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第八章核心素养测评卷
立体几何初步
满分150分，限时120分钟
一、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 下列说法中，正确的是(　 　)
A. 铺得很平的一张纸是一个平面 B. 四边形一定是平面图形
C. 三点确定一个平面 D. 梯形可以确定一个平面
2. (2025·河北邯郸高一检测)△ABC的直观图△A'B'C'如图所示，其中A'B'∥x'轴，A'C'∥y'轴，且｜A'B'｜＝｜A'C'｜＝2，则△ABC的面积为(　 　)
A. 2 B. 4 C. 4 D. 8
3. (2025·福建泉州一模)已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长为(　 　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知直线a，b，c，若a∥b，且b与c相交，则a与c的位置关系是(　 　)
A. 相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 相交、平行或异面
5. 如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，M为棱AA1的中点，N为棱CC1上靠近点C的一个三等分点.若记正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，则四棱锥B－AMNC的体积为(　 　)
A. V B. V C. V D. V
6. 将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，则异面直线AB与CD所成的角的正弦值是(　 　)
A. B. C. D.
7. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，E，F分别是AB，AD，B1C1，C1D1的中点，则正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是(　 　)
A. 正方形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
8. (2025·天津滨海模拟)如图所示，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则等于(　 　)
　　
A. 2＋ B. 2－ C. (＋1) D. (－1)
　
二、 多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. (2025·河北秦皇岛模拟)已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为5，则下列关于该圆台的说法，正确的有(　 　)
A. 高为4 B. 母线与底面所成角为60°
C. 侧面积为25π D. 体积为28π
10. 如图所示，在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则(　 　)
A. PQ＝MN B. PQ∥MN
C. M，N，P，Q四点共面 D. 四边形MNPQ是梯形
11. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点.下列结论中，成立的有(　 　)
A. PE⊥AC B. PE⊥BC
C. 平面PBE⊥平面ABCD D. 平面PBE⊥平面PAD
三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为3，则这个正四棱台的体积为 .
13. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过8个顶点中的任意3点可作一个平面，其中与某条体对角线垂直的平面称为“有效垂面”，则这样的“有效垂面”共有 个.
14. 在四棱锥S－ABCD中，底面是边长为2的菱形ABCD，∠BAD＝60°，SA⊥平面ABCD，且SA＝2，E是棱BC的中点，动点P在四棱锥S－ABCD的表面运动，并且总保持PE∥平面SAC，则动点P的轨迹的周长为 .
四、 解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的截面为圆M.
(1)若OA＝1，求圆M的面积；
(2)若圆M的面积为3π，求OA的长.
16. (15分)(2025·上海高二期中)如图所示，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10.将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为h.
(1)若h＝6，求水的体积；
(2)若水的体积为水杯体积的一半，求h的值(精确到0.01).
17. (15分)如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，CB⊥AB，CB⊥PB，PB⊥AB，AD＝PA＝2BC＝2PB＝4.
(1)若F为侧棱PD的中点，证明：CF∥平面PAB.
(2)求三棱锥C－PAD的体积.
18. (17分)(2025·江苏南京阶段检测)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BD，PB⊥PD，且平面PBD⊥平面ABCD，G是棱PA上的一点(不含端点).
(1)证明：PD⊥BG.
(2)若AG＝PG，平面PBC与平面GBD的交线为l，证明：l∥平面PCD.
19. (17分)在如图所示的圆柱中，AB是底面圆的直径，PA是圆柱的母线，且PA＝AB＝2，设C(与点A，B不重合)是底面圆周上的动点.
(1)证明：BC⊥平面PAC.
(2)当二面角P－BC－A的大小为时，求点C到平面PAB的距离.
(3)将线段PB的中点记为D，点E在线段PA上，若AC＝1，求CE＋ED的最小值.(共29张PPT)
第八章核心素养测评卷
高中数学 必修 第二册
立体几何初步
满分150分，限时120分钟
一、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 下列说法中，正确的是(　D　)
A. 铺得很平的一张纸是一个平面 B. 四边形一定是平面图形
C. 三点确定一个平面 D. 梯形可以确定一个平面
【解析】 平面是一个无限延展的面，而一张纸只是一个平面图形，A错
误；若四边形的四个顶点不共面，则该四边形不是平面图形，B错误；
当三点共线时不能确定一个平面，C错误；梯形是一个平面图形，∴可
以确定一个平面，D正确.
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2. (2025·河北邯郸高一检测)△ABC的直观图△A'B'C'如图所示，其中
A'B'∥x'轴，A'C'∥y'轴，且｜A'B'｜＝｜A'C'｜＝2，则△ABC的面积
为(　B　)
A. 2 B. 4 C. 4 D. 8
【解析】 将直观图还原，则△ABC是直角三角形，其中｜AC｜＝
4，｜AB｜＝2，∴△ABC的面积为S△ABC＝ ×4×2＝4.
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3. (2025·福建泉州一模)已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱
的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长为(　B　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】 设圆柱的母线长为x，则2π·x＝4π，解得x＝2.
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4. 已知直线a，b，c，若a∥b，且b与c相交，则a与c的位置关系
是(　B　)
A. 相交 B. 相交或异面
C. 平行或异面 D. 相交、平行或异面
【解析】 ∵b与c相交，∴b与c确定一个平面，不妨设该平面为α，又
a∥b，∴a α，或a∥α，若a α，则a与c相交；若a∥α，则a与c异
面.综上，a与c的位置关系是相交或异面.
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5. 如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，M为棱AA1的中点，N为
棱CC1上靠近点C的一个三等分点.若记正三棱柱ABC－A1B1C1的体积
为V，则四棱锥B－AMNC的体积为(　B　)
A. V B. V C. V D. V
B
【解析】 设点B到AC的距离为d，则正三棱柱ABC－A1B1C1
的体积为 AC·d·AA1＝V. ∵M为棱AA1的中点，N为棱CC1
上靠近点C的一个三等分点，∴四棱锥B－AMNC的体积为
S梯形ACNM·d＝ · ·AC·d＝ × AC·d·AA1＝ V.
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6. 将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，则异面直线AB与CD
所成的角的正弦值是(　D　)
A. B. C. D.
D
【解析】 如图所示，连接BD，设AC，BD，BC的中点分别为E，
F，G，连接EF，EG，DE，BE，FG，则FG∥CD，EG∥AB，
∴∠FGE(或其补角)为异面直线AB与CD所成的角.设正方形ABCD的
边长为2，则FG＝1，EG＝1.∵二面角D－AC－B为直二面角，
BE⊥AC，DE⊥AC，∴∠DEB＝ .在Rt△DEB中，DE＝
BE＝ ，则DB＝2，易得EF＝1，则△EFG为等边三角形，
∴∠FGE＝ ，∴异面直线AB与CD所成的角的正弦值
为 sin ＝ .
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7. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，E，F分别是AB，AD，
B1C1，C1D1的中点，则正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是
(　D　)
A. 正方形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
D
【解析】 如图所示，连接EF，PQ，由EF∥PQ可以确定一个平面，设这个平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，DD1分别交于M，N两点，连接ME，MP，NF，NQ. 由正方体的性质得FN∥MP，NQ∥ME，且EF＝FN＝NQ＝PQ＝MP＝ME，∴正方体过P，
Q，E，F的截面图形的形状是正六边形.
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8. (2025·天津滨海模拟)如图所示，一个四分之一球形状的玩具储物
盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r.若是
放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则 等于
(　D　)
　 　
D
A. 2＋ B. 2－ C. (＋1) D. (－1)
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【解析】 设储物盒所在球的半径为R，如图所示，
小球的最大半径r满足(＋1)r＝R，∴r＝ ＝(－1)R，正方体
的最大棱长a满足( a)2＋ ＝R2，解得a＝ R，∴ ＝ ＝
(－1).
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二、 多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，
有选错的得0分)
9. (2025·河北秦皇岛模拟)已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母
线长为5，则下列关于该圆台的说法，正确的有(　ACD　)
A. 高为4 B. 母线与底面所成角为60°
C. 侧面积为25π D. 体积为28π
ACD
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【解析】 依题意，圆台轴截面等腰梯形的上、下底边长分别为2r1＝2，
2r2＝8，腰长l＝5，对于A，圆台的高等于圆台轴截面等腰梯形的高
h＝ ＝4，A正确；对于B，母线与底面所成角等于圆台
轴截面等腰梯形的底角θ， cos θ＝ ＝ ≠ ，B错误；对于C，圆台
的侧面积S＝π(r1＋r2)l＝25π，C正确；对于D，圆台的体积V＝ π(
＋r1r2＋ )h＝ π(1＋1×4＋16)×4＝28π，D正确.
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10. 如图所示，在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，
BC∥DE. 设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则
(　BCD　)
A. PQ＝ MN
B. PQ∥MN
C. M，N，P，Q四点共面
D. 四边形MNPQ是梯形
BCD
【解析】 由题意知PQ＝ DE，且DE≠MN，∴PQ≠ MN，A错
误；又PQ∥DE，DE∥MN，∴PQ∥MN，又PQ≠MN，∴M，
N，P，Q四点共面，且四边形MNPQ是梯形.
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11. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA
＝PD，E为AD的中点.下列结论中，成立的有(　ABC　)
A. PE⊥AC B. PE⊥BC
C. 平面PBE⊥平面ABCD D. 平面PBE⊥平面PAD
ABC
【解析】 ∵PA＝PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD. 又平
面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE
平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，又AC，BC 平面
ABCD，∴PE⊥AC，PE⊥BC，∴A，B成立；又PE
平面PBE，∴平面PBE⊥平面ABCD，∴C成立；若平面PBE⊥平面PAD，且PE⊥AD，而平面PBE∩平面PAD＝PE，AD 平面PAD，∴AD⊥平面PBE，又BE 平面PBE，则AD⊥BE，但此关系不一定成立，D错误.
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三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为3，
则这个正四棱台的体积为 .
【解析】 由题意，该正四棱台上底面的对角线长为2 ，下底面的对
角线长为4 ，侧棱长为3，∴正四棱台的高为 ＝
，∴这个正四棱台的体积为 ×(4＋ ＋16)× ＝ .
　
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13. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过8个顶点中的任意3点可作一个
平面，其中与某条体对角线垂直的平面称为“有效垂面”，则这样的
“有效垂面”共有 个.
【解析】 正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线有AC1，BD1，B1D，
A1C，共4条.以AC1为例，与AC1垂直的“有效垂面”有2个，分别为平
面B1CD1和平面A1BD. 类似地，其他3条体对角线也各有2个“有效垂
面”，∴共有8个“有效垂面”.
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14. 在四棱锥S－ABCD中，底面是边长为2 的菱形ABCD，∠BAD
＝60°，SA⊥平面ABCD，且SA＝2 ，E是棱BC的中点，动点P
在四棱锥S－ABCD的表面运动，并且总保持PE∥平面SAC，则动点
P的轨迹的周长为 .
3 ＋ 　
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【解析】 取AB的中点F，SB的中点G，连接EF，FG，GE. ∵E，
F分别是BC，BA的中点，∴EF∥AC，又EF 平面SAC，AC 平面
SAC，∴EF∥平面SAC，同理GF∥平面SAC，又EF∩GF＝F，
EF，GF 平面EFG，∴平面EFG∥平面SAC，∴平面EFG内的任意
直线平行于平面SAC，则PE 平面EFG. 又点P在四棱锥S－ABCD
的表面运动，∴动点P的轨迹周长即为△EFG的周长.∵四边形ABCD
是边长为2 的菱形且∠BAD＝60°，∴AC＝2 ，
则EF＝ ，又SA＝2 ，∴GF＝ ，SC＝
＝4 ，则GE＝2 ，∴△EFG的周长
为EF＋GF＋GE＝ ＋3 .
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四、 解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
15. (13分)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的截面
为圆M.
(1)若OA＝1，求圆M的面积；
解：(1)∵OA＝1，∴OM＝ ，∴圆M的半径为 ＝
＝ ，∴圆M的面积为 ×π＝ .
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(2)若圆M的面积为3π，求OA的长.
解：(2)∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径为 ，
则OA2＝ ＋3，即 OA2＝3，可得OA＝2.
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16. (15分)(2025·上海高二期中)如图所示，一个倒立的圆锥形水杯，底
面半径为5，高为10.将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为h.
(1)若h＝6，求水的体积；
解：(1)设水形成的圆锥的底面半径为r，
如图所示，由相似性可知 ＝ ＝ ，则r＝3，
V＝ πr2h＝ π×32×6＝18π，∴水的体积为18π.
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(2)若水的体积为水杯体积的一半，求h的值(精确到0.01).
解：(2)由相似性可得 ＝ ，则r＝ ， π h＝
× π×52×10，
化简得h3＝500，解得h＝ ≈7.94，
∴h约为7.94.
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17. (15分)如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，
AD∥BC，CB⊥AB，CB⊥PB，PB⊥AB，AD＝PA＝2BC＝
2PB＝4.
(1)若F为侧棱PD的中点，证明：CF∥平面PAB.
(1)证明：如图所示，取PA的中点M，连接BM，FM.
在△PAD中，FM∥DA，FM＝ DA，在梯形ABCD中，
BC∥DA，BC＝ DA，
∴FM∥BC，FM＝BC，∴四边形FMBC是平行四边形，
∴BM∥CF，而BM 平面PAB，CF 平面PAB，
∴CF∥平面PAB.
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(2)求三棱锥C－PAD的体积.
(2)解：∵CB⊥PB，AB⊥PB，而AB∩CB＝B，
∴PB⊥平面ABCD，即PB为三棱锥P－ACD的高.
∵PB⊥AB，PA＝2PB＝4，∴AB＝2 .
又S△ACD＝ DA·AB＝ ×4×2 ＝4 ，
∴VC－PAD＝VP－ACD＝ S△ACD·PB＝ ×4 ×2＝ .
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18. (17分)(2025·江苏南京阶段检测)如图所示，在四棱锥P－ABCD
中，四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BD，PB⊥PD，且平面
PBD⊥平面ABCD，G是棱PA上的一点(不含端点).
(1)证明：PD⊥BG.
(1)证明：∵平面PBD⊥平面ABCD，
平面PBD∩平面ABCD＝BD，AB⊥BD，AB 平面ABCD，
∴AB⊥平面PBD，又PD 平面PBD，∴AB⊥PD. 又PB⊥PD，
PB∩AB＝B，PB，AB 平面PAB，∴PD⊥平面PAB，
又BG 平面PAB，∴PD⊥BG.
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(2)若AG＝PG，平面PBC与平面GBD的交线为l，证明：l∥平面
PCD.
(2)解：连接AC，记AC∩BD＝O，连接GO，如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，
又AG＝PG，∴GO∥PC，
又GO 平面GBD，PC 平面GBD，∴PC∥平面GBD，
又平面PBC∩ 平面GBD＝l，PC 平面PBC，
∴PC∥l，又PC 平面PCD，l 平面PCD，
∴l∥平面PCD.
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19. (17分)在如图所示的圆柱中，AB是底面圆的直径，PA是圆柱的母
线，且PA＝AB＝2，设C(与点A，B不重合)是底面圆周上的动点.
(1)证明：BC⊥平面PAC.
(1)证明：由AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上
除A，B外的点，得AC⊥BC，
而PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，则PA⊥BC，
又PA∩AC＝P，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
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(2)当二面角P－BC－A的大小为 时，求点C到平面PAB的距离.
(2)解：由(1)知，BC⊥平面PAC，PA 平面ABC，
则PA⊥BC，而AC⊥BC，于是∠PCA为二面角P－
BC－A的平面角，∠PCA＝ ，在△PAC中，PA＝2，
AC＝ ，设点C到平面PAB的距离为d，由VC－PAB
＝VP－ABC，得 S△PAB·d＝ S△ABC·PA，
即 PA·AB·d＝ AC·BC·PA，则d＝ ＝ ＝ ，
∴点C到平面PAB的距离为 .
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(3)将线段PB的中点记为D，点E在线段PA上，若AC＝1，求CE＋
ED的最小值.
(3)解：延长BA至点F，使得AF＝1，则EF＝ ＝CE，
∴CE＋ED＝FE＋ED≥DF，当且仅当E为FD与PA的交点时取等
号，取AB的中点O，连接OD，由D是线段PB的中点，
得DO∥PA，则DO⊥平面ABC，
∵AB 平面ABC，∴DO⊥AB，又DO＝ PA＝1，
则FD＝ ＝ ，∴CE＋ED的最小值是 .
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19第八章核心素养测评卷
立体几何初步
满分150分，限时120分钟
一、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 下列说法中，正确的是(　D　)
A. 铺得很平的一张纸是一个平面 B. 四边形一定是平面图形
C. 三点确定一个平面 D. 梯形可以确定一个平面
【解析】 平面是一个无限延展的面，而一张纸只是一个平面图形，A错误；若四边形的四个顶点不共面，则该四边形不是平面图形，B错误；当三点共线时不能确定一个平面，C错误；梯形是一个平面图形，∴可以确定一个平面，D正确.
2. (2025·河北邯郸高一检测)△ABC的直观图△A'B'C'如图所示，其中A'B'∥x'轴，A'C'∥y'轴，且｜A'B'｜＝｜A'C'｜＝2，则△ABC的面积为(　B　)
A. 2 B. 4 C. 4 D. 8
【解析】 将直观图还原，则△ABC是直角三角形，其中｜AC｜＝4，｜AB｜＝2，∴△ABC的面积为S△ABC＝×4×2＝4.
3. (2025·福建泉州一模)已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长为(　B　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】 设圆柱的母线长为x，则2π·x＝4π，解得x＝2.
4. 已知直线a，b，c，若a∥b，且b与c相交，则a与c的位置关系是(　B　)
A. 相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 相交、平行或异面
【解析】 ∵b与c相交，∴b与c确定一个平面，不妨设该平面为α，又a∥b，∴a α，或a∥α，若a α，则a与c相交；若a∥α，则a与c异面.综上，a与c的位置关系是相交或异面.
5. 如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，M为棱AA1的中点，N为棱CC1上靠近点C的一个三等分点.若记正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，则四棱锥B－AMNC的体积为(　B　)
A. V B. V C. V D. V
【解析】 设点B到AC的距离为d，则正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为AC·d·AA1＝V.∵M为棱AA1的中点，N为棱CC1上靠近点C的一个三等分点，∴四棱锥B－AMNC的体积为S梯形ACNM·d＝··AC·d＝×AC·d·AA1＝V.
6. 将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，则异面直线AB与CD所成的角的正弦值是(　D　)
A. B. C. D.
【解析】 如图所示，连接BD，设AC，BD，BC的中点分别为E，F，G，连接EF，EG，DE，BE，FG，则FG∥CD，EG∥AB，∴∠FGE(或其补角)为异面直线AB与CD所成的角.设正方形ABCD的边长为2，则FG＝1，EG＝1.∵二面角D－AC－B为直二面角，BE⊥AC，DE⊥AC，∴∠DEB＝.在Rt△DEB中，DE＝
BE＝，则DB＝2，易得EF＝1，则△EFG为等边三角形，∴∠FGE＝，
∴异面直线AB与CD所成的角的正弦值为sin ＝.
7. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，E，F分别是AB，AD，B1C1，C1D1的中点，则正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是(　D　)
A. 正方形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
【解析】 如图所示，连接EF，PQ，由EF∥PQ可以确定一个平面，设这个平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，DD1分别交于M，N两点，连接ME，MP，NF，NQ. 由正方体的性质得FN∥MP，NQ∥ME，且EF＝FN＝NQ＝PQ＝MP＝ME，∴正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是正六边形.
8. (2025·天津滨海模拟)如图所示，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则等于(　D　)
　　
A. 2＋ B. 2－ C. (＋1) D. (－1)
【解析】 设储物盒所在球的半径为R，如图所示，
　
小球的最大半径r满足(＋1)r＝R，∴r＝＝(－1)R，正方体的最大棱长a满足(a)2＋＝R2，解得a＝R，∴＝＝(－1).
二、 多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. (2025·河北秦皇岛模拟)已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为5，则下列关于该圆台的说法，正确的有(　ACD　)
A. 高为4 B. 母线与底面所成角为60°
C. 侧面积为25π D. 体积为28π
【解析】 依题意，圆台轴截面等腰梯形的上、下底边长分别为2r1＝2，2r2＝8，腰长l＝5，对于A，圆台的高等于圆台轴截面等腰梯形的高h＝＝4，A正确；对于B，母线与底面所成角等于圆台轴截面等腰梯形的底角θ，cos θ＝＝≠，B错误；对于C，圆台的侧面积S＝π(r1＋r2)l＝25π，C正确；对于D，圆台的体积V＝π(＋r1r2＋)h＝π(1＋1×4＋16)×4＝28π，D正确.
10. 如图所示，在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则(　BCD　)
A. PQ＝MN B. PQ∥MN
C. M，N，P，Q四点共面 D. 四边形MNPQ是梯形
【解析】 由题意知PQ＝DE，且DE≠MN，∴PQ≠MN，A错误；又PQ∥DE，DE∥MN，∴PQ∥MN，又PQ≠MN，∴M，N，P，Q四点共面，且四边形MNPQ是梯形.
11. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点.下列结论中，成立的有(　ABC　)
A. PE⊥AC B. PE⊥BC
C. 平面PBE⊥平面ABCD D. 平面PBE⊥平面PAD
【解析】 ∵PA＝PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，又AC，BC 平面ABCD，∴PE⊥AC，PE⊥BC，∴A，B成立；又PE 平面PBE，∴平面PBE⊥平面ABCD，∴C成立；若平面PBE⊥平面PAD，且PE⊥AD，而平面PBE∩平面PAD＝PE，AD 平面PAD，∴AD⊥平面PBE，又BE 平面PBE，则AD⊥BE，但此关系不一定成立，D错误.
三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为3，则这个正四棱台的体积为　　.
【解析】 由题意，该正四棱台上底面的对角线长为2，下底面的对角线长为4，侧棱长为3，∴正四棱台的高为＝，∴这个正四棱台的体积为×(4＋＋16)×＝.
13. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过8个顶点中的任意3点可作一个平面，其中与某条体对角线垂直的平面称为“有效垂面”，则这样的“有效垂面”共有　8　个.
【解析】 正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线有AC1，BD1，B1D，A1C，共4条.以AC1为例，与AC1垂直的“有效垂面”有2个，分别为平面B1CD1和平面A1BD. 类似地，其他3条体对角线也各有2个“有效垂面”，∴共有8个“有效垂面”.
14. 在四棱锥S－ABCD中，底面是边长为2的菱形ABCD，∠BAD＝60°，SA⊥平面ABCD，且SA＝2，E是棱BC的中点，动点P在四棱锥S－ABCD的表面运动，并且总保持PE∥平面SAC，则动点P的轨迹的周长为　3＋　.
【解析】 取AB的中点F，SB的中点G，连接EF，FG，GE.∵E，F分别是BC，BA的中点，∴EF∥AC，又EF 平面SAC，AC 平面SAC，∴EF∥平面SAC，同理GF∥平面SAC，又EF∩GF＝F，EF，GF 平面EFG，∴平面EFG∥平面SAC，∴平面EFG内的任意直线平行于平面SAC，则PE 平面EFG.又点P在四棱锥S－ABCD的表面运动，∴动点P的轨迹周长即为△EFG的周长.∵四边形ABCD是边长为2的菱形且∠BAD＝60°，∴AC＝2，则EF＝，又SA＝2，∴GF＝，SC＝＝4，则GE＝2，∴△EFG的周长为
EF＋GF＋GE＝＋3.
四、 解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的截面为圆M.
(1)若OA＝1，求圆M的面积；
解：(1)∵OA＝1，∴OM＝，∴圆M的半径为＝＝，
∴圆M的面积为×π＝.
(2)若圆M的面积为3π，求OA的长.
解：(2)∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径为，
则OA2＝＋3，即OA2＝3，可得OA＝2.
16. (15分)(2025·上海高二期中)如图所示，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10.将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为h.
(1)若h＝6，求水的体积；
解：(1)设水形成的圆锥的底面半径为r，如图所示，由相似性可知＝＝，
则r＝3，
V＝πr2h＝π×32×6＝18π，∴水的体积为18π.
(2)若水的体积为水杯体积的一半，求h的值(精确到0.01).
解：(2)由相似性可得＝，则r＝，πh＝×π×52×10，化简得h3＝500，解得h＝≈7.94，
∴h约为7.94.
17. (15分)如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，CB⊥AB，CB⊥PB，PB⊥AB，AD＝PA＝2BC＝2PB＝4.
(1)若F为侧棱PD的中点，证明：CF∥平面PAB.
(1)证明：如图所示，取PA的中点M，连接BM，FM.
在△PAD中，FM∥DA，FM＝DA，在梯形ABCD中，BC∥DA，BC＝DA，
∴FM∥BC，FM＝BC，∴四边形FMBC是平行四边形，∴BM∥CF，而BM 平面PAB，CF 平面PAB，∴CF∥平面PAB.
(2)求三棱锥C－PAD的体积.
(2)解：∵CB⊥PB，AB⊥PB，而AB∩CB＝B，
∴PB⊥平面ABCD，即PB为三棱锥P－ACD的高.
∵PB⊥AB，PA＝2PB＝4，∴AB＝2.
又S△ACD＝DA·AB＝×4×2＝4，
∴VC－PAD＝VP－ACD＝S△ACD·PB＝×4×2＝.
18. (17分)(2025·江苏南京阶段检测)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BD，PB⊥PD，且平面PBD⊥平面ABCD，G是棱PA上的一点(不含端点).
(1)证明：PD⊥BG.
(1)证明：∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AB⊥BD，AB 平面ABCD，
∴AB⊥平面PBD，又PD 平面PBD，∴AB⊥PD.又PB⊥PD，PB∩AB＝B，PB，AB 平面PAB，∴PD⊥平面PAB，
又BG 平面PAB，∴PD⊥BG.
(2)若AG＝PG，平面PBC与平面GBD的交线为l，证明：l∥平面PCD.
(2)解：连接AC，记AC∩BD＝O，连接GO，如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又AG＝PG，∴GO∥PC，
又GO 平面GBD，PC 平面GBD，∴PC∥平面GBD，
又平面PBC∩ 平面GBD＝l，PC 平面PBC，∴PC∥l，
又PC 平面PCD，l 平面PCD，∴l∥平面PCD.
19. (17分)在如图所示的圆柱中，AB是底面圆的直径，PA是圆柱的母线，且PA＝AB＝2，设C(与点A，B不重合)是底面圆周上的动点.
(1)证明：BC⊥平面PAC.
(1)证明：由AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上除A，B外的点，得AC⊥BC，
而PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，则PA⊥BC，又PA∩AC＝P，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
(2)当二面角P－BC－A的大小为时，求点C到平面PAB的距离.
(2)解：由(1)知，BC⊥平面PAC，PA 平面ABC，则PA⊥BC，而AC⊥BC，
于是∠PCA为二面角P－BC－A的平面角，∠PCA＝，在△PAC中，PA＝2，
AC＝，
设点C到平面PAB的距离为d，由VC－PAB＝VP－ABC，得S△PAB·d＝S△ABC·PA，
即PA·AB·d＝AC·BC·PA，则d＝＝＝，
∴点C到平面PAB的距离为.
(3)将线段PB的中点记为D，点E在线段PA上，若AC＝1，求CE＋ED的最小值.
(3)解：延长BA至点F，使得AF＝1，则EF＝＝CE，
∴CE＋ED＝FE＋ED≥DF，当且仅当E为FD与PA的交点时取等号，
取AB的中点O，连接OD，由D是线段PB的中点，得DO∥PA，则DO⊥平面ABC，
∵AB 平面ABC，∴DO⊥AB，又DO＝PA＝1，则FD＝＝，∴CE＋ED的最小值是.

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