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8.6 导学2　直线与平面垂直的判定
知识点一　直线与平面垂直的定义及有关概念
定义 如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
相关 概念 直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 .它们唯一的公共点P叫做
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边
结论 过一点并垂直于已知平面的直线有且只有一条
垂线段 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
点拨： 1. 定义中的“任意一条直线”，与“所有直线”是同义语，就是说这条直线和平面内的所有直线垂直.
2. 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.
例1　(多选)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行
B. 若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C. 若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D. 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条
[反思感悟]　直线与平面垂直定义的“双向”作用：
(1)证明线面垂直.
若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直.即线线垂直 线面垂直.
(2)证明线线垂直.
若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直 线线垂直.
知识点二　直线与平面垂直的判定定理及应用
文字语言 如果一条直线与一个平面内的 直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α， ，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
点拨： 1. 虽然平面内有无数条直线，但它却可以由两条相交直线完全确定.
2. 不能用一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直.
例2　(1)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各组边，那么能保证该直线与平面垂直的是 (填序号)；
①三角形的两边 ②梯形的两边
③圆的两条直径 ④正六边形的两条边
(2)如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D，证明：AD⊥平面SBC.
[反思感悟]　线线垂直和线面垂直的相互转化：
知识点三　直线与平面所成的角
相关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α ，但不与这个平面 ，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的 A叫做斜足
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引 PO，过 O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是
取值范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是
例3　 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.
[反思感悟]　求斜线与平面所成角的步骤：
(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影需要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中的已知量有关，以便计算；
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
1. (多选)若直线l与平面α垂直，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 直线l与平面α内的所有直线都垂直
B. 在平面α内存在与直线l异面的直线
C. 在平面α内存在无数条直线与直线l相交
D. 在平面α内存在与直线l平行的直线
2. 若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　 　)
A. 平面OAB B. 平面OAC
C. 平面OBC D. 平面ABC
3. 如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　 　)
A. 60° B. 45° C. 30° D. 120°
4. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为 .(共23张PPT)
六、空间直线、平面的垂直
导学2　直线与平面垂直的判定
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　直线与平面垂直的定义及有关概念
知识梳理
定义 如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们就说
直线l与平面α互相垂直
记法
相关 概念 直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 .
它们唯一的公共点P叫做
任意一条　
l⊥α　
垂线　
垂面　
垂足　
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四
边形的一边
结论 过一点并垂直于已知平面的直线有且只有一条
垂线段 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，
叫做这个点到平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该
平面的距离
垂直　
点拨： 1. 定义中的“任意一条直线”，与“所有直线”是同义语，就
是说这条直线和平面内的所有直线垂直.
2. 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.
例1　(多选)下列说法中，正确的是(　CD　)
A. 若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，
也可能平行
B. 若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C. 若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D. 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条
CD
【解析】 l与平面α内的所有直线都垂直，A错误；当l与α内的一条直线
垂直时，不能保证l与平面α垂直，B错误；当l与α不垂直时，l可能与α
内的无数条平行直线垂直，C正确；过一点有且只有一条直线垂直于已
知平面，D正确.
[反思感悟]　直线与平面垂直定义的“双向”作用：
(1)证明线面垂直.
若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂
直.即线线垂直 线面垂直.
(2)证明线线垂直.
若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直.即
线面垂直 线线垂直.
知识点二
知识点二　直线与平面垂直的判定定理及应用
知识梳理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的 直线垂直，那
么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α， ，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
两条相交　
m∩n＝P　
点拨： 1. 虽然平面内有无数条直线，但它却可以由两条相交直线完全
确定.
2. 不能用一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面
垂直.
例2　(1)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各组边，那么能保证该
直线与平面垂直的是 (填序号)；
①三角形的两边 ②梯形的两边
③圆的两条直径 ④正六边形的两条边
【解析】 要保证该直线与平面垂直，须满足该直线垂直于平面内的两
条相交直线.三角形的两边一定相交，①正确；梯形的两边可能相交也
可能平行，②错误；圆的两条直径一定相交，③正确；正六边形的两边
可能相交也可能平行，④错误.
①③　
(2)如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，
AD⊥SC于点D，证明：AD⊥平面SBC.
证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，又SA⊥平面ABC，
BC 平面ABC，∴SA⊥BC，又AC∩SA＝A，
SA 平面SAC，AC 平面SAC，∴BC⊥平面SAC，
∵AD 平面SAC，∴BC⊥AD. 又SC⊥AD，SC∩BC＝C，
SC 平面SBC，BC 平面SBC，∴AD⊥平面SBC.
[反思感悟]　线线垂直和线面垂直的相互转化：
知识点三
知识点三　直线与平面所成的角
知识梳理
相关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α ，但不与这个平
面 ，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的 A叫做斜足
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引
PO，过 O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
相交　
垂直　
交点　
垂线　
垂足　
相关概念
直线
和平
面所
成的
角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角，叫
做这条直线和这个平面所成的角.
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角
是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们
所成的角是
取值
范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是
射影　
90°　
0°　
0°≤θ≤90°　
例3　 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B和平面
A1DCB1所成的角.
解：如图所示，连接BC1，BC1与B1C相交于点O，连接A1O.
设正方体的棱长为a.∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，
B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
∴A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1.又BC1⊥B1C，
A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C 平面A1DCB1，
∴BC1⊥平面A1DCB1，∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1
上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.
在Rt△A1BO中，A1B＝ a，BO＝ a，
∴BO＝ A1B，∴∠BA1O＝30°，
∴直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
[反思感悟]　求斜线与平面所成角的步骤：
(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影需要过斜线上一点作
平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的
位置要与问题中的已知量有关，以便计算；
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
随堂巩固
随堂巩固
1. (多选)若直线l与平面α垂直，则下列说法中，正确的是(　ABC　)
A. 直线l与平面α内的所有直线都垂直
B. 在平面α内存在与直线l异面的直线
C. 在平面α内存在无数条直线与直线l相交
D. 在平面α内存在与直线l平行的直线
ABC
2. 若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　C　)
A. 平面OAB B. 平面OAC
C. 平面OBC D. 平面ABC
C
3. 如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与
平面α所成的角是(　A　)
A. 60° B. 45° C. 30° D. 120°
A
4. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则
直线PB与平面ABC所成角的度数为 .
45°　8.6 导学2　直线与平面垂直的判定
知识点一　直线与平面垂直的定义及有关概念
定义 如果直线l与平面α内的　任意一条　直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
相关 概念 直线l叫做平面α的　垂线　，平面α叫做直线l的　垂面　.它们唯一的公共点P叫做　垂足　
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边　垂直　
结论 过一点并垂直于已知平面的直线有且只有一条
垂线段 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离
点拨： 1. 定义中的“任意一条直线”，与“所有直线”是同义语，就是说这条直线和平面内的所有直线垂直.
2. 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.
例1　(多选)下列说法中，正确的是(　CD　)
A. 若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行
B. 若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C. 若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D. 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条
【解析】 l与平面α内的所有直线都垂直，A错误；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，B错误；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，C正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，D正确.
[反思感悟]　直线与平面垂直定义的“双向”作用：
(1)证明线面垂直.
若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直.即线线垂直 线面垂直.
(2)证明线线垂直.
若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直 线线垂直.
知识点二　直线与平面垂直的判定定理及应用
文字语言 如果一条直线与一个平面内的　两条相交　直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α，　m∩n＝P　，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
点拨： 1. 虽然平面内有无数条直线，但它却可以由两条相交直线完全确定.
2. 不能用一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直.
例2　(1)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各组边，那么能保证该直线与平面垂直的是　①③　(填序号)；
①三角形的两边 ②梯形的两边
③圆的两条直径 ④正六边形的两条边
【解析】 要保证该直线与平面垂直，须满足该直线垂直于平面内的两条相交直线.三角形的两边一定相交，①正确；梯形的两边可能相交也可能平行，②错误；圆的两条直径一定相交，③正确；正六边形的两边可能相交也可能平行，④错误.
(2)如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D，证明：AD⊥平面SBC.
证明：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，又SA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴SA⊥BC，又AC∩SA＝A，SA 平面SAC，AC 平面SAC，∴BC⊥平面SAC，∵AD 平面SAC，∴BC⊥AD.又SC⊥AD，SC∩BC＝C，SC 平面SBC，BC 平面SBC，∴AD⊥平面SBC.
[反思感悟]　线线垂直和线面垂直的相互转化：
知识点三　直线与平面所成的角
相关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α　相交　，但不与这个平面　垂直　，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的　交点　A叫做斜足
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引　垂线　PO，过　垂足　O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的　射影　所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是　90°　；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是　0°　
取值范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是　0°≤θ≤90°　
例3　 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.
解：如图所示，连接BC1，BC1与B1C相交于点O，连接A1O. 设正方体的棱长为a.∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B 平面BCC1B1，
∴A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1.又BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C 平面A1DCB1，∴BC1⊥平面A1DCB1，∴A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a，∴BO＝A1B，∴∠BA1O＝30°，∴直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
[反思感悟]　求斜线与平面所成角的步骤：
(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影需要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中的已知量有关，以便计算；
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角；
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
1. (多选)若直线l与平面α垂直，则下列说法中，正确的是(　ABC　)
A. 直线l与平面α内的所有直线都垂直
B. 在平面α内存在与直线l异面的直线
C. 在平面α内存在无数条直线与直线l相交
D. 在平面α内存在与直线l平行的直线
2. 若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　C　)
A. 平面OAB B. 平面OAC
C. 平面OBC D. 平面ABC
3. 如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　A　)
A. 60° B. 45° C. 30° D. 120°
4. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为　45°　.

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