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一、随机事件与概率
导学2　事件的关系和运算
概　率
第十章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　事件的关系
知识梳理
定义 符号 图示
包含 关系 一般地，若事件A发生，则事件B 发生，称事件B 事件A(或事件A包含于事件B) B A (或A B)
相等 关系 特别地，若事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等
一定　
包含　
　
　
A＝B
例1　在掷一枚骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝
“出现1点”，事件C2＝“出现2点”，事件C3＝“出现3点”，事件
C4＝“出现4点”，事件C5＝“出现5点”，事件C6＝“出现6点”，事件
D1＝“出现的点数不大于1”，事件D2＝“出现的点数大于3”，事件
D3＝“出现的点数小于5”，事件E＝“出现的点数小于7”，事件F＝
“出现的点数为偶数”，事件G＝“出现的点数为奇数”.请根据上述
定义的事件，举出符合包含关系、相等关系的事件.
解：∵事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，
∴C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3.
∵在掷骰子的试验中，出现的点数不大于1即为出现1点，
∴事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
∴事件D3包含事件C1，C2，C3，C4，D1；
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，
D3，F，G；
事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包
含事件C1，C3，C5，D1.
[反思感悟]　包含关系、相等关系的判定：
(1)事件的包含关系与集合的包含关系相似.
(2)两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生.
知识点二
知识点二　事件的运算
知识梳理
定义 符号 图示
并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B 有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
至少
定义 符号 图示
交事件 (或积 事件) 一般地，事件A与事件B
发生，这样的一个事件中
的样本点既在事件A中，也在
事件B中，则称这样的一个事
件为事件A与事件B的交事件
(或积事件)
同
时　
A∩B(或AB)
例2　(1)盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝
“3个球中有1个红球、2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球、1个
白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既
有红球又有白球”.求：
①事件D与A，B是怎样的运算关系？
解：①对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白
球，∴D＝A∪B.
②事件C与A的交事件是什么事件？
解：②对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白
球或3个均为红球，∴C∩A＝A.
(2)打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝
A1∪A2∪A3表示(　B　)
A. 全部击中 B. 至少击中1发
C. 至少击中2发 D. 以上均错误
【解析】 A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少
有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.
B
[反思感悟]　事件间运算的方法：
(1)利用事件间运算的定义. 列出同一条件下的试验所有可能出现的结
果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借鉴集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可
能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
知识点三
知识点三　互斥事件与对立事件
知识梳理
定义 符号 图示
互
斥 事
件 一般地，若事件A与事件B
发生，也就是说 是一
个不可能事件，即A∩B＝ ，则
称事件A与事件B互斥(或互不相容)
不能同
时　
A∩B　
　
A∩B＝ 　
定义 符号 图示
对
立 事
件 一般地，如果事件A与事件B在任何
一次试验中有且仅有一个发生，即
A∪B＝Ω，且 ，那么
称事件A与事件B互为对立，事件A
的对立事件记为

A∩B＝ 　
A∩B＝ ，
A∪B＝Ω　
点拨：1. 对立事件一定互斥.2. 互斥事件不一定对立.
例3　某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲
报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，
事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每组
事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；
解：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A
与事件C有可能同时发生，∴A与C不是互斥事件.
(2)B与E；
解：(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可
能同时发生的，∴B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发
生，∴B与E是对立事件.
(3)B与D；
解：(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不
订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，∴B与D不是互
斥事件.
(4)B与C；
解：(4)事件B“至少订一种报纸”中包括的样本点为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报纸”包括的样本点为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”，也就是说事件B与事件C可能同时发生，∴B与C不是互斥事件.
(5)C与E.
解：(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可
能情况，∴事件C与事件E可能同时发生，∴C与E不是互斥事件.
[反思感悟]　辨析互斥事件与对立事件的思路：
(1)从发生的角度看：
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，
但不可能同时发生.
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立必定
互斥，但两事件互斥未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.
(2)从事件个数的角度看：
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.
随堂巩固
随堂巩固
1. (2024·重庆模拟)对于两个事件A，B，则事件A∪B表示的含义是
(　C　)
A. A与B同时发生
B. A与B有且仅有一个发生
C. A与B至少有一个发生
D. A与B不能同时发生
C
2. 掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出
现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　B　)
A. A B B. A∩B＝{出现的点数为2}
C. 事件A与B互斥 D. 事件A与B是对立事件
B
3. 一名射击运动员进行一次射击，则事件“命中环数小于6”的对立事
件是(　C　)
A. 命中环数为7，8，9或10
B. 命中环数为1，2，3，4，5或6
C. 命中环数至少为6
D. 命中环数至多为6
C
4. 若一台轰炸机正在对空中飞行的敌机进行连续两次的射击，每次发
射一枚炮弹，设A＝“两次都击中敌机”，B＝“两次都没击中敌
机”，C＝“恰有一次击中敌机”，D＝“至少有一次击中敌机”，则
下列结论中，正确的是 (填序号).
①A D；②A∪C＝D；③A∪C＝B∪D.
①②　10.1 导学2　事件的关系和运算
知识点一　事件的关系
定义 符号 图示
包含 关系 一般地，若事件A发生，则事件B 发生，称事件B 事件A(或事件A包含于事件B) B A (或A B)
相等 关系 特别地，若事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，则称事件A与事件B相等
例1　在掷一枚骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝“出现1点”，事件C2＝“出现2点”，事件C3＝“出现3点”，事件C4＝“出现4点”，事件C5＝“出现5点”，事件C6＝“出现6点”，事件D1＝“出现的点数不大于1”，事件D2＝“出现的点数大于3”，事件D3＝“出现的点数小于5”，事件E＝“出现的点数小于7”，事件F＝“出现的点数为偶数”，事件G＝“出现的点数为奇数”.请根据上述定义的事件，举出符合包含关系、相等关系的事件.
[反思感悟]　包含关系、相等关系的判定：
(1)事件的包含关系与集合的包含关系相似.
(2)两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生.
知识点二　事件的运算
定义 符号 图示
并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B 有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B 发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
例2　(1)盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球、2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球、1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”.求：
①事件D与A，B是怎样的运算关系？
②事件C与A的交事件是什么事件？
(2)打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示(　 　)
A. 全部击中 B. 至少击中1发
C. 至少击中2发 D. 以上均错误
[反思感悟]　事件间运算的方法：
(1)利用事件间运算的定义. 列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借鉴集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
知识点三　互斥事件与对立事件
#定义 #符号 #图示
互斥 事件 一般地，若事件A与事件B 发生，也就是说 是一个不可能事件，即A∩B＝ ，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
对立 事件 一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且 ，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为
点拨：1. 对立事件一定互斥.2. 互斥事件不一定对立.
例3　某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；
(2)B与E；
(3)B与D；
(4)B与C；
(5)C与E.
[反思感悟]　辨析互斥事件与对立事件的思路：
(1)从发生的角度看：
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生.
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立必定互斥，但两事件互斥未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.
(2)从事件个数的角度看：
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.
1. (2024·重庆模拟)对于两个事件A，B，则事件A∪B表示的含义是(　 　)
A. A与B同时发生
B. A与B有且仅有一个发生
C. A与B至少有一个发生
D. A与B不能同时发生
2. 掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　 　)
A. A B B. A∩B＝{出现的点数为2}
C. 事件A与B互斥 D. 事件A与B是对立事件
3. 一名射击运动员进行一次射击，则事件“命中环数小于6”的对立事件是(　 　)
A. 命中环数为7，8，9或10
B. 命中环数为1，2，3，4，5或6
C. 命中环数至少为6
D. 命中环数至多为6
4. 若一台轰炸机正在对空中飞行的敌机进行连续两次的射击，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中敌机”，B＝“两次都没击中敌机”，C＝“恰有一次击中敌机”，D＝“至少有一次击中敌机”，则下列结论中，正确的是 (填序号).
①A D；②A∪C＝D；③A∪C＝B∪D.10.1 导学2　事件的关系和运算
知识点一　事件的关系
定义 符号 图示
包含 关系 一般地，若事件A发生，则事件B　一定　发生，称事件B　包含　事件A(或事件A包含于事件B) B A (或A B)
相等 关系 特别地，若事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B　 　A且A　 　B，则称事件A与事件B相等 　A＝B　
例1　在掷一枚骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝“出现1点”，事件C2＝“出现2点”，事件C3＝“出现3点”，事件C4＝“出现4点”，事件C5＝“出现5点”，事件C6＝“出现6点”，事件D1＝“出现的点数不大于1”，事件D2＝“出现的点数大于3”，事件D3＝“出现的点数小于5”，事件E＝“出现的点数小于7”，事件F＝“出现的点数为偶数”，事件G＝“出现的点数为奇数”.请根据上述定义的事件，举出符合包含关系、相等关系的事件.
解：∵事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，
∴C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3.
∵在掷骰子的试验中，出现的点数不大于1即为出现1点，
∴事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
∴事件D3包含事件C1，C2，C3，C4，D1；
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，F，G；
事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5，D1.
[反思感悟]　包含关系、相等关系的判定：
(1)事件的包含关系与集合的包含关系相似.
(2)两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生.
知识点二　事件的运算
定义 符号 图示
并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B　至少　有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B　同时　发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 　A∩B(或AB)　
例2　(1)盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球、2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球、1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”.求：
①事件D与A，B是怎样的运算关系？
解：①对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，∴D＝A∪B.
②事件C与A的交事件是什么事件？
解：②对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，∴C∩A＝A.
(2)打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示(　B　)
A. 全部击中 B. 至少击中1发
C. 至少击中2发 D. 以上均错误
【解析】 A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.
[反思感悟]　事件间运算的方法：
(1)利用事件间运算的定义. 列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借鉴集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
知识点三　互斥事件与对立事件
#定义 #符号 #图示
互斥 事件 一般地，若事件A与事件B　不能同时　发生，也就是说　A∩B　是一个不可能事件，即A∩B＝　 　，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 　A∩B＝ 　
对立 事件 一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且　A∩B＝ 　，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 　A∩B＝ ，A∪B＝Ω　
点拨：1. 对立事件一定互斥.2. 互斥事件不一定对立.
例3　某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；
解：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，∴A与C不是互斥事件.
(2)B与E；
解：(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，∴B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，∴B与E是对立事件.
(3)B与D；
解：(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，∴B与D不是互斥事件.
(4)B与C；
解：(4)事件B“至少订一种报纸”中包括的样本点为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报纸”包括的样本点为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”，也就是说事件B与事件C可能同时发生，∴B与C不是互斥事件.
(5)C与E.
解：(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，∴事件C与事件E可能同时发生，∴C与E不是互斥事件.
[反思感悟]　辨析互斥事件与对立事件的思路：
(1)从发生的角度看：
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生.
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立必定互斥，但两事件互斥未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.
(2)从事件个数的角度看：
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.
1. (2024·重庆模拟)对于两个事件A，B，则事件A∪B表示的含义是(　C　)
A. A与B同时发生
B. A与B有且仅有一个发生
C. A与B至少有一个发生
D. A与B不能同时发生
2. 掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　B　)
A. A B B. A∩B＝{出现的点数为2}
C. 事件A与B互斥 D. 事件A与B是对立事件
3. 一名射击运动员进行一次射击，则事件“命中环数小于6”的对立事件是(　C　)
A. 命中环数为7，8，9或10
B. 命中环数为1，2，3，4，5或6
C. 命中环数至少为6
D. 命中环数至多为6
4. 若一台轰炸机正在对空中飞行的敌机进行连续两次的射击，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中敌机”，B＝“两次都没击中敌机”，C＝“恰有一次击中敌机”，D＝“至少有一次击中敌机”，则下列结论中，正确的是　①②　(填序号).
①A D；②A∪C＝D；③A∪C＝B∪D.

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