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六、空间直线、平面的垂直
导学5　平面与平面垂直的性质
立体几何初步
第八章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　平面与平面垂直的性质定理
知识梳理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线 于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面
符号语言 α⊥β，α∩β＝c，b α，b⊥c b⊥β
图形语言
垂直　
交线　
垂直　
点拨： 1. 定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线
面垂直.
2. 已知面面垂直时，可以利用此定理将已知条件转化为线面垂直，再
转化为线线垂直.
例1　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形， 其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点.证明：
(1)BG⊥平面PAD；
证明：(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩
平面ABCD＝AD，PG 平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，
由BG 平面ABCD，∴PG⊥BG. 又四边形ABCD是菱形且∠DAB＝
60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD. 又AD∩PG＝G，AD，
PG 平面PAD，∴BG⊥平面PAD.
(2)AD⊥PB.
证明：(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，
BG，PG 平面PBG，
∴AD⊥平面PBG，又PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
[反思感悟]　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题的注意点：
(1)两个平面垂直.
(2)直线必须在其中一个平面内.
(3)直线必须垂直于两个平面的交线.
知识点二
知识点二　空间垂直关系的综合应用
例2　 如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且
CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.证明：
(1)DE＝DA；
证明：(1)设BD＝a，如图所示，作DF∥BC交CE于点F，
则CF＝DB＝a.
∵CE⊥平面ABC，∴BC⊥EC，DF⊥EC，
∴DE＝ ＝ a.
又DB⊥平面ABC，∴DA＝ ＝ a，∴DE＝DA.
(2)平面BDM⊥平面ECA；
证明：(2)取CA的中点N，连接MN，BN，
则MN綉 CE綉DB，∴四边形MNBD为平行四边形，
∴MD∥BN. 又EC⊥平面ABC，
∴EC⊥BN，EC⊥MD. 又DE＝DA，M为EA的中点，
∴DM⊥AE. EC∩AE＝E，
∴DM⊥平面AEC，又DM 平面BDM，
∴平面BDM⊥平面ECA.
(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明：(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA.
[反思感悟]　垂直关系的转化：在关于垂直问题的论证中，要注意线线
垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一
垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下.
知识点三
知识点三　空间位置关系的探索性问题
例3　 已知△A'BC为正三角形，CD是A'B边上的高，E，F分别是A'C，BC的中点，现将△A'DC沿CD翻折至△ADC的位置，使平面ADC⊥平面BCD，如图所示.
(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置
关系，并说明理由；
解：AB∥平面DEF. 理由如下：
在△ABC中，∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB，又AB
平面DEF，EF 平面DEF，∴AB∥平面DEF.
(2)在线段AC上是否存在一点P，使得BP⊥DF？若存在，求出 的
值；若不存在，请说明理由.
解：在线段AC上存在一点P，使得BP⊥DF.
理由如下：易知△BDF为正三角形，
过点B作BK⊥DF交DC于点K，
连接KF，过K作KP∥DA交AC于点P，
则点P即为所求，连接BP，如图所示.
∵AD⊥平面BCD，KP∥AD，∴KP⊥平面BCD，
∴KP⊥DF. 又BK⊥DF，KP∩BK＝K，
∴DF⊥平面PKB，∴DF⊥PB. 又∠DBK＝∠KBC＝
∠BCK＝30°，∴DK＝KF＝ KC. ＝ ＝ ，从而 ＝ .
[反思感悟]　解决命题成立条件的探索性问题的三种方法：
(1)先猜后证，即先观察给出的条件提出猜想，再证明.
(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充
分性.
(3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.
随堂巩固
随堂巩固
1. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　D　)
A. α∥γ
B. α⊥γ
C. α与γ相交但不垂直
D. 以上都有可能
D
2. 平面α⊥平面β，α∩β＝l，m α，m⊥l，则(　C　)
A. m∥β
B. m β
C. m⊥β
D. m与β相交但不一定垂直
C
3. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作
EF⊥A1B1于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　D　)
A. 平行 B. EF 平面A1B1C1D1
C. 相交但不垂直 D. 垂直
D
4. 平面α⊥平面β，直线l α，直线m β，则直线l，m的位置关系
是 .
相交、平行或异面　8.6 导学5　平面与平面垂直的性质
知识点一　平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线 于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面
符号语言 α⊥β，α∩β＝c，b α，b⊥c b⊥β
图形语言
点拨： 1. 定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.
2. 已知面面垂直时，可以利用此定理将已知条件转化为线面垂直，再转化为线线垂直.
例1　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形， 其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点.证明：
(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
[反思感悟]　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题的注意点：
(1)两个平面垂直.
(2)直线必须在其中一个平面内.
(3)直线必须垂直于两个平面的交线.
知识点二　空间垂直关系的综合应用
例2　 如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.证明：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
[反思感悟]　垂直关系的转化：在关于垂直问题的论证中，要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下.
知识点三　空间位置关系的探索性问题
例3　 已知△A'BC为正三角形，CD是A'B边上的高，E，F分别是A'C，BC的中点，现将△A'DC沿CD翻折至△ADC的位置，使平面ADC⊥平面BCD，如图所示.
(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)在线段AC上是否存在一点P，使得BP⊥DF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
[反思感悟]　解决命题成立条件的探索性问题的三种方法：
(1)先猜后证，即先观察给出的条件提出猜想，再证明.
(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性.
(3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.
1. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　 　)
A. α∥γ
B. α⊥γ
C. α与γ相交但不垂直
D. 以上都有可能
2. 平面α⊥平面β，α∩β＝l，m α，m⊥l，则(　 　)
A. m∥β
B. m β
C. m⊥β
D. m与β相交但不一定垂直
3. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　 　)
A. 平行 　　 　B. EF 平面A1B1C1D1
C. 相交但不垂直 　 　　D. 垂直
4. 平面α⊥平面β，直线l α，直线m β，则直线l，m的位置关系是 .8.6 导学5　平面与平面垂直的性质
知识点一　平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线　垂直　于这两个平面的　交线　，那么这条直线与另一个平面　垂直　
符号语言 α⊥β，α∩β＝c，b α，b⊥c b⊥β
图形语言
点拨： 1. 定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.
2. 已知面面垂直时，可以利用此定理将已知条件转化为线面垂直，再转化为线线垂直.
例1　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形， 其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点.证明：
(1)BG⊥平面PAD；
证明：(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG 平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，
由BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.又四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，AD，PG 平面PAD，∴BG⊥平面PAD.
(2)AD⊥PB.
证明：(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，∴AD⊥平面PBG，又PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
[反思感悟]　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题的注意点：
(1)两个平面垂直.
(2)直线必须在其中一个平面内.
(3)直线必须垂直于两个平面的交线.
知识点二　空间垂直关系的综合应用
例2　 如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.证明：
(1)DE＝DA；
证明：(1)设BD＝a，如图所示，作DF∥BC交CE于点F，则CF＝DB＝a.
∵CE⊥平面ABC，∴BC⊥EC，DF⊥EC，∴DE＝＝a.
又DB⊥平面ABC，∴DA＝＝a，∴DE＝DA.
(2)平面BDM⊥平面ECA；
证明：(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綉CE綉DB，∴四边形MNBD为平行四边形，∴MD∥BN.又EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN，EC⊥MD.又DE＝DA，M为EA的中点，∴DM⊥AE.EC∩AE＝E，
∴DM⊥平面AEC，又DM 平面BDM，
∴平面BDM⊥平面ECA.
(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明：(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM 平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.
[反思感悟]　垂直关系的转化：在关于垂直问题的论证中，要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下.
知识点三　空间位置关系的探索性问题
例3　 已知△A'BC为正三角形，CD是A'B边上的高，E，F分别是A'C，BC的中点，现将△A'DC沿CD翻折至△ADC的位置，使平面ADC⊥平面BCD，如图所示.
(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
解：AB∥平面DEF.理由如下：
在△ABC中，∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB，又AB 平面DEF，EF 平面DEF，∴AB∥平面DEF.
(2)在线段AC上是否存在一点P，使得BP⊥DF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：在线段AC上存在一点P，使得BP⊥DF.
理由如下：易知△BDF为正三角形，过点B作BK⊥DF交DC于点K，连接KF，过K作KP∥DA交AC于点P，则点P即为所求，连接BP，如图所示.
∵AD⊥平面BCD，KP∥AD，∴KP⊥平面BCD，∴KP⊥DF.又BK⊥DF，KP∩BK＝K，∴DF⊥平面PKB，∴DF⊥PB.又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°，∴DK＝KF＝KC.＝＝，从而＝.
[反思感悟]　解决命题成立条件的探索性问题的三种方法：
(1)先猜后证，即先观察给出的条件提出猜想，再证明.
(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性.
(3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.
1. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　D　)
A. α∥γ
B. α⊥γ
C. α与γ相交但不垂直
D. 以上都有可能
2. 平面α⊥平面β，α∩β＝l，m α，m⊥l，则(　C　)
A. m∥β
B. m β
C. m⊥β
D. m与β相交但不一定垂直
3. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　D　)
A. 平行 　　 　B. EF 平面A1B1C1D1
C. 相交但不垂直 　 　　D. 垂直
4. 平面α⊥平面β，直线l α，直线m β，则直线l，m的位置关系是　相交、平行或异面　.

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