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六、空间直线、平面的垂直
导学1　直线与直线垂直
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　异面直线所成的角
知识梳理
1. 异面直线所成的角
定
义 前提 两条异面直线a，b
作法 经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b
结论 a'与b'所成的 叫做异面直线a与b所
成的角(或夹角)
范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则
特例 如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说
这两条异面直线互相垂直
锐角(或直角)　
0°＜θ≤90°　
直角　
2. 空间两直线所成的角
当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为 ，所以空间
两条直线所成角α的取值范围是 .
0°　
0°≤α≤90°　
例1　 如图所示，在正方体ABCD－EFGH中，点O为侧面ADHE的中
心，求：
(1)BE与CG所成的角；
解：如图所示，∵CG∥BF，
∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又在△BEF中，∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
(2)FO与BD所成的角.
解：连接FH，∵HD∥EA，EA∥FB，∴HD∥FB，
又HD＝FB，∴四边形HFBD为平行四边形，
∴HF∥BD，∴∠HFO(或其补角)为异面直线
FO与BD所成的角.连接HA，AF，易得O为AH的中点，且FH＝HA＝AF，∴△AFH为等边三角形，∴∠HFO＝30°，FO与BD所成的角为30°.
[反思感悟]　求异面直线所成的角的一般步骤：
(1)找出(或作出)与题设相符的角——用平移法，若题设中有中点，常考
虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线向异面直线平移有困难
时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线；
(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找
的角；
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ. 若0°＜θ≤90°，则θ即为
所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ即为所求.
知识点二
知识点二　直线与直线垂直
知识梳理
1. 如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面
直线互相垂直.
2. 直线a与直线b垂直，记作 .
直角　
a⊥b　
例2　 (1)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分
别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝ ，PR＝3，证明：AC⊥BD；
证明：∵P，Q，R分别为AB，BC，CD的中点，
∴PQ∥AC，QR∥BD，∴∠PQR或其补角是异面直线
AC与BD所成的角.∵PQ＝2，QR＝ ，PR＝3，
∴PQ2＋QR2＝PR2，∴∠PQR＝90°，
∴异面直线AC与BD所成的角为90°，∴AC⊥BD.
(2)如图所示，在底面为菱形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝
4，BD1＝4 ，若∠BAD＝60°，证明：B1C⊥AD1.
证明：如图所示，连接BD.
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝4，
∴BD＝4.∵△BDD1为直角三角形，
∴B ＝BD2＋D ，∴DD1＝4.连接BC1，
交B1C于点O. ∵BC1∥AD1，∴∠BOC(或其补角)为异面直线B1C与AD1所成的角.易知四边形BCC1B1为正方形，∴∠BOC＝90°，
∴B1C⊥AD1.
[反思感悟]　证明两条直线垂直的方法：
(1)对于共面垂直的两条直线的证明，可运用勾股定理.
(2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的
角为90°.
随堂巩固
随堂巩固
1. 若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　B　)
A. 一定平行 B. 一定垂直
C. 一定是异面直线 D. 一定相交
B
2. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，
和AC垂直且异面的直线有(　B　)
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
B
3. 若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB
所成的角的大小为 .
60°　
4. 已知正方体ABCD－EFGH，则AH与FG所成的角是 .
45°　8.6 导学1　直线与直线垂直
知识点一　异面直线所成的角
1. 异面直线所成的角
定义 前提 两条异面直线a，b
作法 经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b
结论 a'与b'所成的　锐角(或直角)　叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则　0°＜θ≤90°　
特例 如果两条异面直线所成的角是　直角　，那么我们就说这两条异面直线互相垂直
2. 空间两直线所成的角
当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为　0°　，所以空间两条直线所成角α的取值范围是　0°≤α≤90°　.
例1　 如图所示，在正方体ABCD-EFGH中，点O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
解：如图所示，∵CG∥BF，
∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，∴BE与CG所成的角为45°.
(2)FO与BD所成的角.
解：连接FH，∵HD∥EA，EA∥FB，∴HD∥FB，又HD＝FB，∴四边形HFBD为平行四边形，∴HF∥BD，∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.连接HA，AF，易得O为AH的中点，且FH＝HA＝AF，∴△AFH为等边三角形，∴∠HFO＝30°，FO与BD所成的角为30°.
[反思感悟]　求异面直线所成的角的一般步骤：
(1)找出(或作出)与题设相符的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线向异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线；
(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角；
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ. 若0°＜θ≤90°，则θ即为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ即为所求.
知识点二　直线与直线垂直
1. 如果两条异面直线所成的角是　直角　，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.
2. 直线a与直线b垂直，记作　a⊥b　.
例2　 (1)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，证明：AC⊥BD；
证明：∵P，Q，R分别为AB，BC，CD的中点，∴PQ∥AC，QR∥BD，∴∠PQR或其补角是异面直线AC与BD所成的角.∵PQ＝2，QR＝，PR＝3，∴PQ2＋QR2＝PR2，∴∠PQR＝90°，∴异面直线AC与BD所成的角为90°，∴AC⊥BD.
(2)如图所示，在底面为菱形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BD1＝4，若∠BAD＝60°，证明：B1C⊥AD1.
证明：如图所示，连接BD.
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝4，∴BD＝4.∵△BDD1为直角三角形，∴B＝BD2＋D，∴DD1＝4.连接BC1，交B1C于点O.∵BC1∥AD1，∴∠BOC(或其补角)为异面直线B1C与AD1所成的角.易知四边形BCC1B1为正方形，∴∠BOC＝90°，∴B1C⊥AD1.
[反思感悟]　证明两条直线垂直的方法：
(1)对于共面垂直的两条直线的证明，可运用勾股定理.
(2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°.
1. 若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　B　)
A. 一定平行 B. 一定垂直
C. 一定是异面直线 D. 一定相交
2. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有(　B　)
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
3. 若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为　60°　.
4. 已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG所成的角是　45°　.8.6 导学1　直线与直线垂直
知识点一　异面直线所成的角
1. 异面直线所成的角
定义 前提 两条异面直线a，b
作法 经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b
结论 a'与b'所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则
特例 如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直
2. 空间两直线所成的角
当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为 ，所以空间两条直线所成角α的取值范围是 .
例1　 如图所示，在正方体ABCD-EFGH中，点O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角.
[反思感悟]　求异面直线所成的角的一般步骤：
(1)找出(或作出)与题设相符的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线向异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线；
(2)求角——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角；
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ. 若0°＜θ≤90°，则θ即为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ即为所求.
知识点二　直线与直线垂直
1. 如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.
2. 直线a与直线b垂直，记作 .
例2　 (1)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，证明：AC⊥BD；
(2)如图所示，在底面为菱形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BD1＝4，若∠BAD＝60°，证明：B1C⊥AD1.
[反思感悟]　证明两条直线垂直的方法：
(1)对于共面垂直的两条直线的证明，可运用勾股定理.
(2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°.
1. 若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　 　)
A. 一定平行 B. 一定垂直
C. 一定是异面直线 D. 一定相交
2. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有(　 　)
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
3. 若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为 .
4. 已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG所成的角是 .

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