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8.6 导学3　直线与平面垂直的性质
知识点一　直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线
符号语言 a⊥α，且b⊥α
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线
点拨： 1. 定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线垂直于同一个平面).
2. 定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
例1　(1)如图所示，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是 ；
(2)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，点M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
[反思感悟]　关于线面垂直性质定理的应用：证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面.
知识点二　空间中的距离
1. 点到平面的距离
过一点作 于已知平面的直线，则该点与 间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段， 叫做这个点到该平面的距离.
2. 直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
3. 平面与平面之间的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
点拨： 直线到平面的距离、平面与平面之间的距离最终都要转化为点到平面的距离.
例2　 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5.求：
(1)点B1到平面A1BCD1的距离；
(2)B1C1到平面A1BCD1的距离.
[反思感悟]　1. 利用线面、面面平行进行转化：利用线面距、面面距的定义，将问题转化为直线或平面上一点到平面的距离.
2. 利用中点进行转化：如果条件中包含中点，将一个点到平面的距离借助中点(等分点)转化为另一点到平面的距离.
3. 通过换底转化：一是直接换底，以便求几何体的高；二是将底面进行扩展(分割)，以便求底面积和高.
1. 已知直线l垂直于平面α，另一直线m也垂直于平面α，则直线l，m的位置关系是(　 　)
A. 平行 B. 相交
C. 垂直 D. 异面
2. (多选)下列命题中，正确的是(　 　)
A. b⊥α B. b∥α
C. a⊥β D. a∥b
3. △ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　 　)
A. 相交 B. 异面
C. 平行 D. 不确定
4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为(　 　)
A. 1 B.
C. 2 D. 2(共20张PPT)
六、空间直线、平面的垂直
导学3　直线与平面垂直的性质
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　直线与平面垂直的性质定理
知识梳理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线
符号语言 a⊥α，且b⊥α
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线
平行　
a∥b　
点拨： 1. 定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条
直线垂直于同一个平面).
2. 定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了
“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
例1　(1)如图所示，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系
是 ；
平行　
【解析】 ∵平面α∩平面β＝l，∴l α，又EA⊥α，
∴l⊥EA. 同理l⊥EB. ∵EA∩EB＝E，
EA 平面EAB，EB 平面EAB，∴l⊥平面EAB.
∵EB⊥β，a β，∴EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，
EB 平面EAB，AB 平面EAB，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.
(2)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面
PAD，AD＝AP，E是PD的中点，点M，N分别在AB，PC上，且
MN⊥AB，MN⊥PC. 证明：AE∥MN.
证明：∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，
∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，
E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，
PD 平面PCD，∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
[反思感悟]　关于线面垂直性质定理的应用：证明与垂直相关的平行问
题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂
直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面.
知识点二
知识点二　空间中的距离
知识梳理
1. 点到平面的距离
过一点作 于已知平面的直线，则该点与 间的线段，叫
做这个点到该平面的垂线段， 叫做这个点到该平面的
距离.
垂直　
垂足　
垂线段的长度　
2. 直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距
离，叫做这条直线到这个平面的距离.
任意一点　
3. 平面与平面之间的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距
离都 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
相等　
点拨： 直线到平面的距离、平面与平面之间的距离最终都要转化为点
到平面的距离.
(1)点B1到平面A1BCD1的距离；
解：(1)如图所示，过点B1作B1E⊥A1B于点E.
例2　 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5.求：
由题意知BC⊥平面A1ABB1，且B1E 平面A1ABB1，
∴BC⊥B1E. ∵BC∩A1B＝B，BC 平面A1BCD1，
A1B 平面A1BCD1，∴B1E⊥平面A1BCD1，
∴线段B1E的长即为所求.
在Rt△A1B1B中，B1E＝ ＝ ＝ ，∴点B1到平面
A1BCD1的距离为 .
(2)B1C1到平面A1BCD1的距离.
解：(2)∵B1C1∥BC，且B1C1 平面A1BCD1，BC 平面A1BCD1，
∴B1C1∥平面A1BCD1，∴点B1到平面A1BCD1的距离即为所求，
∴直线B1C1到平面A1BCD1的距离为 .
[反思感悟]　1. 利用线面、面面平行进行转化：利用线面距、面面距的
定义，将问题转化为直线或平面上一点到平面的距离.
2. 利用中点进行转化：如果条件中包含中点，将一个点到平面的距离
借助中点(等分点)转化为另一点到平面的距离.
3. 通过换底转化：一是直接换底，以便求几何体的高；二是将底面进
行扩展(分割)，以便求底面积和高.
随堂巩固
随堂巩固
1. 已知直线l垂直于平面α，另一直线m也垂直于平面α，则直线l，m
的位置关系是(　A　)
A. 平行 B. 相交
C. 垂直 D. 异面
A
2. (多选)下列命题中，正确的是(　ACD　)
A. b⊥α B. b∥α
C. a⊥β D. a∥b
ACD
3. △ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，
m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　C　)
A. 相交 B. 异面
C. 平行 D. 不确定
C
4. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的
距离为(　B　)
A. 1 B.
C. 2 D. 2
B8.6 导学3　直线与平面垂直的性质
知识点一　直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线　平行　
符号语言 a⊥α，且b⊥α 　a∥b　
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线
点拨： 1. 定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线垂直于同一个平面).
2. 定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
例1　(1)如图所示，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是　平行　；
【解析】 ∵平面α∩平面β＝l，∴l α，又EA⊥α，∴l⊥EA. 同理l⊥EB.∵EA∩EB＝E，EA 平面EAB，EB 平面EAB，∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a β，∴EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，EB 平面EAB，AB 平面EAB，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.
(2)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，点M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明：∵AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
[反思感悟]　关于线面垂直性质定理的应用：证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面.
知识点二　空间中的距离
1. 点到平面的距离
过一点作　垂直　于已知平面的直线，则该点与　垂足　间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，　垂线段的长度　叫做这个点到该平面的距离.
2. 直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上　任意一点　到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
3. 平面与平面之间的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都　相等　，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
点拨： 直线到平面的距离、平面与平面之间的距离最终都要转化为点到平面的距离.
例2　 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5.求：
(1)点B1到平面A1BCD1的距离；
解：(1)如图所示，过点B1作B1E⊥A1B于点E.
由题意知BC⊥平面A1ABB1，且B1E 平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.∵BC∩A1B＝B，BC 平面A1BCD1，A1B 平面A1BCD1，∴B1E⊥平面A1BCD1，∴线段B1E的长即为所求.
在Rt△A1B1B中，B1E＝＝＝，∴点B1到平面A1BCD1的距离为.
(2)B1C1到平面A1BCD1的距离.
解：(2)∵B1C1∥BC，且B1C1 平面A1BCD1，BC 平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1，∴点B1到平面A1BCD1的距离即为所求，∴直线B1C1到平面A1BCD1的距离为.
[反思感悟]　1. 利用线面、面面平行进行转化：利用线面距、面面距的定义，将问题转化为直线或平面上一点到平面的距离.
2. 利用中点进行转化：如果条件中包含中点，将一个点到平面的距离借助中点(等分点)转化为另一点到平面的距离.
3. 通过换底转化：一是直接换底，以便求几何体的高；二是将底面进行扩展(分割)，以便求底面积和高.
1. 已知直线l垂直于平面α，另一直线m也垂直于平面α，则直线l，m的位置关系是(　A　)
A. 平行 B. 相交
C. 垂直 D. 异面
2. (多选)下列命题中，正确的是(　ACD　)
A. b⊥α B. b∥α
C. a⊥β D. a∥b
3. △ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　C　)
A. 相交 B. 异面
C. 平行 D. 不确定
4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为(　B　)
A. 1 B.
C. 2 D. 2

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