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9.2 导学5　总体离散程度的估计
知识点一　方差、标准差
1. 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用＝　　表示这组数据的平均数，则称　　或为这组数据的方差，称　　为这组数据的标准差.
2. 若总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝　　为总体方差，S＝　　为总体标准差.
若总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝　　.
3. 若一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝　　为样本方差，s＝为样本标准差.
例1　某班20名女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩(单位：分)如下：
甲组　60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；
乙组　85，95，75，70，85，80，85，65，90，85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差；
解：甲组：最高分为95，最低分为60，极差为95－60＝35，
平均数为＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79，
方差为＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119.
乙组：最高分为95，最低分为65，极差为95－65＝30，
平均数为＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5，方差为＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25.
(2)哪一组的成绩较稳定？
解：由于乙组的方差小于甲组的方差，∴乙组的成绩较稳定.
从(1)中得到的极差也可看出乙组的成绩比较稳定.
[反思感悟]　 1. 平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.
2. 在随机抽样中，往往用样本的离散程度估计总体的离散程度.
知识点二　方差、标准差与统计图表的综合应用
例2　对甲厂、乙厂、丙厂生产的袋装食品各抽检了20袋，称得质量如条形图所示.s1，s2，s3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检食品质量的标准差，则有(　C　)
甲厂 乙厂 丙厂
A. s2＞s1＞s3 B. s1＞s3＞s2 C. s3＞s1＞s2 D. s3＞s2＞s1
【解析】 根据题意，甲厂的平均数＝×(5×7＋5×8＋5×9＋5×10)＝8.5，方差＝×[5×(7－8.5)2＋5×(8－8.5)2＋5×(9－8.5)2＋5×(10－8.5)2]＝1.25，标准差s1＝；
乙厂的平均数＝×(4×7＋6×8＋6×9＋4×10)＝8.5，
方差＝×[4×(7－8.5)2＋6×(8－8.5)2＋6×(9－8.5)2＋4×(10－8.5)2]＝1.05，标准差s2＝；
丙厂的平均数＝×(6×7＋4×8＋4×9＋6×10)＝8.5，
方差＝×[6×(7－8.5)2＋4×(8－8.5)2＋4×(9－8.5)2＋6×(10－8.5)2]＝1.45，标准差s3＝，
∴s3＞s1＞s2.
[反思感悟]　根据统计图表确定方差(标准差)的大小关系的两种方法：
(1)根据统计图表中所提供的数据与方差(标准差)的计算公式求出其数值，然后比较大小.
(2)若统计图表中没有反映出具体的数据或计算较为烦琐，可根据统计图表所反映的数据的波动大小来比较大小.
知识点三　分层随机抽样的方差
假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.
若记样本平均数值为，样本方差为b2，则可以算出
例3　在对某中学高一学生体重的调查中，采取了按样本量比例分配的分层随机抽样方法.如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为55和15；抽取了女生20人，其平均数和方差分别为45和20.你能由这些数据计算出总样本的平均数和方差吗？若能，请求出具体数值；若不能，请说明理由.
解：设总样本的平均数为，总样本的方差为s2，男生的平均体重为，方差为，则＝55，＝15，男生占的比例为＝，
设女生的平均体重为，方差为，则＝45，＝20，女生占的比例为＝，
∴总样本的平均数＝×55＋×45＝51，
总样本的方差s2＝[＋(－51)2]＋[＋(－51)2]＝×(15＋42)＋×[20＋(－6)2]＝41.
[反思感悟]　分层随机抽样的方差：设样本中不同层的平均数分别为，，…，，方差分别为，，…，，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝(为样本的平均数).
1. 下列数字特征中，不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是(　B　)
A. 极差 B. 平均数 C. 方差 D. 标准差
2. 已知某样本数据为1，2，3，4，5，则该样本数据的标准差为(　B　)
A. 1 B. C. D. 2
3. (多选)下列说法中，正确的是(　AD　)
A. 极差与方差都反映了数据的离散程度
B. 方差是没有单位的统计量
C. 标准差比较小时，数据比较分散
D. 只有两个数据时，极差是标准差的2倍
4. 国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名队员去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如表所示：
成绩 甲 乙 丙 丁
平均成绩 8.5 8.8 8.8 8
方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7
则派　丙　参赛最为合适.(共22张PPT)
二、用样本估计总体
导学5　总体离散程度的估计
统　计
第九章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　方差、标准差
知识梳理
1. 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用 ＝ 表示这
组数据的平均数，则称 　 　或 为这组数据的
方差，称 为这组数据的标准差.
　
　
　
2. 若总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数
为 ，则称S2＝ 　 　为总体方差，S＝ 　 　为总
体标准差.
若总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，
Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为
S2＝ .
　
　
　
3. 若一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为
，则称s2＝ 　 　为样本方差，s＝ 为样本标准差.
　
例1　某班20名女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成
绩(单位：分)如下：
甲组 60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；
乙组 85，95，75，70，85，80，85，65，90，85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差；
解：甲组：最高分为95，最低分为60，极差为95－60＝35，
平均数为 ＝ ×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79，
方差为 ＝ ×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－
79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119.
乙组：最高分为95，最低分为65，极差为95－65＝30，
平均数为 ＝ ×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝
81.5，方差为 ＝ ×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－
81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25.
(2)哪一组的成绩较稳定？
解：由于乙组的方差小于甲组的方差，∴乙组的成绩较稳定.
从(1)中得到的极差也可看出乙组的成绩比较稳定.
[反思感悟]　 1. 平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差
描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离
散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越
稳定.
2. 在随机抽样中，往往用样本的离散程度估计总体的离散程度.
知识点二
知识点二　方差、标准差与统计图表的综合应用
例2　对甲厂、乙厂、丙厂生产的袋装食品各抽检了20袋，称得质量如
条形图所示.s1，s2，s3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检食品质量的
标准差，则有(　C　)
甲厂 乙厂 丙厂
C
A. s2＞s1＞s3
B. s1＞s3＞s2
C. s3＞s1＞s2
D. s3＞s2＞s1
【解析】 根据题意，甲厂的平均数 ＝ ×(5×7＋5×8＋5×9＋5×
10)＝8.5，方差 ＝ ×[5×(7－8.5)2＋5×(8－8.5)2＋5×(9－8.5)2＋5×
(10－8.5)2]＝1.25，标准差s1＝ ；
乙厂的平均数 ＝ ×(4×7＋6×8＋6×9＋4×10)＝8.5，
方差 ＝ ×[4×(7－8.5)2＋6×(8－8.5)2＋6×(9－8.5)2＋4×(10－
8.5)2]＝1.05，标准差s2＝ ；
丙厂的平均数 ＝ ×(6×7＋4×8＋4×9＋6×10)＝8.5，
方差 ＝ ×[6×(7－8.5)2＋4×(8－8.5)2＋4×(9－8.5)2＋6×(10－
8.5)2]＝1.45，标准差s3＝ ，
∴s3＞s1＞s2.
[反思感悟]　根据统计图表确定方差(标准差)的大小关系的两种方法：
(1)根据统计图表中所提供的数据与方差(标准差)的计算公式求出其数
值，然后比较大小.
(2)若统计图表中没有反映出具体的数据或计算较为烦琐，可根据统计
图表所反映的数据的波动大小来比较大小.
知识点三
知识点三　分层随机抽样的方差
知识梳理
假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为 ，方差为
s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为 ，方差为
t2.
若记样本平均数值为 ，样本方差为b2，则可以算出
例3　在对某中学高一学生体重的调查中，采取了按样本量比例分配的
分层随机抽样方法.如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其
平均数和方差分别为55和15；抽取了女生20人，其平均数和方差分别为
45和20.你能由这些数据计算出总样本的平均数和方差吗？若能，请求
出具体数值；若不能，请说明理由.
解：设总样本的平均数为 ，总样本的方差为s2，男生的平均体重为
，方差为 ，则 ＝55， ＝15，男生占的比例为 ＝ ，
设女生的平均体重为 ，方差为 ，则 ＝45， ＝20，女生占的比
例为 ＝ ，∴总样本的平均数 ＝ ×55＋ ×45＝51，
总样本的方差s2＝ [＋(－51)2]＋ [＋(－51)2]＝ ×(15＋42)＋
×[20＋(－6)2]＝41.
[反思感悟]　分层随机抽样的方差：设样本中不同层的平均数分别为
， ，…， ，方差分别为 ， ，…， ，相应的权重分别为
w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝ (为
样本的平均数).
随堂巩固
随堂巩固
1. 下列数字特征中，不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是
(　B　)
A. 极差 B. 平均数 C. 方差 D. 标准差
B
2. 已知某样本数据为1，2，3，4，5，则该样本数据的标准差为(　B　)
A. 1 B. C. D. 2
B
3. (多选)下列说法中，正确的是(　AD　)
A. 极差与方差都反映了数据的离散程度
B. 方差是没有单位的统计量
C. 标准差比较小时，数据比较分散
D. 只有两个数据时，极差是标准差的2倍
AD
4. 国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名队员去参加射
击比赛，四人的平均成绩和方差如表所示：
成绩 甲 乙 丙 丁
平均成绩 8.5 8.8 8.8 8
方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7
则派 参赛最为合适.
丙　9.2 导学5　总体离散程度的估计
知识点一　方差、标准差
1. 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用＝ 表示这组数据的平均数，则称 或为这组数据的方差，称 为这组数据的标准差.
2. 若总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝ 为总体方差，S＝ 为总体标准差.
若总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝ .
3. 若一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝ 为样本方差，s＝为样本标准差.
例1　某班20名女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩(单位：分)如下：
甲组　60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；
乙组　85，95，75，70，85，80，85，65，90，85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差；
(2)哪一组的成绩较稳定？
[反思感悟]　 1. 平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.
2. 在随机抽样中，往往用样本的离散程度估计总体的离散程度.
知识点二　方差、标准差与统计图表的综合应用
例2　对甲厂、乙厂、丙厂生产的袋装食品各抽检了20袋，称得质量如条形图所示.s1，s2，s3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检食品质量的标准差，则有(　 　)
甲厂 乙厂 丙厂
A. s2＞s1＞s3 B. s1＞s3＞s2 C. s3＞s1＞s2 D. s3＞s2＞s1
[反思感悟]　根据统计图表确定方差(标准差)的大小关系的两种方法：
(1)根据统计图表中所提供的数据与方差(标准差)的计算公式求出其数值，然后比较大小.
(2)若统计图表中没有反映出具体的数据或计算较为烦琐，可根据统计图表所反映的数据的波动大小来比较大小.
知识点三　分层随机抽样的方差
假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2.
若记样本平均数值为，样本方差为b2，则可以算出
例3　在对某中学高一学生体重的调查中，采取了按样本量比例分配的分层随机抽样方法.如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为55和15；抽取了女生20人，其平均数和方差分别为45和20.你能由这些数据计算出总样本的平均数和方差吗？若能，请求出具体数值；若不能，请说明理由.
[反思感悟]　分层随机抽样的方差：设样本中不同层的平均数分别为，，…，，方差分别为，，…，，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝(为样本的平均数).
1. 下列数字特征中，不能反映样本数据的分散程度、波动情况的是(　 　)
A. 极差 B. 平均数 C. 方差 D. 标准差
2. 已知某样本数据为1，2，3，4，5，则该样本数据的标准差为(　 　)
A. 1 B. C. D. 2
3. (多选)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 极差与方差都反映了数据的离散程度
B. 方差是没有单位的统计量
C. 标准差比较小时，数据比较分散
D. 只有两个数据时，极差是标准差的2倍
4. 国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名队员去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如表所示：
成绩 甲 乙 丙 丁
平均成绩 8.5 8.8 8.8 8
方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7
则派 参赛最为合适.

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