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二、用样本估计总体
导学1　频率分布表和频率分布直方图
统　计
第九章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　频率分布直方图
知识梳理
画频率分布直方图的步骤：
(1)求极差：极差为一组数据中 与 的差.
(2)决定组距与组数：当样本量不超过100时，常分成 组. 为方
便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.
最大值　
最小值　
5～12　
(3)将数据分组：分组时，第一组的左端点略小于数据中的最小值，最
后一组的右端点略大于数据中的最大值，分组区间一般是“前闭后开”.
(4)列频率分布表：可以分为分组、频数累计、频数、 四列.其
中频数合计应是样本量，频率合计为 .
(5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示 . 小长方形的面
积＝组距× ＝ ，各小长方形的面积的总和等于1.
频率　
1　
频率　
例1　为了了解学校高一年级男生的身高情况，选取一个容量为60的样
本(60名男生的身高)，分组情况如表所示(单位：cm)：
分组 [147.5，
155.5) [155.5，163.5) [163.5，171.5) [171.5，179.5]
频数 6 21 27 m
频率 a 0.1
(1)求出表中a，m的值；
解：(1)依题意得6＋21＋27＋m＝60，则m＝6.a＝ ＝0.45.
(2)画出频率分布直方图.
解：(2)根据频率分布表，可求第一组、第二组的频率分别为 ＝0.1，
＝0.35.作出频率分布直方图如图所示.
[反思感悟]　绘制频率分布直方图时应注意的问题：
(1)在列出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的
高.一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合
理的定高方法是先确定“一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后
以各组的“ ”所占的比例来确定高.
(2)数据要合理分组，组距要恰当选取，在频率分布直方图中，各个小
长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数
之和等于样本量，频率之和为1.
知识点二
知识点二　频率分布直方图的应用
例2　第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行，志
愿者的服务工作对亚运会的顺利举办十分重要.某高校承办了杭州志愿
者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五
组：第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三
组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，
绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、
四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的
频率相同.
(1)求a，b的值；
解：(1)∵第三、四、五组的频率之和为0.7，
∴(0.045＋0.020＋a)×10＝0.7，解得a＝0.005.
由题意可知，(0.005×2＋b＋0.045＋0.020)×10＝1，解得b＝0.025.
(2)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为19％，请估算至少需要
多少分才能被录取.
解：(2)由频率分布直方图得[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)的
频率分别为0.05，0.25，0.45，0.2，∵0.05＋0.25＋0.45＝0.75＜
0.81，0.05＋0.25＋0.45＋0.2＝0.95＞0.81，∴录取分数应该落在第
四组，设录取分数为x，则0.75＋0.02·(x－75)＝0.81，解得x＝78，
∴被录取至少需要78分.
[反思感悟]　根据频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关
系式：
(1) ×组距＝频率.
(2) ＝频率，此关系式的变形为：样本量×频率＝频数.
随堂巩固
随堂巩固
1. 在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的
一组，该组的频率为m，该组的频率分布直方图的高为h，则｜a－b｜等于(　B　)
A. hm B. C. D. h＋m
B
2. 一个容量为20的样本数据，分组与频数情况如表所示：
分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本在[10，50)内的频率为(　D　)
A. 0.5 B. 0.24 C. 0.6 D. 0.7
D
3. 某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资(单位：百元)，并根据调
查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资的
满意程度，要用按比例分配分层随机抽样的方法从调查的1 000人中抽
出100人做电话询访，则应从月工资在区间[30，35)内的工薪阶层中抽
出 人.
15　
4. 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重(单位：千
克)情况，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，如图所示，已知
图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为
12.该校报考飞行员的总人数为 .
48　9.2 导学1　频率分布表和频率分布直方图
知识点一　频率分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
(1)求极差：极差为一组数据中 与 的差.
(2)决定组距与组数：当样本量不超过100时，常分成 组. 为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.
(3)将数据分组：分组时，第一组的左端点略小于数据中的最小值，最后一组的右端点略大于数据中的最大值，分组区间一般是“前闭后开”.
(4)列频率分布表：可以分为分组、频数累计、频数、 四列.其中频数合计应是样本量，频率合计为 .
(5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示. 小长方形的面积＝组距×＝ ，各小长方形的面积的总和等于1.
例1　为了了解学校高一年级男生的身高情况，选取一个容量为60的样本(60名男生的身高)，分组情况如表所示(单位：cm)：
分组 [147.5，155.5) [155.5，163.5) [163.5，171.5) [171.5，179.5]
频数 6 21 27 m
频率 a 0.1
(1)求出表中a，m的值；
(2)画出频率分布直方图.
[反思感悟]　绘制频率分布直方图时应注意的问题：
(1)在列出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高.一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是先确定“一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“”所占的比例来确定高.
(2)数据要合理分组，组距要恰当选取，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本量，频率之和为1.
知识点二　频率分布直方图的应用
例2　第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行，志愿者的服务工作对亚运会的顺利举办十分重要.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求a，b的值；
(2)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为19％，请估算至少需要多少分才能被录取.
[反思感悟]　根据频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：
(1)×组距＝频率.
(2)＝频率，此关系式的变形为：样本量×频率＝频数.
1. 在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，该组的频率为m，该组的频率分布直方图的高为h，则｜a－b｜等于(　 　)
A. hm B. C. D. h＋m
2. 一个容量为20的样本数据，分组与频数情况如表所示：
分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本在[10，50)内的频率为(　 　)
A. 0.5 B. 0.24 C. 0.6 D. 0.7
3. 某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资(单位：百元)，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资的满意程度，要用按比例分配分层随机抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则应从月工资在区间[30，35)内的工薪阶层中抽出 人.
4. 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重(单位：千克)情况，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.该校报考飞行员的总人数为 .9.2 导学1　频率分布表和频率分布直方图
知识点一　频率分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
(1)求极差：极差为一组数据中　最大值　与　最小值　的差.
(2)决定组距与组数：当样本量不超过100时，常分成　5～12　组. 为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.
(3)将数据分组：分组时，第一组的左端点略小于数据中的最小值，最后一组的右端点略大于数据中的最大值，分组区间一般是“前闭后开”.
(4)列频率分布表：可以分为分组、频数累计、频数、　频率　四列.其中频数合计应是样本量，频率合计为　1　.
(5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示. 小长方形的面积＝组距×＝　频率　，各小长方形的面积的总和等于1.
例1　为了了解学校高一年级男生的身高情况，选取一个容量为60的样本(60名男生的身高)，分组情况如表所示(单位：cm)：
分组 [147.5，155.5) [155.5，163.5) [163.5，171.5) [171.5，179.5]
频数 6 21 27 m
频率 a 0.1
(1)求出表中a，m的值；
解：(1)依题意得6＋21＋27＋m＝60，则m＝6.a＝＝0.45.
(2)画出频率分布直方图.
解：(2)根据频率分布表，可求第一组、第二组的频率分别为＝0.1，＝0.35.作出频率分布直方图如图所示.
[反思感悟]　绘制频率分布直方图时应注意的问题：
(1)在列出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高.一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是先确定“一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“”所占的比例来确定高.
(2)数据要合理分组，组距要恰当选取，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本量，频率之和为1.
知识点二　频率分布直方图的应用
例2　第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行，志愿者的服务工作对亚运会的顺利举办十分重要.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求a，b的值；
解：(1)∵第三、四、五组的频率之和为0.7，
∴(0.045＋0.020＋a)×10＝0.7，解得a＝0.005.
由题意可知，(0.005×2＋b＋0.045＋0.020)×10＝1，解得b＝0.025.
(2)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为19％，请估算至少需要多少分才能被录取.
解：(2)由频率分布直方图得[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)的频率分别为0.05，0.25，0.45，0.2，∵0.05＋0.25＋0.45＝0.75＜0.81，0.05＋0.25＋0.45＋0.2＝0.95＞0.81，∴录取分数应该落在第四组，设录取分数为x，则0.75＋0.02·(x－75)＝0.81，解得x＝78，
∴被录取至少需要78分.
[反思感悟]　根据频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：
(1)×组距＝频率.
(2)＝频率，此关系式的变形为：样本量×频率＝频数.
1. 在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，该组的频率为m，该组的频率分布直方图的高为h，则｜a－b｜等于(　B　)
A. hm B. C. D. h＋m
2. 一个容量为20的样本数据，分组与频数情况如表所示：
分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70]
频数 2 3 4 5 4 2
则样本在[10，50)内的频率为(　D　)
A. 0.5 B. 0.24 C. 0.6 D. 0.7
3. 某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资(单位：百元)，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资的满意程度，要用按比例分配分层随机抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则应从月工资在区间[30，35)内的工薪阶层中抽出　15　人.
4. 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生的体重(单位：千克)情况，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.该校报考飞行员的总人数为　48　.

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