资源简介

9.2 导学4　总体集中趋势的估计
知识点一　众数、中位数、平均数
1. 众数：一组数据中出现　次数　最多的数.
2. 中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在　中间　位置的数(或中间两个数的　平均数　)叫做这组数据的中位数.
3. 平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝　(x1＋x2＋…＋xn)　叫做这n个数的平均数.
点拨：平均数、众数和中位数描述了数据的集中趋势，数值型数据可用平均数、中位数来描述集中趋势；分类型数据常用众数来描述集中趋势.
例1　在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高项目的17名运动员的成绩(单位：m)如表所示：
成绩 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数(结果保留两位小数).
解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75；表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69.
综上，17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m.
[反思感悟]　平均数、众数、中位数的计算方法：
平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是出现次数最多的数.
知识点二　总体集中趋势的估计
例2　某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：
甲群　13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群　54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
解：甲群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁，平均数、中位数和众数相等，
∴它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
解：乙群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为5.5岁，众数为6岁.由于乙群市民大多数是儿童，∴中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.
[反思感悟]　平均数、中位数、众数应用问题的两个关注点：
(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响较大；中位数是样本数据频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征.
(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在较大的极端值；反之，说明数据中存在较小的极端值.
知识点三　利用频率分布直方图估计总体的集中趋势
1. 单峰频率分布直方图中的平均数与中位数
(1)如果直方图是　对称　的，那么平均数与中位数大体上应该差不多.
(2)如果直方图在　右边　“拖尾”，那么平均数大于中位数.
(3)如果直方图在　左边　“拖尾”，那么平均数小于中位数，也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边.
2. 在频率分布直方图中，　众数　是最高小矩形底边中点的横坐标，　中位数　左边和右边的直方图的面积应该　相等　，　样本平均值　的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和.
例3　某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩(均为整数)分成六组[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，画出如图所示的频率分布直方图.观察图中的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；
解：众数是频率分布直方图中最高小矩形底边中点的横坐标，∴众数为m＝75.0.前3个小矩形面积和为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4＜0.5，前4个小矩形面积和为0.4＋0.03×10＝0.7＞0.5，∴中位数n＝70＋≈73.3.
(2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
解：依题意，60及60以上的分数在第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
∴估计这次考试的物理成绩的及格率是75％.
利用组中值估算抽样学生的平均分为
45×f1＋55×f2＋65×f3＋75×f4＋85×f5＋95×f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，∴估计这次考试的物理成绩的平均分是71分.
[反思感悟]　利用频率分布直方图求众数、中位数以及平均数的方法：
(1)众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中.中位数即为按从小到大的顺序排列时处在中间的数(或中间两数的平均数).平均数约为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和.
(2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数.
1. 一组样本数据为19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为(　A　)
A. 14，14 B. 12，14 C. 14，15.5 D. 12，15.5
2. (2025·湖南二模)某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩(单位：环)的数据如下表所示，则这组数据的中位数为(　D　)
成绩 6 7 8 9 10
人数 1 2 2 4 1
A. 2 B. 8 C. 8.2 D. 8.5
3. 有13名同学参加百米赛跑，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的(　C　)
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
4. 某班全体学生物理测试成绩的频率分布直方图如图所示，估计该班物理测试的平均成绩是　68　分.(共21张PPT)
二、用样本估计总体
导学4　总体集中趋势的估计
统　计
第九章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　众数、中位数、平均数
知识梳理
1. 众数：一组数据中出现 最多的数.
2. 中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在
位置的数(或中间两个数的 )叫做这组数据的中位数.
3. 平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ＝
叫做这n个数的平均数.
次数　
中
间　
平均数　
(x1＋x2＋…＋xn)
点拨：平均数、众数和中位数描述了数据的集中趋势，数值型数据
可用平均数、中位数来描述集中趋势；分类型数据常用众数来描述
集中趋势.
例1　在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高项目的17名运动员的
成绩(单位：m)如表所示：
成绩 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数(结果保留两位小数).
解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的
众数是1.75；表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中
第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这
组数据的平均数是 (1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝ ≈1.69.
综上，17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m，1.70 m，1.69 m.
[反思感悟]　平均数、众数、中位数的计算方法：
平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从
小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数
而定；众数是出现次数最多的数.
知识点二
知识点二　总体集中趋势的估计
例2　某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄
(单位：岁)如下：
甲群 13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群 54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计
量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
解：甲群市民年龄的平均数为 ＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁，平均数、中位数和众数相等，
∴它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计
量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
解：乙群市民年龄的平均数为 ＝15(岁)，
中位数为5.5岁，众数为6岁.由于乙群市民大多数是儿童，∴中位数和
众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.
[反思感悟]　平均数、中位数、众数应用问题的两个关注点：
(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端
值的影响较大；中位数是样本数据频率的等分线，不受几个极端值的影
响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征.
(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在较大的极端值；反之，说
明数据中存在较小的极端值.
知识点三
知识点三　利用频率分布直方图估计总体的集中趋势
知识梳理
1. 单峰频率分布直方图中的平均数与中位数
(1)如果直方图是 的，那么平均数与中位数大体上应该差不多.
(2)如果直方图在 “拖尾”，那么平均数大于中位数.
(3)如果直方图在 “拖尾”，那么平均数小于中位数，也就是
说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边.
对称　
右边　
左边　
2. 在频率分布直方图中， 是最高小矩形底边中点的横坐标，
左边和右边的直方图的面积应该 ，
的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与小
矩形的面积的乘积之和.
众数　
中位数　
相等　
样本平均值
例3　某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩
(均为整数)分成六组[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，画出如图
所示的频率分布直方图.观察图中的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；
解：众数是频率分布直方图中最高小矩形
底边中点的横坐标，∴众数为m＝75.0.
前3个小矩形面积和为0.01×10＋0.015×
10＋0.015×10＝0.4＜0.5，前4个小矩形面积和
为0.4＋0.03×10＝0.7＞0.5，∴中位数n＝70＋ ≈73.3.
(2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
解：依题意，60及60以上的分数在第三、四、五、六组，频率和为
(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
∴估计这次考试的物理成绩的及格率是75％.
利用组中值估算抽样学生的平均分为
45×f1＋55×f2＋65×f3＋75×f4＋85×f5＋95×f6＝45×0.1＋
55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，∴估计这
次考试的物理成绩的平均分是71分.
[反思感悟]　利用频率分布直方图求众数、中位数以及平均数的方法：
(1)众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩
形中.中位数即为按从小到大的顺序排列时处在中间的数(或中间两
数的平均数).平均数约为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面
积的乘积之和.
(2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数.
随堂巩固
随堂巩固
1. 一组样本数据为19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，
则这组数据的众数和中位数分别为(　A　)
A. 14，14 B. 12，14
C. 14，15.5 D. 12，15.5
A
2. (2025·湖南二模)某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩(单
位：环)的数据如下表所示，则这组数据的中位数为(　D　)
成绩 6 7 8 9 10
人数 1 2 2 4 1
A. 2 B. 8 C. 8.2 D. 8.5
D
3. 有13名同学参加百米赛跑，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决
赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，
他还需要知道13名同学成绩的(　C　)
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
C
4. 某班全体学生物理测试成绩的频率分布直方图如图所示，估计该班
物理测试的平均成绩是 分.
68　9.2 导学4　总体集中趋势的估计
知识点一　众数、中位数、平均数
1. 众数：一组数据中出现 最多的数.
2. 中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在 位置的数(或中间两个数的 )叫做这组数据的中位数.
3. 平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝ 叫做这n个数的平均数.
点拨：平均数、众数和中位数描述了数据的集中趋势，数值型数据可用平均数、中位数来描述集中趋势；分类型数据常用众数来描述集中趋势.
例1　在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高项目的17名运动员的成绩(单位：m)如表所示：
成绩 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数(结果保留两位小数).
[反思感悟]　平均数、众数、中位数的计算方法：
平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是出现次数最多的数.
知识点二　总体集中趋势的估计
例2　某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：
甲群　13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群　54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
[反思感悟]　平均数、中位数、众数应用问题的两个关注点：
(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响较大；中位数是样本数据频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征.
(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在较大的极端值；反之，说明数据中存在较小的极端值.
知识点三　利用频率分布直方图估计总体的集中趋势
1. 单峰频率分布直方图中的平均数与中位数
(1)如果直方图是 的，那么平均数与中位数大体上应该差不多.
(2)如果直方图在 “拖尾”，那么平均数大于中位数.
(3)如果直方图在 “拖尾”，那么平均数小于中位数，也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边.
2. 在频率分布直方图中， 是最高小矩形底边中点的横坐标， 左边和右边的直方图的面积应该 ， 的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和.
例3　某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩(均为整数)分成六组[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，画出如图所示的频率分布直方图.观察图中的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；
(2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
[反思感悟]　利用频率分布直方图求众数、中位数以及平均数的方法：
(1)众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中.中位数即为按从小到大的顺序排列时处在中间的数(或中间两数的平均数).平均数约为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和.
(2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数.
1. 一组样本数据为19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为(　 　)
A. 14，14 B. 12，14 C. 14，15.5 D. 12，15.5
2. (2025·湖南二模)某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩(单位：环)的数据如下表所示，则这组数据的中位数为(　 　)
成绩 6 7 8 9 10
人数 1 2 2 4 1
A. 2 B. 8 C. 8.2 D. 8.5
3. 有13名同学参加百米赛跑，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的(　 　)
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
4. 某班全体学生物理测试成绩的频率分布直方图如图所示，估计该班物理测试的平均成绩是 分.

展开更多......

收起↑