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三、频率与概率
概　率
第十章
高中数学 必修 第二册
知识点一
知识点一　频率的稳定性
知识梳理
1. 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事
件A发生的频率fn(A)会逐渐 于事件A发生的概率P(A).我们称
频率的这个性质为频率的 性.因此，我们可以用频率fn(A)
概率P(A).
2. 概率是一个确定的数，与每次的试验无关.
点拨：频率是概率的试验值，概率是频率的稳定值.
稳定　
稳定　
估
计　
例1　(1)下列说法中，正确的是(　D　)
A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，则不会出现三
投都不中的情况
B. 一枚骰子抛掷一次时得到2的概率是 ，则抛掷6次一定会出现一次2
C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万次的彩票一定会中奖一次
D. 随机事件发生的概率与试验次数无关
D
【解析】 概率小不代表一定不发生，A错误；概率不等同于频率，B错
误；概率是预测，不必然出现，C错误；随机事件发生的概率是频率的
稳定值，与试验次数无关，D正确.
(2)下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：
抽取球的个数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品个数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
①计算各组优等品频率，填入上表；
解：①根据优等品频率＝ ，
可得优等品的频率从左到右依次为0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951.
②根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.
解：②由①可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，
∴估计“抽取的是优等品”的概率是0.95.
[反思感悟]　 1. 频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会
越来越接近概率.
2. 频率本身是随机的，在试验前不能确定.
3. 概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试
验次数无关.
知识点二
知识点二　游戏公平性的判断
例2　某校高二(1)、(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热
烈、有趣，所以策划整场晚会以转盘游戏的方式进行.每个节目开始
时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个
节目.(1)班的文艺委员利用分别标有数字1，2，3和4，5，6，7的两个
转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一
次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，
否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平？请说
明理由.
解：该方案是公平的，理由如下：
各种情况如表所示：
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，∴(1)班代表获胜的概率P1＝ ＝ ，(2)班代表获胜的概率P2＝ ＝ ，即P1＝P2，机会是均等的，∴该方案对双方是公平的.
[反思感悟]　游戏规则公平的判断标准及判断方法：
(1)在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，
也就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等.
(2)具体判断时，可以求出按给定规则双方获胜的概率，再进行比较.
知识点三
知识点三　用随机模拟试验估计概率
知识梳理
1. 产生随机数的方法
(1)利用计算器或 产生随机数.
(2)构建模拟试验，产生随机数.
计算机软件　
2. 随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到
的 来估计 ，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称
为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.
频率　
概率　
例3　(1)用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度取决于(　B　)
A. 产生的随机数的大小
B. 产生的随机数的个数
C. 随机数对应的结果
D. 产生随机数的方法
【解析】 随机数的个数越多，由频率估计概率越准确.
B
(2)天气预报显示，在今后的三天中，某地每一天下雨的概率均为40 ％，这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少(用随机模拟试验来解决，并给出关键步骤)？
解：①设计模拟试验
利用计算机(计算器)产生0～9之间的取整数值的随机数，约定用0，1，
2，3表示下雨，4，5，6，7，8，9表示不下雨，以体现下雨的概率是
40％. 连续产生三个随机数为一组，作为三天的模拟结果.
②进行模拟试验
例如：产生30组随机数，这就相当于做了30次重复试验.
③统计试验结果
在一组数中，若恰有两个数在{0，1，2，3}中，则表示三天中恰有两天
下雨，统计出这样的随机数的组数n，则在30次试验中，三天中恰有两
天下雨的频率为 ，∴可估计所求概率为 .
[反思感悟]　用随机模拟法求事件概率的思路：
(1)当使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用
哪个代表试验结果.
(2)若试验的基本结果是等可能的，样本空间即为产生随机数的范围，
每个随机数代表一个样本点.
(3)当研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法来确定表示各个
结果的数字个数及总个数.
随堂巩固
随堂巩固
1. “某彩票的中奖概率为 ”意味着(　D　)
A. 买1 000张彩票就一定能中奖
B. 买1 000张彩票中一次奖
C. 买1 000张彩票一次奖也不中
D. 购买彩票中奖的可能性是
D
2. 一个口袋中装着分别写有“兴文”“石海”字样的小球共20个，它
们除此之外完全相同.将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球，
记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这一过程，发现摸到
“兴文”球的频率稳定在0.65左右，则估计这个口袋中“兴文”球的个
数为(　B　)
A. 14 B. 13 C. 7 D. 6
B
3. 已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行
了 次试验.
500　
4. 在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上
为事件A，则事件A出现的频率为 .
0.52　10.3 频率与概率
知识点一　频率的稳定性
1. 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐　稳定　于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的　稳定　性.因此，我们可以用频率fn(A)　估计　概率P(A).
2. 概率是一个确定的数，与每次的试验无关.
点拨：频率是概率的试验值，概率是频率的稳定值.
例1　(1)下列说法中，正确的是(　D　)
A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，则不会出现三投都不中的情况
B. 一枚骰子抛掷一次时得到2的概率是，则抛掷6次一定会出现一次2
C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万次的彩票一定会中奖一次
D. 随机事件发生的概率与试验次数无关
【解析】 概率小不代表一定不发生，A错误；概率不等同于频率，B错误；概率是预测，不必然出现，C错误；随机事件发生的概率是频率的稳定值，与试验次数无关，D正确.
(2)下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：
抽取球的个数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品个数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
①计算各组优等品频率，填入上表；
解：①根据优等品频率＝，
可得优等品的频率从左到右依次为0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951.
②根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.
解：②由①可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，
∴估计“抽取的是优等品”的概率是0.95.
[反思感悟]　 1. 频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
2. 频率本身是随机的，在试验前不能确定.
3. 概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.
知识点二　游戏公平性的判断
例2　某校高二(1)、(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，所以策划整场晚会以转盘游戏的方式进行.每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.(1)班的文艺委员利用分别标有数字1，2，3和4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平？请说明理由.
　
解：该方案是公平的，理由如下：
各种情况如表所示：
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，∴(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，∴该方案对双方是公平的.
[反思感悟]　游戏规则公平的判断标准及判断方法：
(1)在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，也就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等.
(2)具体判断时，可以求出按给定规则双方获胜的概率，再进行比较.
知识点三　用随机模拟试验估计概率
1. 产生随机数的方法
(1)利用计算器或　计算机软件　产生随机数.
(2)构建模拟试验，产生随机数.
2. 随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的　频率　来估计　概率　，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.
例3　(1)用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度取决于(　B　)
A. 产生的随机数的大小
B. 产生的随机数的个数
C. 随机数对应的结果
D. 产生随机数的方法
【解析】 随机数的个数越多，由频率估计概率越准确.
(2)天气预报显示，在今后的三天中，某地每一天下雨的概率均为40％，这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少(用随机模拟试验来解决，并给出关键步骤)？
解：①设计模拟试验
利用计算机(计算器)产生0～9之间的取整数值的随机数，约定用0，1，2，3表示下雨，4，5，6，7，8，9表示不下雨，以体现下雨的概率是40％. 连续产生三个随机数为一组，作为三天的模拟结果.
②进行模拟试验
例如：产生30组随机数，这就相当于做了30次重复试验.
③统计试验结果
在一组数中，若恰有两个数在{0，1，2，3}中，则表示三天中恰有两天下雨，统计出这样的随机数的组数n，则在30次试验中，三天中恰有两天下雨的频率为，
∴可估计所求概率为.
[反思感悟]　用随机模拟法求事件概率的思路：
(1)当使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果.
(2)若试验的基本结果是等可能的，样本空间即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点.
(3)当研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法来确定表示各个结果的数字个数及总个数.
1. “某彩票的中奖概率为”意味着(　D　)
A. 买1 000张彩票就一定能中奖
B. 买1 000张彩票中一次奖
C. 买1 000张彩票一次奖也不中
D. 购买彩票中奖的可能性是
2. 一个口袋中装着分别写有“兴文”“石海”字样的小球共20个，它们除此之外完全相同.将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球，记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这一过程，发现摸到“兴文”球的频率稳定在0.65左右，则估计这个口袋中“兴文”球的个数为(　B　)
A. 14 B. 13 C. 7 D. 6
3. 已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了　500　次试验.
4. 在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为　0.52　.10.3 频率与概率
知识点一　频率的稳定性
1. 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐 于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的 性.因此，我们可以用频率fn(A) 概率P(A).
2. 概率是一个确定的数，与每次的试验无关.
点拨：频率是概率的试验值，概率是频率的稳定值.
例1　(1)下列说法中，正确的是(　 　)
A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，则不会出现三投都不中的情况
B. 一枚骰子抛掷一次时得到2的概率是，则抛掷6次一定会出现一次2
C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万次的彩票一定会中奖一次
D. 随机事件发生的概率与试验次数无关
(2)下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：
抽取球的个数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品个数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
①计算各组优等品频率，填入上表；
②根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.
[反思感悟]　 1. 频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
2. 频率本身是随机的，在试验前不能确定.
3. 概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.
知识点二　游戏公平性的判断
例2　某校高二(1)、(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，所以策划整场晚会以转盘游戏的方式进行.每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.(1)班的文艺委员利用分别标有数字1，2，3和4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平？请说明理由.
　
[反思感悟]　游戏规则公平的判断标准及判断方法：
(1)在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，也就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等.
(2)具体判断时，可以求出按给定规则双方获胜的概率，再进行比较.
知识点三　用随机模拟试验估计概率
1. 产生随机数的方法
(1)利用计算器或 产生随机数.
(2)构建模拟试验，产生随机数.
2. 随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的 来估计 ，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.
例3　(1)用随机模拟的方法估计概率时，其准确程度取决于(　 　)
A. 产生的随机数的大小
B. 产生的随机数的个数
C. 随机数对应的结果
D. 产生随机数的方法
(2)天气预报显示，在今后的三天中，某地每一天下雨的概率均为40％，这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少(用随机模拟试验来解决，并给出关键步骤)？
[反思感悟]　用随机模拟法求事件概率的思路：
(1)当使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果.
(2)若试验的基本结果是等可能的，样本空间即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点.
(3)当研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法来确定表示各个结果的数字个数及总个数.
1. “某彩票的中奖概率为”意味着(　 　)
A. 买1 000张彩票就一定能中奖
B. 买1 000张彩票中一次奖
C. 买1 000张彩票一次奖也不中
D. 购买彩票中奖的可能性是
2. 一个口袋中装着分别写有“兴文”“石海”字样的小球共20个，它们除此之外完全相同.将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球，记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这一过程，发现摸到“兴文”球的频率稳定在0.65左右，则估计这个口袋中“兴文”球的个数为(　 　)
A. 14 B. 13 C. 7 D. 6
3. 已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了 次试验.
4. 在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为 .

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