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一、随机事件与概率
导学5　概率的基本性质
概　率
第十章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　概率的基本性质
知识梳理
一般地，概率有如下性质：
性质1　对任意的事件A，都有P(A) 0.
性质2　必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，
即P(Ω)＝ ，P( )＝ .
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ .
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ ，
P(A)＝ .
≥　
1　
0　
1　
0　
P(A)＋P(B)　
1－P(A)
1－P(B)　
性质5　如果A B，那么 .
P(A)≤P(B)　
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，
我们有P(A∪B)＝ .
P(A)＋P(B)－P(A∩B)　
点拨：性质4体现了“正难则反”的思想，当一个事件较为复杂，而它
的对立事件较为简单时，利用性质4可简化计算.
例1　(1)若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，
且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是(　C　)
A. B. C. ， D.
C
【解析】 ∵随机事件A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝3a－3，依题意及概率的性质得 即
解得 ＜a≤ ，∴实数a的取值范围是 ， .
(2)若A，B为互斥事件，则(　D　)
A. P(A)＋P(B)＜1 B. P(A)＋P(B)＞1
C. P(A)＋P(B)＝1 D. P(A)＋P(B)≤1
【解析】 ∵A，B为互斥事件，∴A∪B是随机事件或必然事件，则
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1，当A，B为对立事件时，P(A)＋P(B)＝1.
D
(3)投掷一枚骰子(均匀的正方体)，设事件A为“掷得的点数为偶数”，
事件B为“掷得的点数是2”，则P(A)与P(B)的大小关系为(　A　)
A. P(A)＞P(B) B. P(A)＝P(B)
C. P(A)＜P(B) D. 无法确定
【解析】 方法一　∵n(A)＝3，n(B)＝1，∴P(A)＝ ＝ ，P(B)＝ ，∴P(A)＞P(B).
方法二　∵B A，∴P(A)＞P(B).
A
[反思感悟]　 1. 由于事件的样本点个数总是小于或等于试验的样本空
间，所以任何事件的概率都在0～1范围内，即0≤P(A)≤1.
2. 利用概率性质进行判断时，要注意每一条性质使用的条件，不能断
章取义.
知识点二
知识点二　互斥事件概率的应用
例2　(1)(2024·江西吉安高一期末)已知事件A，B是互斥事件，P(A)＝
，P()＝ ，则P(A∪B)等于(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵P(B)＝1－P()，P()＝ ，∴P(B)＝ ，∵事件A，B
是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝ ＋ ＝ .
C
(2)盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球.设事件A表示
“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红
球，1个白球”.已知P(A)＝ ，P(B)＝ ，求这3个球中既有红球又
有白球的概率.
解：∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝ ＋ ＝ ，
∴这3个球中既有红球又有白球的概率是 .
[反思感悟]　 运用互斥事件的概率加法公式解题时，既要分清事件之间
是否互斥，还要学会把一个事件拆分为几个彼此互斥的事件.解题的一
般步骤如下：
(1)确定各事件彼此互斥；
(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.
知识点三
知识点三　对立事件概率的应用
例3　甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙获胜的概率为 ，求：
(1)甲获胜的概率；
解：(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，
∴“甲获胜”的概率p＝1－ － ＝ .
(2)甲不输的概率.
解：(2)方法一　设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”
这两个互斥事件的并事件，
∴P(A)＝ ＋ ＝ .
方法二　设事件A为“甲不输”，是“乙获胜”的对立事件，
∴P(A)＝1－ ＝ ，即甲不输的概率是 .
[反思感悟]　利用对立事件的概率公式解题的思路：
(1)当对立事件A，B中一个事件的概率容易求，而另一个事件的概率直
接计算较烦琐，不容易求时，可先间接地计算其对立事件的概率，再由
公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率.
(2)运用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件到底是
什么.该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解.
随堂巩固
随堂巩固
1. 若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于
(　A　)
A. 0.3 B. 0.7 C. 0.1 D. 1
A
2. 事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.6，则P(B)等于(　A　)
A. 0.4 B. 0.5
C. 0.6 D. 1
A
3. 掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现3点”，B表示事
件“出现偶数点”，则P(A∪B)等于 .
　
4. 从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1
名女生的概率为 ，那么所选3人都是男生的概率为 　 　.
　10.1 导学5　概率的基本性质
知识点一　概率的基本性质
一般地，概率有如下性质：
性质1　对任意的事件A，都有P(A) 0.
性质2　必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ，即P(Ω)＝ ，P( )＝ .
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ .
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝ ，P(A)＝ .
性质5　如果A B，那么 .
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝ .
点拨：性质4体现了“正难则反”的思想，当一个事件较为复杂，而它的对立事件较为简单时，利用性质4可简化计算.
例1　(1)若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是(　 　)
A. B.
C. ， D.
(2)若A，B为互斥事件，则(　 　)
A. P(A)＋P(B)＜1 B. P(A)＋P(B)＞1
C. P(A)＋P(B)＝1 D. P(A)＋P(B)≤1
(3)投掷一枚骰子(均匀的正方体)，设事件A为“掷得的点数为偶数”，事件B为“掷得的点数是2”，则P(A)与P(B)的大小关系为(　 　)
A. P(A)＞P(B) B. P(A)＝P(B)
C. P(A)＜P(B) D. 无法确定
[反思感悟]　 1. 由于事件的样本点个数总是小于或等于试验的样本空间，所以任何事件的概率都在0～1范围内，即0≤P(A)≤1.
2. 利用概率性质进行判断时，要注意每一条性质使用的条件，不能断章取义.
知识点二　互斥事件概率的应用
例2　(1)(2024·江西吉安高一期末)已知事件A，B是互斥事件，P(A)＝，P()＝，则P(A∪B)等于(　 　)
A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.
(2)盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球.设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”.已知P(A)＝，P(B)＝，求这3个球中既有红球又有白球的概率.
[反思感悟]　 运用互斥事件的概率加法公式解题时，既要分清事件之间是否互斥，还要学会把一个事件拆分为几个彼此互斥的事件.解题的一般步骤如下：
(1)确定各事件彼此互斥；
(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.
知识点三　对立事件概率的应用
例3　甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率.
[反思感悟]　利用对立事件的概率公式解题的思路：
(1)当对立事件A，B中一个事件的概率容易求，而另一个事件的概率直接计算较烦琐，不容易求时，可先间接地计算其对立事件的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率.
(2)运用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件到底是什么.该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解.
1. 若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于(　 　)
A. 0.3 B. 0.7 C. 0.1 D. 1
2. 事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.6，则P(B)等于(　 　)
A. 0.4 B. 0.5
C. 0.6 D. 1
3. 掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现3点”，B表示事件“出现偶数点”，则P(A∪B)等于 .
4. 从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人都是男生的概率为 .10.1 导学5　概率的基本性质
知识点一　概率的基本性质
一般地，概率有如下性质：
性质1　对任意的事件A，都有P(A)　≥　0.
性质2　必然事件的概率为　1　，不可能事件的概率为　0　，即P(Ω)＝　1　，P( )＝　0　.
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝　P(A)＋P(B)　.
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝　1－P(A)　，P(A)＝　1－P(B)　.
性质5　如果A B，那么　P(A)≤P(B)　.
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝　P(A)＋P(B)－P(A∩B)　.
点拨：性质4体现了“正难则反”的思想，当一个事件较为复杂，而它的对立事件较为简单时，利用性质4可简化计算.
例1　(1)若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是(　C　)
A. B.
C. ， D.
【解析】 ∵随机事件A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝3a－3，依题意及概率的性质得即解得＜a≤，∴实数a的取值范围是，.
(2)若A，B为互斥事件，则(　D　)
A. P(A)＋P(B)＜1 B. P(A)＋P(B)＞1
C. P(A)＋P(B)＝1 D. P(A)＋P(B)≤1
【解析】 ∵A，B为互斥事件，∴A∪B是随机事件或必然事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1，当A，B为对立事件时，P(A)＋P(B)＝1.
(3)投掷一枚骰子(均匀的正方体)，设事件A为“掷得的点数为偶数”，事件B为“掷得的点数是2”，则P(A)与P(B)的大小关系为(　A　)
A. P(A)＞P(B) B. P(A)＝P(B)
C. P(A)＜P(B) D. 无法确定
【解析】 方法一　∵n(A)＝3，n(B)＝1，∴P(A)＝＝，P(B)＝，∴P(A)＞P(B).
方法二　∵B A，∴P(A)＞P(B).
[反思感悟]　 1. 由于事件的样本点个数总是小于或等于试验的样本空间，所以任何事件的概率都在0～1范围内，即0≤P(A)≤1.
2. 利用概率性质进行判断时，要注意每一条性质使用的条件，不能断章取义.
知识点二　互斥事件概率的应用
例2　(1)(2024·江西吉安高一期末)已知事件A，B是互斥事件，P(A)＝，P()＝，则P(A∪B)等于(　C　)
A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.
【解析】 ∵P(B)＝1－P()，P()＝，∴P(B)＝，∵事件A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球.设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”.已知P(A)＝，P(B)＝，求这3个球中既有红球又有白球的概率.
解：∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，∴这3个球中既有红球又有白球的概率是.
[反思感悟]　 运用互斥事件的概率加法公式解题时，既要分清事件之间是否互斥，还要学会把一个事件拆分为几个彼此互斥的事件.解题的一般步骤如下：
(1)确定各事件彼此互斥；
(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.
知识点三　对立事件概率的应用
例3　甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
解：(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，
∴“甲获胜”的概率p＝1－－＝.
(2)甲不输的概率.
解：(2)方法一　设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，
∴P(A)＝＋＝.
方法二　设事件A为“甲不输”，是“乙获胜”的对立事件，
∴P(A)＝1－＝，即甲不输的概率是.
[反思感悟]　利用对立事件的概率公式解题的思路：
(1)当对立事件A，B中一个事件的概率容易求，而另一个事件的概率直接计算较烦琐，不容易求时，可先间接地计算其对立事件的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率.
(2)运用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件到底是什么.该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解.
1. 若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于(　A　)
A. 0.3 B. 0.7 C. 0.1 D. 1
2. 事件A与B是对立事件，且P(A)＝0.6，则P(B)等于(　A　)
A. 0.4 B. 0.5
C. 0.6 D. 1
3. 掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现3点”，B表示事件“出现偶数点”，则P(A∪B)等于　　.
4. 从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人都是男生的概率为　　.

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