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二、事件的相互独立性
导学1　事件的相互独立性(一)
概　率
第十章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　相互独立事件的概念
知识梳理
对任意两个事件A与B，若 成立，则称事件A与
事件B相互独立.
P(AB)＝P(A)P(B)　
例1　(1)(多选)下列事件中，A，B是相互独立事件的为(　AC　)
A. 一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B. 袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两个球，A＝“第一次摸到
白球”，B＝“第二次摸到白球”
C. 掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为3或4”
D. 掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
AC
【解析】 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不
受先后次序的影响，∴A中A，B事件是相互独立事件；B中A，B事件
是不放回地摸球，显然不是相互独立事件；对于C，A事件为出现1，
3，5点，B事件为出现3，4点，则P(A)＝ ，P(B)＝ ，又事件AB为
出现3点，从而P(AB)＝ ，∴P(AB)＝P(A)P(B)，事件A，B相互独
立；D中两事件是互斥事件，不是相互独立事件.
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，
从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的
球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事
件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数
字之和是7”，则(　B　)
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
B
【解析】 事件甲发生的概率P(甲)＝ ，事件乙发生的概率P(乙)＝ ，
事件丙发生的概率P(丙)＝ ＝ ，事件丁发生的概率P(丁)＝ ＝
.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，A错
误；事件甲与事件丁同时发生的概率为 ＝ ，B正确；事件乙与事
件丙同时发生的概率为 ＝ ，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，C错误；事
件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，D错误.
[反思感悟]　判断两个事件是否相互独立的方法：
(1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件
是否相互独立.
(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是
否有影响，若没有影响，就是相互独立事件.
知识点二
知识点二　相互独立事件的性质
例2　(1)一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回摸球试验中，用A1表
示“第一次摸得白球”，A2表示“第二次摸得白球”，则事件A1与
是(　A　)
A. 相互独立事件 B. 不相互独立事件
C. 互斥事件 D. 对立事件
A
【解析】 由题意可得 表示“第二次摸到的不是白球”，即 表示
“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，∴每次是否摸到黄
球或白球互不影响，∴事件A1与 是相互独立事件.
(2)若P(AB)＝ ，P()＝ ，P(B)＝ ，则事件A与B的关系是(　C　)
A. 事件A与B互斥
B. 事件A与B对立
C. 事件A与B相互独立
D. 事件A与B既互斥又相互独立
【解析】 ∵P()＝ ，∴P(A)＝ ，又P(B)＝ ，P(AB)＝ ，∴有
P(AB)＝P(A)P(B)，事件A与B相互独立但不一定互斥.
C
[反思感悟]　 互斥事件与相互独立事件都可以用来描述两个事件间的关
系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的
发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
知识点三
知识点三　相互独立事件的概率计算
例3　甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮一次命中的概率为 ，乙投篮一次命中的概率为 ，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中
相互没有影响.
(1)甲、乙各投篮一次，求恰好有1人命中的概率；
解：由题意，甲投篮一次命中的概率为 ，乙投篮一次命中的概率为 ，且甲和乙投篮是否命中相互没有影响，∴甲、乙各投篮一次，恰好
有1人命中的概率为 × ＋ × ＝ .
(2)甲、乙各投篮一次，求至少有1人命中的概率.
解：甲、乙各投篮一次，两人均没有命中的概率为 × ＝ ，∴甲、
乙各投篮一次，至少有1人命中的概率为1－ ＝ .
[反思感悟]　 1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积.
2. 使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用
条件，即各个事件之间是相互独立的，而且它们可以同时发生.
随堂巩固
随堂巩固
1. 把标有1，2的两张卡片随机地分给甲、乙；把标有3，4的两张卡片
随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得到1号纸片”与“丙得到4号
纸片”是(　C　)
A. 互斥但非对立事件 B. 对立事件
C. 相互独立事件 D. 以上答案都不对
C
2. 打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次.若两人同
时射击一个目标，则他们都中靶的概率是(　D　)
A. B. C. D.
D
3. 一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断
的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都
熔断的概率为(　B　)
A. 1 B. 0.629
C. 0 D. 0.74或0.85
B
4. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多
命中一次的概率为 ，则该队员每次罚球的命中率为 　 　.
　10.2 导学1　事件的相互独立性(一)
知识点一　相互独立事件的概念
对任意两个事件A与B，若 成立，则称事件A与事件B相互独立.
例1　(1)(多选)下列事件中，A，B是相互独立事件的为(　 　)
A. 一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B. 袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两个球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C. 掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为3或4”
D. 掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　 　)
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
[反思感悟]　判断两个事件是否相互独立的方法：
(1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立.
(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，若没有影响，就是相互独立事件.
知识点二　相互独立事件的性质
例2　(1)一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回摸球试验中，用A1表示“第一次摸得白球”，A2表示“第二次摸得白球”，则事件A1与是(　 　)
A. 相互独立事件 B. 不相互独立事件
C. 互斥事件 D. 对立事件
(2)若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　 　)
A. 事件A与B互斥
B. 事件A与B对立
C. 事件A与B相互独立
D. 事件A与B既互斥又相互独立
[反思感悟]　 互斥事件与相互独立事件都可以用来描述两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
知识点三　相互独立事件的概率计算
例3　甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.
(1)甲、乙各投篮一次，求恰好有1人命中的概率；
(2)甲、乙各投篮一次，求至少有1人命中的概率.
[反思感悟]　 1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积.
2. 使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件之间是相互独立的，而且它们可以同时发生.
1. 把标有1，2的两张卡片随机地分给甲、乙；把标有3，4的两张卡片随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得到1号纸片”与“丙得到4号纸片”是(　 　)
A. 互斥但非对立事件 B. 对立事件
C. 相互独立事件 D. 以上答案都不对
2. 打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次.若两人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是(　 　)
A. B. C. D.
3. 一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为(　 　)
A. 1 B. 0.629
C. 0 D. 0.74或0.85
4. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为 .10.2 导学1　事件的相互独立性(一)
知识点一　相互独立事件的概念
对任意两个事件A与B，若　P(AB)＝P(A)P(B)　成立，则称事件A与事件B相互独立.
例1　(1)(多选)下列事件中，A，B是相互独立事件的为(　AC　)
A. 一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B. 袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两个球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C. 掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为3或4”
D. 掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
【解析】 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，∴A中A，B事件是相互独立事件；B中A，B事件是不放回地摸球，显然不是相互独立事件；对于C，A事件为出现1，3，5点，B事件为出现3，4点，则P(A)＝，P(B)＝，又事件AB为出现3点，从而P(AB)＝，∴P(AB)＝P(A)P(B)，事件A，B相互独立；D中两事件是互斥事件，不是相互独立事件.
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　B　)
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
【解析】 事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，
P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，D错误.
[反思感悟]　判断两个事件是否相互独立的方法：
(1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立.
(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，若没有影响，就是相互独立事件.
知识点二　相互独立事件的性质
例2　(1)一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回摸球试验中，用A1表示“第一次摸得白球”，A2表示“第二次摸得白球”，则事件A1与是(　A　)
A. 相互独立事件 B. 不相互独立事件
C. 互斥事件 D. 对立事件
【解析】 由题意可得表示“第二次摸到的不是白球”，即表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，∴每次是否摸到黄球或白球互不影响，∴事件A1与是相互独立事件.
(2)若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　C　)
A. 事件A与B互斥
B. 事件A与B对立
C. 事件A与B相互独立
D. 事件A与B既互斥又相互独立
【解析】 ∵P()＝，∴P(A)＝，又P(B)＝，P(AB)＝，∴有P(AB)＝P(A)P(B)，事件A与B相互独立但不一定互斥.
[反思感悟]　 互斥事件与相互独立事件都可以用来描述两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
知识点三　相互独立事件的概率计算
例3　甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.
(1)甲、乙各投篮一次，求恰好有1人命中的概率；
解：由题意，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为，且甲和乙投篮是否命中相互没有影响，∴甲、乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率为×＋×＝.
(2)甲、乙各投篮一次，求至少有1人命中的概率.
解：甲、乙各投篮一次，两人均没有命中的概率为×＝，∴甲、乙各投篮一次，至少有1人命中的概率为1－＝.
[反思感悟]　 1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积.
2. 使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件之间是相互独立的，而且它们可以同时发生.
1. 把标有1，2的两张卡片随机地分给甲、乙；把标有3，4的两张卡片随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得到1号纸片”与“丙得到4号纸片”是(　C　)
A. 互斥但非对立事件 B. 对立事件
C. 相互独立事件 D. 以上答案都不对
2. 打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次.若两人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是(　D　)
A. B. C. D.
3. 一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为(　B　)
A. 1 B. 0.629
C. 0 D. 0.74或0.85
4. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为　　.

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