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一、 随机抽样
导学2　分层随机抽样
统　计
第九章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　分层随机抽样
知识梳理
1. 分层随机抽样的定义
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于
且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行 抽样，
再把所有子总体中抽取的样本 作为总样本，这样的抽样方
法称为分层随机抽样，每一个子总体称为 .
简单随机　
合在一起　
层　
2. 比例分配
在分层随机抽样中，如果每层 都与层的大小成比例，那么称
这种样本量的分配方式为比例分配.
样本量　
例1　分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然
后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被
等可能抽取，必须进行(　C　)
A. 每层等可能抽样
B. 每层可以不等可能抽样
C. 所有层按同一抽样比等可能抽样
D. 所有层抽取的个体数量相同
【解析】 为了保证每个个体等可能的被抽取，分层随机抽样时必须在
所有层都按同一抽样比等可能抽取.
C
[反思感悟]　采用分层随机抽样的前提：分层随机抽样的总体按一个或
多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总
体，而层内个体间差异较小.
知识点二
知识点二　分层随机抽样的应用
例2　某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，应怎样进行抽样？请写出具体过程.
解：用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下：
第一步，分层，按工作性质将学校在职人员分为三层：行政人员、教师、
后勤人员.
第二步，确定抽样比，样本量与总体的个体数的比为 ＝ .
第三步，确定分别从每层中抽取的人数，从行政人员中抽取16× ＝2(人)；从教师中抽取112× ＝14(人)；从后勤人员中抽取32× ＝4(人).
第四步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后
勤人员4人.
第五步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本.
[反思感悟]　进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系：
(1) ＝ .
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
知识点三
知识点三　用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
知识梳理
如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本
量分别为m，n，两层的样本平均数分别为 ， ，两层的总体平均数
分别为 ， ，总体平均数为 ，样本平均数为 ，则 ＝
＋ 　， ＝ 　 ＋ 　.
在比例分配的分层随机抽样中， ＋ ＝ ＋ ＝ .
＋ 　
＋ 　
例3　某学校高一年级有男生610人，高二年级有男生590人，小梅按照
高一、高二年级进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到高一年级男
生、高二年级男生的平均身高分别为169 cm和171 cm.
(1)如果小梅是按比例分配的方式抽取的样本，总样本量为120，那么在
高一、高二年级中分别抽取了多少名男生？
解：(1)根据题意，在高一年级中抽取了 ×120＝61(名)男生，
在高二年级中抽取了 ×120＝59(名)男生.
(2)在(1)的情况下，请估计高一年级与高二年级全体男生的平均身高(结
果保留两位小数).
解：(2)估计高一年级与高二年级全体男生的平均身高为
×169＋ ×171＝ ≈169.98 cm.
随堂巩固
随堂巩固
1. 某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的体重
状况，从男生中随机抽取25人，从女生中随机抽取20人进行调查.这种
抽样方法是(　A　)
A. 分层随机抽样 B. 抽签法
C. 随机数法 D. 其他随机抽样
A
2. 某厂家生产的钢笔有蘸水式钢笔、自来水式钢笔和墨囊钢笔，这三
种钢笔某月的产量分别为5万支、15万支、20万支.为检验该厂家的钢笔
质量，现用按比例分层随机抽样的方法从该月生产的钢笔中抽取1 000
支进行检验，则自来水式钢笔应抽取(　A　)
A. 375支 B. 350支
C. 125支 D. 500支
A
3. (多选)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每
班45人，甲读高一，乙读高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进
行视力调查.下列说法中，正确的是(　AB　)
A. 应该采用分层随机抽样的方法来抽取样本
B. 高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C. 乙被抽到的可能性比甲大
D. 该问题中的样本容量是抽取的235名学生的视力
AB
4. 某校高二年级选择“化生史”组合的只有2个班，且每班50人，在一
次数学测试中，从两个班各抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计
出在该次测试中，两班各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106
分，则选择“化生史”组合的学生的平均成绩约为 分.
108　9.1 导学2　分层随机抽样
知识点一　分层随机抽样
1. 分层随机抽样的定义
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行　简单随机　抽样，再把所有子总体中抽取的样本　合在一起　作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为　层　.
2. 比例分配
在分层随机抽样中，如果每层　样本量　都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
例1　分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行(　C　)
A. 每层等可能抽样
B. 每层可以不等可能抽样
C. 所有层按同一抽样比等可能抽样
D. 所有层抽取的个体数量相同
【解析】 为了保证每个个体等可能的被抽取，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取.
[反思感悟]　采用分层随机抽样的前提：分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小.
知识点二　分层随机抽样的应用
例2　某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，应怎样进行抽样？请写出具体过程.
解：用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下：
第一步，分层，按工作性质将学校在职人员分为三层：行政人员、教师、后勤人员.
第二步，确定抽样比，样本量与总体的个体数的比为＝.
第三步，确定分别从每层中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；从教师中抽取112×＝14(人)；从后勤人员中抽取32×＝4(人).
第四步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人.
第五步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本.
[反思感悟]　进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系：
(1)＝.
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
知识点三　用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，，两层的总体平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则＝　＋　，＝　＋　.
在比例分配的分层随机抽样中，＋＝＋＝.
例3　某学校高一年级有男生610人，高二年级有男生590人，小梅按照高一、高二年级进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到高一年级男生、高二年级男生的平均身高分别为169 cm和171 cm.
(1)如果小梅是按比例分配的方式抽取的样本，总样本量为120，那么在高一、高二年级中分别抽取了多少名男生？
解：(1)根据题意，在高一年级中抽取了×120＝61(名)男生，在高二年级中抽取了×120＝59(名)男生.
(2)在(1)的情况下，请估计高一年级与高二年级全体男生的平均身高(结果保留两位小数).
解：(2)估计高一年级与高二年级全体男生的平均身高为×169＋×171＝≈169.98 cm.
1. 某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的体重状况，从男生中随机抽取25人，从女生中随机抽取20人进行调查.这种抽样方法是(　A　)
A. 分层随机抽样 B. 抽签法
C. 随机数法 D. 其他随机抽样
2. 某厂家生产的钢笔有蘸水式钢笔、自来水式钢笔和墨囊钢笔，这三种钢笔某月的产量分别为5万支、15万支、20万支.为检验该厂家的钢笔质量，现用按比例分层随机抽样的方法从该月生产的钢笔中抽取1 000支进行检验，则自来水式钢笔应抽取(　A　)
A. 375支 B. 350支
C. 125支 D. 500支
3. (多选)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人，甲读高一，乙读高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查.下列说法中，正确的是(　AB　)
A. 应该采用分层随机抽样的方法来抽取样本
B. 高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C. 乙被抽到的可能性比甲大
D. 该问题中的样本容量是抽取的235名学生的视力
4. 某校高二年级选择“化生史”组合的只有2个班，且每班50人，在一次数学测试中，从两个班各抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计出在该次测试中，两班各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则选择“化生史”组合的学生的平均成绩约为　108　分.9.1 导学2　分层随机抽样
知识点一　分层随机抽样
1. 分层随机抽样的定义
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行 抽样，再把所有子总体中抽取的样本 作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为 .
2. 比例分配
在分层随机抽样中，如果每层 都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
例1　分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行(　 　)
A. 每层等可能抽样
B. 每层可以不等可能抽样
C. 所有层按同一抽样比等可能抽样
D. 所有层抽取的个体数量相同
[反思感悟]　采用分层随机抽样的前提：分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小.
知识点二　分层随机抽样的应用
例2　某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，应怎样进行抽样？请写出具体过程.
[反思感悟]　进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系：
(1)＝.
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
知识点三　用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，，两层的总体平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则＝ ，＝ .
在比例分配的分层随机抽样中，＋＝＋＝.
例3　某学校高一年级有男生610人，高二年级有男生590人，小梅按照高一、高二年级进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到高一年级男生、高二年级男生的平均身高分别为169 cm和171 cm.
(1)如果小梅是按比例分配的方式抽取的样本，总样本量为120，那么在高一、高二年级中分别抽取了多少名男生？
(2)在(1)的情况下，请估计高一年级与高二年级全体男生的平均身高(结果保留两位小数).
1. 某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的体重状况，从男生中随机抽取25人，从女生中随机抽取20人进行调查.这种抽样方法是(　 　)
A. 分层随机抽样 B. 抽签法
C. 随机数法 D. 其他随机抽样
2. 某厂家生产的钢笔有蘸水式钢笔、自来水式钢笔和墨囊钢笔，这三种钢笔某月的产量分别为5万支、15万支、20万支.为检验该厂家的钢笔质量，现用按比例分层随机抽样的方法从该月生产的钢笔中抽取1 000支进行检验，则自来水式钢笔应抽取(　 　)
A. 375支 B. 350支
C. 125支 D. 500支
3. (多选)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人，甲读高一，乙读高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查.下列说法中，正确的是(　 　)
A. 应该采用分层随机抽样的方法来抽取样本
B. 高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C. 乙被抽到的可能性比甲大
D. 该问题中的样本容量是抽取的235名学生的视力
4. 某校高二年级选择“化生史”组合的只有2个班，且每班50人，在一次数学测试中，从两个班各抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计出在该次测试中，两班各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则选择“化生史”组合的学生的平均成绩约为 分.

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