 六棱柱的两底面为α，β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC，则AB与CD的位置关系是　平行　.(共21张PPT)
五、空间直线、平面的平行
导学3　平面与平面平行
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　平面与平面平行的判定定理
知识梳理
文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，
那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β， ，a∥α，b∥α β∥α
图形语言
两条相交直线　
a∩b＝P　
点拨： 1. 平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条
相交直线”是必不可少的条件.
2. 面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把线面平行转化
为面面平行.
例1　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中
点.证明：平面MDB1∥平面ANC.
证明：如图所示，连接MN.
∵M，N分别是所在棱的中点，
∴四边形AMB1N和四边形MNCD都是平行四边形，
∴MB1∥AN，CN∥MD. 又MB1 平面MDB1，AN 平面MDB1，
∴AN∥平面MDB1，同理可证CN∥平面MDB1，又AN∩CN＝N，
AN，CN 平面ANC，∴平面MDB1∥平面ANC.
[反思感悟]　利用判定定理证明两个平面平行的步骤：
知识点二
知识点二　平面与平面平行的性质定理
知识梳理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么
两条交线
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
图形语言
平行　
a∥b　
点拨： 平面与平面平行的性质定理的实质是由面面平行推出线线平
行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可
知定理可用来证明线线平行.
例2　 如图所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1被平面α所截，截面为
CDEF，其中点E在A1D1上，点F在B1C1上，且EF＝DC，证明：AD∥BC.
解：在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥
平面A1B1C1D1，又平面ABCD∩平面α＝CD，平面
A1B1C1D1∩平面α＝EF，∴EF∥CD. 又C1D1∥CD，且C1D1＝CD，EF＝CD，∴C1D1∥EF，且C1D1＝EF，则四边形EFC1D1是平行四边形，∴D1E∥C1F，即A1D1∥B1C1，又A1D1∥AD，BC∥B1C1，
∴AD∥BC.
[反思感悟]　利用平面与平面平行的性质定理判断两直线平行的基
本步骤：
知识点三
知识点三　平行关系的综合应用
例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，
E，F，G分别是BC，DC，SC的中点.
(1)证明：直线EG∥平面BDD1B1；
　
证明：如图所示，连接SB，
由EG为△CSB的中位线，可得EG∥SB，
又EG 平面BDD1B1，SB 平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
(2)证明：平面EFG∥平面BDD1B1；
证明：由题意知EF∥DB，又EF 平面BDD1B1，
DB 平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1.
由(1)可得EG∥平面BDD1B1，又EF∩EG＝E，
EF 平面EFG，EG 平面EFG，∴平面EFG∥平面BDD1B1.
(3)若正方体的棱长为1，过A，E，C1三点作正方体的截面，画出截面
与正方体的交线，并求出截面的面积.
解：如图所示，取B1C1的中点N，连接A1N，NE，AE，
可得AE∥A1N，AE＝A1N.
取A1D1的中点M，连接MC1，AM，C1E，
可得MC1＝A1N，MC1∥A1N，∴MC1∥AE，
MC1＝AE，∴四边形AEC1M为平行四边形.易知平行四边形AEC1M为过点A，E，C1的截面，且AE＝EC1＝AM＝MC1＝ ＝ ，
∴平行四边形AEC1M为菱形.连接AC1，ME，易得AC1＝ ，
ME＝ ，∴截面的面积为 ×AC1×ME＝ × × ＝ .
[反思感悟]　1. 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这
三种平行关系不是孤立存在的，而是相互联系、相互转化的，它们的联
系如下：
2. 判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是由高一
级的平行关系推出低一级的平行关系.
随堂巩固
随堂巩固
1. 平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置
关系是(　A　)
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 平行或异面
A
2. 能够判断两个平面α，β平行的条件是(　D　)
A. 平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行
B. 夹在两个平面间的线段相等
C. 平面α内的无数条直线与平面β无公共点
D. 平面α内所有的点到平面β的距离都相等
D
3. 平面α内任意一条直线均平行于平面β，则平面α与平面β的位置关系
是 .
平行　
4. 六棱柱的两底面为α，β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC，
则AB与CD的位置关系是 .
平行　8.5 导学3　平面与平面平行
知识点一　平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β， ，a∥α，b∥α β∥α
图形语言
点拨： 1. 平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的条件.
2. 面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把线面平行转化为面面平行.
例1　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点.证明：平面MDB1∥平面ANC.
[反思感悟]　利用判定定理证明两个平面平行的步骤：
知识点二　平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
图形语言
点拨： 平面与平面平行的性质定理的实质是由面面平行推出线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行.
例2　 如图所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1被平面α所截，截面为CDEF，其中点E在A1D1上，点F在B1C1上，且EF＝DC，证明：AD∥BC.
[反思感悟]　利用平面与平面平行的性质定理判断两直线平行的基本步骤：
知识点三　平行关系的综合应用
例3　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点.
(1)证明：直线EG∥平面BDD1B1；
　
(2)证明：平面EFG∥平面BDD1B1；
(3)若正方体的棱长为1，过A，E，C1三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积.
[反思感悟]　1. 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立存在的，而是相互联系、相互转化的，它们的联系如下：
2. 判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是由高一级的平行关系推出低一级的平行关系.
1. 平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是(　 　)
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 平行或异面
2. 能够判断两个平面α，β平行的条件是(　 　)
A. 平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行
B. 夹在两个平面间的线段相等
C. 平面α内的无数条直线与平面β无公共点
D. 平面α内所有的点到平面β的距离都相等
3. 平面α内任意一条直线均平行于平面β，则平面α与平面β的位置关系是 .
4. 六棱柱的两底面为α，β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC，则AB与CD的位置关系是 .

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