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(共35张PPT)
第九章核心素养测评卷
高中数学 必修 第二册
统　计
满分150分，限时120分钟
一、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1. (2025·江西宜春高一期末)某班级有40名学生，班主任用不放回的简
单随机抽样的方法从这40名学生中抽取5人进行家访，则同学a被抽到
的可能性为(　D　)
A. B. C. D.
【解析】 总体有40个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为 ＝ .
D
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2. 关于用样本频率分布估计总体频率分布，下列说法中正确的是
(　C　)
A. 总体容量越大，估计得越精确
B. 总体容量越小，估计得越精确
C. 样本容量越大，估计得越精确
D. 样本容量越小，估计得越精确
【解析】 在用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，估计得是否
准确与总体的数量无关，只与样本容量在总体中所占的比例有关，故样
本容量越大，估计得越准确.
C
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3. (2025·辽宁葫芦岛高一检测)某科研团队对某产品的一项新功能进行
了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记.若
8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后
的数据，下列结论中，正确的是(　C　)
A. 75％分位数为1 B. 平均数为1.2 C. 方差为1 D. 极差为4
C
【解析】 将8次测试结果标记后得到数据0，0，0，1，1，1，2，3，对
于A，∵8×75％＝6，∴数据的75％分位数为 ＝1.5，A错误；对于
B，平均数为 (0×3＋1×3＋2＋3)＝1，B错误；对于C，方差为
×[3×(0－1)2＋3×(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝1，C正确；对于D，极
差为3－0＝3，D错误.
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4. (2025·山东威海高一期末)已知数据87，89，90，90，91，92，93，
94，则(　C　)
A. 极差为6 B. 中位数为90
C. 70％分位数为92 D. 平均数为90.25
【解析】 由题意可知，数据的极差为94－87＝7，A错误；数据的中位
数为 ＝90.5，B错误；∵8×70％＝5.6，∴数据的70％分位数为
第6个数92，C正确；∵数据的平均数为90＋ (－3－1＋0＋0＋1＋2＋
3＋4)＝90.75，D错误.
C
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5. (2025·湖北鄂州一模)随着春节申遗成功，国际社会对中国文化的理
解和认同进一步加深.某学校为了解学生对春节习俗的认知情况，随机
抽取100名学生进行了测试，将他们的成绩进行适当分组后，画出的频
率分布直方图如图所示，则下列数据中，一定不位于区间[80，85)内的
是(　B　)
A. 众数 B. 第70百分位数
C. 中位数 D. 平均数
B
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【解析】 对于A，众数为 ＝82.5∈[80，85)；对于B，C，x＝
＝0.044，设中位数、第70百分位数分别
为m，n，注意到(0.024＋0.036)×5＝0.3＜0.5＜0.3＋0.060×5＝
0.6＜0.7＜0.6＋0.044×5＝0.82，设0.060×(m－80)＝0.5－0.3，
0.044×(n－85)＝0.7－0.6，解得m＝83 ∈[80，85)，n＝87 [80，
85)；对于D，设平均数为z，则z＝72.5×0.12＋77.5×0.18＋
82.5×0.3＋87.5×0.22＋92.5×0.12＋97.5×0.06＝83.6∈[80，85).
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6. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200
件，400件，300件，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法
从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取
的件数为(　B　)
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
【解析】 由题意，四种产品的产量之和为200＋400＋300＋100＝
1 000(件)，则丙种型号的产品产量所占的比例为 ＝ ，∴采用分
层抽样的方法时，应从丙种型号的产品中抽取60× ＝18(件).
B
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7. 若数据x1，x2，…，x10的平均数为3，方差为4，则下列说法中，错
误的是(　B　)
A. 数据4x1＋1，4x2＋1，…，4x10＋1的平均数为13
B. 数据3x1，3x2，…，3x10的方差为12
C.
D. ＝130
B
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【解析】 依题意， A正确；对于B，
∴数据3x1，3x2，…，3x10的方差
为 B错误；
对于C， C正确；对于D， 解得 D正确.
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8. 建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1 000
名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1 000名高一年级学
生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中
男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分
别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是(　C　)
A. 7 B. 8 C. 12 D. 13
C
【解析】 1 000名高一学生，男生有600人，则女生有400人，∴抽取的
100人中，男生有60人，女生有40人，总体平均数为 ×5＋ ×
10＝7，∴总体方差为 ×[6＋(5－7)2]＋ ×[6＋(10－7)2]＝12.
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二、 多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，
有选错的得0分)
9. (2025·江西南昌高一期末)2024年10月30日，中国神舟十九号载人飞
船成功发射.为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行
一次航天知识竞赛，随机抽取得到6名同学的分数(满分30分，单位：
分)：20，22，24，24，26，28，则下列关于这组数据的说法，正确的
有(　ABD　)
A. 极差为8 B. 平均数为24 C. 80％分位数为25 D. 众数为24
ABD
【解析】 极差为28－20＝8，A正确；平均数为 ＝
24，B正确；6×80％＝4.8，则80％分位数是第5个数据26，C错误；众
数为24，D正确.
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10. (2025·陕西西安高一期末)若有10个样本数据x1，x2，…，x10，由
yk＝xk＋3(k＝1，2，…，10)生成一组新的数据y1，y2，…，y10，则这
组新数据与原数据相比，一定不相等的量有(　BC　)
A. 极差 B. 众数 C. 中位数 D. 标准差
BC
【解析】 对于A，假设原数据中，x1最小，而x10最大，其极差为x10－
x1，新数据中，最小的为x1＋3，最大的为x10＋3，其极差为x10－x1，
两者相等，A错误；对于B，设原数据的众数为m，则新数据的众数为
m＋3，两者一定不相等，B正确；对于C，设原数据的中位数为n，则
新数据的中位数为n＋3，两者一定不相等，C正确；对于D，设原数据
的方差为s2，则新数据的方差为12×s2＝s2，则两组数据的方差相等，
∴其标准差也相等，D错误.
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11. (2025·辽宁锦州高一期末)某校为了鼓励同学们利用课余时间进行阅
读，开展了读书周活动.如图所示为某班甲、乙两名同学在一周内每天
阅读时间的折线图，根据该折线图，下列说法中，正确的有(　ABD　)
A. 乙同学的阅读时间更加稳定
B. 甲同学的平均阅读时间等于乙同学的
平均阅读时间
C. 乙同学阅读时间的极差为20
D. 甲同学阅读时间的75％分位数为25
ABD
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【解析】 对于B，甲同学在一周内每天的阅读时间依次为20，10，25，
10，30，20，25，则甲同学阅读时间的平均数为
＝20，乙同学在一周内每天阅读时间依次为20，15，25，20，20，15，
25，则乙同学阅读时间的平均数为 ＝20，则甲同
学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间，B正确；
对于A，甲同学阅读时间的方差为 [(20－20)2＋(10－20)2＋(25－20)2＋
(10－20)2＋(30－20)2＋(20－20)2＋(25－20)2]＝50，乙同学阅读时间的
方差为 [(20－20)2＋(15－20)2＋(25－20)2＋(20－20)2＋(20－20)2＋(15
－20)2＋(25－20)2]＝ ，则甲同学阅读时间的方差大于乙同学阅读时
间的方差，
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∴乙同学的阅读时间更加稳定，A正确；对于C，乙同学阅读时间的极
差为25－15＝10，C错误；
对于D，将甲同学的阅读时间按从小到大的顺序排列为10，10，20，20，
25，25，30，∵7×75％＝5.25，∴甲同学阅读时间的75％分位数为25，
D正确.
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三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 我国古代数学有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，
南乡五千四百人，凡三乡，发役五百.用分层随机抽样的方法从这三个
乡中抽出500人去服役，则西乡应抽 人.
【解析】 由题意得9 000× ＝9 000× ＝200(人).
200　
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13. (2025·江西抚州高一检测)某中职学校为了解全校学生国庆假期期间
阅读古典名著的时间的情况，抽查了1 000名学生，将他们的阅读时间
进行分组[2， 4)，[4， 6)，[6， 8)，[8， 10)，[10， 12]，根据抽样结果
绘成的频率分布直方图如图所示，则实数a＝ .
0.14　
【解析】 由图可得各分组频率之和为2×(0.04＋0.12＋0.15＋a＋0.05)＝2×(0.36＋a)，
∵各分组频率之和为1，∴2×(0.36＋a)＝1 a＝0.14.
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14. (2025·北京高一开学考试)甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温(单
位：℃)如下表所示：
日期 某地 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
甲地 10 14 16 15 11 13 12
乙地 18 19 15 16 17 14 a
记这7天甲地每天最低气温的标准差为s1，乙地每天最低气温的标准差
为s2.根据上述信息，若s1＝s2，则a的值可以为 (写
出一个符合题意的答案即可).
20(答案不唯一)　
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【解析】 ＝ ＝13， ＝
＝ ，7 ＝(10－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2＋(15－13)2＋(11－13)2
＋(13－13)2＋(12－13)2＝28，则7 ＝ ＋ ＋
＋ ＋ ＋ ＋
＝28，化简得(a－20)(a－13)＝0，解得a＝20，或a＝13，
∴a的值可以为20或13.
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四、 解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
15. (13分)某校通过按比例分配的分层随机抽样的方法从
高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级抽取人
数的比例如图中扇形面积之比所示，已知高二年级共有学
生1 200人，并从中抽取了40人.
(1)该校三个年级的学生总人数为多少？
解：(1)由题图知，高二年级对应的角度为360°－150°－90°＝120°.
设该校三个年级的学生总数为n，则 ＝ ，解得n＝3 600，∴该校三个年级的学生总人数为3 600.
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(2)三个年级分别抽取了多少人？
解：(2)高一、高二、高三年级的学生人数之比为150∶120∶90＝5∶4∶3，
∵从高二年级抽取了40人，∴从高一、高二、高三年级所抽取的人数分
别为50，40，30.
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16. (15分)甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取5次成绩(满分10分，单位：分)，如表所示.
甲的射击成绩 10 7 8 10 10
乙的射击成绩 10 6 10 10 9
(1)分别求出甲、乙两名运动员5次射击成绩的平均数与方差；
解：(1)甲运动员5次射击成绩的平均数为 ＝ ×(10＋7＋8＋10＋10)＝9；
乙运动员5次射击成绩的平均数为 ＝ ×(10＋6＋10＋10＋9)＝9；
甲运动员5次射击成绩的方差为 ＝ ×[3×(10－9)2＋(7－9)2＋(8－9)2]＝ ；
乙运动员5次射击成绩的方差为 ＝ ×[3×(10－9)2＋(6－9)2＋(9－9)2]＝ .
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(2)判断哪位运动员的射击成绩更好？
解：(2)∵甲、乙两名运动员的平均成绩相同，方差 ＜ ，
∴甲运动员的射击成绩更稳定，即甲运动员的射击成绩更好.
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17. (15分)(2025·甘肃平凉开学考试)为进一步弘扬中华优秀传统文化，
提升诗词爱好者的素养和创作水平，形成浓厚的国学和诗词学习氛围，
2024年9月19日，某市首届诗词大赛决赛在某剧院成功举行.为了解参赛
者对此次活动的满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查
了n名参赛者，该小组将收集到的参赛者满意度分值数据(满分100分，
单位：分)统计如下表所示.
分数 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 5 10 20 b 35
频率 0.05 a 0.20 0.30 0.35
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(1)分别求a，b，n的值，并在图中画出频率分布直方图；
解：(1)由0.05＋a＋0.20＋0.30＋0.35＝1，解得a＝0.10，
n＝ ＝100，b＝100×0.30＝30.
而每组的频率/组距分别为0.005，0.010，
0.020，0.030，0.035，
∴频率分布直方图如图所示.
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(2)估计n名参赛者满意度分值的众数、平均数和第75百分位数(结果保
留整数).
解：(2)由题意，众数为频率分布直方图中最高小矩形所在区间的中
点，即众数为95分；平均值为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的
面积的乘积之和，即55×0.05＋65×0.10＋75×0.20＋85×0.30＋
95×0.35＝83，∴估计平均值为83分；
前四组频率和为0.05＋0.10＋0.20＋0.30＝0.65＜0.75，
∴第75百分位数在[90，100]内，设第75百分位数为x，则0.65＋
(x－90)×0.035＝0.75，解得x≈93，∴估计第75百分位数是93分.
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18. (17分)为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，学校组织A，
B两名同学在学校学习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试，
二人各加工的10个零件的相关数据如下面的图表所示(单位：mm).
数据 平均数 方差 完全符合要
求的个数
A 20 0.026 2
B 20 5
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些？
解：(1)由统计图表知，A与B两名同学成绩的平均数相同，B同学加工
的零件中完全符合要求的个数较多，由此认为B同学的成绩好些.
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(2)计算出 的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些？
解：(2)∵ ＝ ×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋
(20.2－20)2]＝0.008，且 ＝0.026.
∴ ＞ ，在平均数相同的情况下，B同学的波动小，∴B同学的成
绩好些.
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(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10的实际情况，
你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由.
解：(3)从题干图中折线走势可知，尽管A同学的成绩前面起伏大，但后
来逐渐稳定，误差小，预测A同学的潜力大，而B同学前期稳定，后面
起伏变大，潜力小，∴选派A同学去参赛较合适.
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19. (17分)研究小组经过研究发现某种病毒的感染者与未感染者的某项
医学指标有明显差异，经过大量调查，得到感染者和未感染者该指标的
频率分布直方图如图所示.
感染者 未感染者
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利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的
人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是
将感染者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未感染者判定为阳
性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作
为相应事件发生的概率.
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(1)求频率分布直方图中a的值及未感染者该指标的中位数；
解：(1)在感染者该指标的频率分布直方图中，各小矩形的面积之和为
1，∴10×(0.001＋a＋0.017＋0.018＋0.019＋0.020＋0.020)＝1，解
得a＝0.005，
在未感染者该指标的频率分布直方图中，前两个小矩形的面积之和为
10×2×0.019＝0.38＜0.5，
前三个小矩形的面积之和为10×2×0.019＋10×0.020＝0.58＞0.5，
∴未感染者该指标的中位数在第三组，且为 ＋60＝66.
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(2)当漏诊率p(c)＝0.5％时，求临界值c和误诊率q(c)；
解：(2)依题可知，在感染者该指标的频率分布直方图中，第一个小矩
形的面积为10×0.001＞0.5％，
∴90＜c＜100，
∴(c－90)×0.001＝0.5％，解得c＝95，
q(c)＝0.006×(100－95)＋10×0.001＝0.040＝4％.
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(3)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[90，110]时，求f(c)的解析式，并
求f(c)在区间[90，110]上的最小值.
解：(3)当c∈[90，100]时，f(c)＝p(c)＋q(c)＝(c－90)×0.001＋(100－
c)×0.006＋10×0.001＝－0.005c＋0.52≥0.02；
当c∈(100，110]时，f(c)＝p(c)＋q(c)＝10×0.001＋(c－100)×
0.005＋(110－c)×0.001＝0.004c－0.38＞0.02，
∴f(c)＝
∴f(c)在区间[90，110]上的最小值是0.02.
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19第九章核心素养测评卷
统　计
满分150分，限时120分钟
一、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. (2025·江西宜春高一期末)某班级有40名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这40名学生中抽取5人进行家访，则同学a被抽到的可能性为(　 　)
A. B. C. D.
2. 关于用样本频率分布估计总体频率分布，下列说法中正确的是(　 　)
A. 总体容量越大，估计得越精确
B. 总体容量越小，估计得越精确
C. 样本容量越大，估计得越精确
D. 样本容量越小，估计得越精确
3. (2025·辽宁葫芦岛高一检测)某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记.若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论中，正确的是(　 　)
A. 75％分位数为1 B. 平均数为1.2
C. 方差为1 D. 极差为4
4. (2025·山东威海高一期末)已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则(　 　)
A. 极差为6 B. 中位数为90
C. 70％分位数为92 D. 平均数为90.25
5. (2025·湖北鄂州一模)随着春节申遗成功，国际社会对中国文化的理解和认同进一步加深.某学校为了解学生对春节习俗的认知情况，随机抽取100名学生进行了测试，将他们的成绩进行适当分组后，画出的频率分布直方图如图所示，则下列数据中，一定不位于区间[80，85)内的是(　 　)
A. 众数 B. 第70百分位数 C. 中位数 D. 平均数
6. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200件，400件，300件，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取的件数为(　 　)
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
7. 若数据x1，x2，…，x10的平均数为3，方差为4，则下列说法中，错误的是(　 　)
A. 数据4x1＋1，4x2＋1，…，4x10＋1的平均数为13
B. 数据3x1，3x2，…，3x10的方差为12
C.
D. ＝130
8. 建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1 000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1 000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是(　 　)
A. 7 B. 8 C. 12 D. 13
二、 多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. (2025·江西南昌高一期末)2024年10月30日，中国神舟十九号载人飞船成功发射.为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行一次航天知识竞赛，随机抽取得到6名同学的分数(满分30分，单位：分)：20，22，24，24，26，28，则下列关于这组数据的说法，正确的有(　 　)
A. 极差为8 B. 平均数为24
C. 80％分位数为25 D. 众数为24
10. (2025·陕西西安高一期末)若有10个样本数据x1，x2，…，x10，由yk＝xk＋3(k＝1，2，…，10)生成一组新的数据y1，y2，…，y10，则这组新数据与原数据相比，一定不相等的量有(　 　)
A. 极差 B. 众数 C. 中位数 D. 标准差
11. (2025·辽宁锦州高一期末)某校为了鼓励同学们利用课余时间进行阅读，开展了读书周活动.如图所示为某班甲、乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列说法中，正确的有(　 　)
A. 乙同学的阅读时间更加稳定
B. 甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间
C. 乙同学阅读时间的极差为20
D. 甲同学阅读时间的75％分位数为25
三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 我国古代数学有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百.用分层随机抽样的方法从这三个乡中抽出500人去服役，则西乡应抽 人.
13. (2025·江西抚州高一检测)某中职学校为了解全校学生国庆假期期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1 000名学生，将他们的阅读时间进行分组[2， 4)，[4， 6)，[6， 8)，[8， 10)，[10， 12]，根据抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示，则实数a＝ .
14. (2025·北京高一开学考试)甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温(单位：℃)如下表所示：
日期 某地 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
甲地 10 14 16 15 11 13 12
乙地 18 19 15 16 17 14 a
记这7天甲地每天最低气温的标准差为s1，乙地每天最低气温的标准差为s2.根据上述信息，若s1＝s2，则a的值可以为 (写出一个符合题意的答案即可).
四、 解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)某校通过按比例分配的分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级抽取人数的比例如图中扇形面积之比所示，已知高二年级共有学生1 200人，并从中抽取了40人.
(1)该校三个年级的学生总人数为多少？
(2)三个年级分别抽取了多少人？
16. (15分)甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取5次成绩(满分10分，单位：分)，如表所示.
甲的射击成绩 10 7 8 10 10
乙的射击成绩 10 6 10 10 9
(1)分别求出甲、乙两名运动员5次射击成绩的平均数与方差；
(2)判断哪位运动员的射击成绩更好？
17. (15分)(2025·甘肃平凉开学考试)为进一步弘扬中华优秀传统文化，提升诗词爱好者的素养和创作水平，形成浓厚的国学和诗词学习氛围，2024年9月19日，某市首届诗词大赛决赛在某剧院成功举行.为了解参赛者对此次活动的满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了n名参赛者，该小组将收集到的参赛者满意度分值数据(满分100分，单位：分)统计如下表所示.
分数 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 5 10 20 b 35
频率 0.05 a 0.20 0.30 0.35
(1)分别求a，b，n的值，并在图中画出频率分布直方图；
(2)估计n名参赛者满意度分值的众数、平均数和第75百分位数(结果保留整数).
18. (17分)为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，学校组织A，B两名同学在学校学习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试，二人各加工的10个零件的相关数据如下面的图表所示(单位：mm).
数据 平均数 方差 完全符合要求的个数
A 20 0.026 2
B 20 5
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些？
(2)计算出的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些？
(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由.
19. (17分)研究小组经过研究发现某种病毒的感染者与未感染者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到感染者和未感染者该指标的频率分布直方图如图所示.
感染者　未感染者
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将感染者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未感染者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)求频率分布直方图中a的值及未感染者该指标的中位数；
(2)当漏诊率p(c)＝0.5％时，求临界值c和误诊率q(c)；
(3)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[90，110]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[90，110]上的最小值.第九章核心素养测评卷
统　计
满分150分，限时120分钟
一、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. (2025·江西宜春高一期末)某班级有40名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这40名学生中抽取5人进行家访，则同学a被抽到的可能性为(　D　)
A. B. C. D.
【解析】 总体有40个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为＝.
2. 关于用样本频率分布估计总体频率分布，下列说法中正确的是(　C　)
A. 总体容量越大，估计得越精确
B. 总体容量越小，估计得越精确
C. 样本容量越大，估计得越精确
D. 样本容量越小，估计得越精确
【解析】 在用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，估计得是否准确与总体的数量无关，只与样本容量在总体中所占的比例有关，故样本容量越大，估计得越准确.
3. (2025·辽宁葫芦岛高一检测)某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记.若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论中，正确的是(　C　)
A. 75％分位数为1 B. 平均数为1.2
C. 方差为1 D. 极差为4
【解析】 将8次测试结果标记后得到数据0，0，0，1，1，1，2，3，对于A，∵8×75％＝6，∴数据的75％分位数为＝1.5，A错误；对于B，平均数为(0×3＋1×3＋2＋3)＝1，B错误；对于C，方差为×[3×(0－1)2＋3×(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝1，C正确；对于D，极差为3－0＝3，D错误.
4. (2025·山东威海高一期末)已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则(　C　)
A. 极差为6 B. 中位数为90
C. 70％分位数为92 D. 平均数为90.25
【解析】 由题意可知，数据的极差为94－87＝7，A错误；数据的中位数为＝90.5，B错误；∵8×70％＝5.6，∴数据的70％分位数为第6个数92，C正确；
∵数据的平均数为90＋(－3－1＋0＋0＋1＋2＋3＋4)＝90.75，D错误.
5. (2025·湖北鄂州一模)随着春节申遗成功，国际社会对中国文化的理解和认同进一步加深.某学校为了解学生对春节习俗的认知情况，随机抽取100名学生进行了测试，将他们的成绩进行适当分组后，画出的频率分布直方图如图所示，则下列数据中，一定不位于区间[80，85)内的是(　B　)
A. 众数 B. 第70百分位数 C. 中位数 D. 平均数
【解析】 对于A，众数为＝82.5∈[80，85)；对于B，C，x＝＝0.044，设中位数、第70百分位数分别为m，n，注意到(0.024＋0.036)×5＝0.3＜0.5＜0.3＋0.060×5＝0.6＜0.7＜0.6＋0.044×5＝0.82，设0.060×(m－80)＝0.5－0.3，0.044×(n－85)＝0.7－0.6，解得m＝83∈[80，85)，n＝87 [80，85)；对于D，设平均数为z，则z＝72.5×0.12＋77.5×0.18＋82.5×0.3＋87.5×0.22＋92.5×0.12＋97.5×0.06＝83.6∈[80，85).
6. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200件，400件，300件，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取的件数为(　B　)
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
【解析】 由题意，四种产品的产量之和为200＋400＋300＋100＝1 000(件)，则丙种型号的产品产量所占的比例为＝，∴采用分层抽样的方法时，应从丙种型号的产品中抽取60×＝18(件).
7. 若数据x1，x2，…，x10的平均数为3，方差为4，则下列说法中，错误的是(　B　)
A. 数据4x1＋1，4x2＋1，…，4x10＋1的平均数为13
B. 数据3x1，3x2，…，3x10的方差为12
C.
D. ＝130
【解析】 依题意，A正确；对于B，∴数据3x1，3x2，…，3x10的方差为B错误；对于C，C正确；对于D，解得D正确.
8. 建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1 000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1 000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是(　C　)
A. 7 B. 8 C. 12 D. 13
【解析】 1 000名高一学生，男生有600人，则女生有400人，∴抽取的100人中，男生有60人，女生有40人，总体平均数为×5＋×10＝7，∴总体方差为×[6＋(5－7)2]＋×[6＋(10－7)2]＝12.
二、 多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. (2025·江西南昌高一期末)2024年10月30日，中国神舟十九号载人飞船成功发射.为了弘扬航天人顽强拼搏的精神，某校航天课外小组举行一次航天知识竞赛，随机抽取得到6名同学的分数(满分30分，单位：分)：20，22，24，24，26，28，则下列关于这组数据的说法，正确的有(　ABD　)
A. 极差为8 B. 平均数为24
C. 80％分位数为25 D. 众数为24
【解析】 极差为28－20＝8，A正确；平均数为＝24，B正确；6×80％＝4.8，则80％分位数是第5个数据26，C错误；众数为24，D正确.
10. (2025·陕西西安高一期末)若有10个样本数据x1，x2，…，x10，由yk＝xk＋3(k＝1，2，…，10)生成一组新的数据y1，y2，…，y10，则这组新数据与原数据相比，一定不相等的量有(　BC　)
A. 极差 B. 众数 C. 中位数 D. 标准差
【解析】 对于A，假设原数据中，x1最小，而x10最大，其极差为x10－x1，新数据中，最小的为x1＋3，最大的为x10＋3，其极差为x10－x1，两者相等，A错误；对于B，设原数据的众数为m，则新数据的众数为m＋3，两者一定不相等，B正确；对于C，设原数据的中位数为n，则新数据的中位数为n＋3，两者一定不相等，C正确；对于D，设原数据的方差为s2，则新数据的方差为12×s2＝s2，则两组数据的方差相等，∴其标准差也相等，D错误.
11. (2025·辽宁锦州高一期末)某校为了鼓励同学们利用课余时间进行阅读，开展了读书周活动.如图所示为某班甲、乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列说法中，正确的有(　ABD　)
A. 乙同学的阅读时间更加稳定
B. 甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间
C. 乙同学阅读时间的极差为20
D. 甲同学阅读时间的75％分位数为25
【解析】 对于B，甲同学在一周内每天的阅读时间依次为20，10，25，10，30，20，25，则甲同学阅读时间的平均数为＝20，乙同学在一周内每天阅读时间依次为20，15，25，20，20，15，25，则乙同学阅读时间的平均数为＝20，则甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间，B正确；对于A，甲同学阅读时间的方差为[(20－20)2＋(10－20)2＋(25－20)2＋(10－20)2＋(30－20)2＋(20－20)2＋(25－20)2]＝50，乙同学阅读时间的方差为[(20－20)2＋(15－20)2＋(25－20)2＋(20－20)2＋(20－20)2＋(15－20)2＋(25－20)2]＝，则甲同学阅读时间的方差大于乙同学阅读时间的方差，∴乙同学的阅读时间更加稳定，A正确；对于C，乙同学阅读时间的极差为25－15＝10，C错误；对于D，将甲同学的阅读时间按从小到大的顺序排列为10，10，20，20，25，25，30，∵7×75％＝5.25，∴甲同学阅读时间的75％分位数为25，D正确.
三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 我国古代数学有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百.用分层随机抽样的方法从这三个乡中抽出500人去服役，则西乡应抽　200　人.
【解析】 由题意得9 000×＝9 000×＝200(人).
13. (2025·江西抚州高一检测)某中职学校为了解全校学生国庆假期期间阅读古典名著的时间的情况，抽查了1 000名学生，将他们的阅读时间进行分组[2， 4)，[4， 6)，[6， 8)，[8， 10)，[10， 12]，根据抽样结果绘成的频率分布直方图如图所示，则实数a＝　0.14　.
【解析】 由图可得各分组频率之和为2×(0.04＋0.12＋0.15＋a＋0.05)＝2×(0.36＋a)，∵各分组频率之和为1，∴2×(0.36＋a)＝1 a＝0.14.
14. (2025·北京高一开学考试)甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温(单位：℃)如下表所示：
日期 某地 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
甲地 10 14 16 15 11 13 12
乙地 18 19 15 16 17 14 a
记这7天甲地每天最低气温的标准差为s1，乙地每天最低气温的标准差为s2.根据上述信息，若s1＝s2，则a的值可以为　20(答案不唯一)　(写出一个符合题意的答案即可).
【解析】 ＝＝13，＝＝，7＝(10－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2＋(15－13)2＋(11－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＝28，则7＝＋＋＋＋＋＋＝28，化简得(a－20)(a－13)＝0，解得a＝20，或a＝13，∴a的值可以为20或13.
四、 解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)某校通过按比例分配的分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级抽取人数的比例如图中扇形面积之比所示，已知高二年级共有学生1 200人，并从中抽取了40人.
(1)该校三个年级的学生总人数为多少？
解：(1)由题图知，高二年级对应的角度为360°－150°－90°＝120°.设该校三个年级的学生总数为n，则＝，解得n＝3 600，∴该校三个年级的学生总人数为3 600.
(2)三个年级分别抽取了多少人？
解：(2)高一、高二、高三年级的学生人数之比为150∶120∶90＝5∶4∶3，∵从高二年级抽取了40人，∴从高一、高二、高三年级所抽取的人数分别为50，40，30.
16. (15分)甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人的成绩中各随机抽取5次成绩(满分10分，单位：分)，如表所示.
甲的射击成绩 10 7 8 10 10
乙的射击成绩 10 6 10 10 9
(1)分别求出甲、乙两名运动员5次射击成绩的平均数与方差；
解：(1)甲运动员5次射击成绩的平均数为＝×(10＋7＋8＋10＋10)＝9；
乙运动员5次射击成绩的平均数为＝×(10＋6＋10＋10＋9)＝9；
甲运动员5次射击成绩的方差为＝×[3×(10－9)2＋(7－9)2＋(8－9)2]＝；
乙运动员5次射击成绩的方差为＝×[3×(10－9)2＋(6－9)2＋(9－9)2]＝.
(2)判断哪位运动员的射击成绩更好？
解：(2)∵甲、乙两名运动员的平均成绩相同，方差＜，
∴甲运动员的射击成绩更稳定，即甲运动员的射击成绩更好.
17. (15分)(2025·甘肃平凉开学考试)为进一步弘扬中华优秀传统文化，提升诗词爱好者的素养和创作水平，形成浓厚的国学和诗词学习氛围，2024年9月19日，某市首届诗词大赛决赛在某剧院成功举行.为了解参赛者对此次活动的满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了n名参赛者，该小组将收集到的参赛者满意度分值数据(满分100分，单位：分)统计如下表所示.
分数 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 5 10 20 b 35
频率 0.05 a 0.20 0.30 0.35
(1)分别求a，b，n的值，并在图中画出频率分布直方图；
解：(1)由0.05＋a＋0.20＋0.30＋0.35＝1，解得a＝0.10，n＝＝100，b＝100×0.30＝30.
而每组的频率/组距分别为0.005，0.010，0.020，0.030，0.035，∴频率分布直方图如图所示.
(2)估计n名参赛者满意度分值的众数、平均数和第75百分位数(结果保留整数).
解：(2)由题意，众数为频率分布直方图中最高小矩形所在区间的中点，即众数为95分；平均值为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，即55×0.05＋65×0.10＋75×0.20＋85×0.30＋95×0.35＝83，∴估计平均值为83分；
前四组频率和为0.05＋0.10＋0.20＋0.30＝0.65＜0.75，
∴第75百分位数在[90，100]内，设第75百分位数为x，
则0.65＋(x－90)×0.035＝0.75，解得x≈93，∴估计第75百分位数是93分.
18. (17分)为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，学校组织A，B两名同学在学校学习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试，二人各加工的10个零件的相关数据如下面的图表所示(单位：mm).
数据 平均数 方差 完全符合要求的个数
A 20 0.026 2
B 20 5
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些？
解：(1)由统计图表知，A与B两名同学成绩的平均数相同，B同学加工的零件中完全符合要求的个数较多，由此认为B同学的成绩好些.
(2)计算出的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些？
解：(2)∵＝×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2]＝0.008，且＝0.026.
∴＞，在平均数相同的情况下，B同学的波动小，∴B同学的成绩好些.
(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由.
解：(3)从题干图中折线走势可知，尽管A同学的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A同学的潜力大，而B同学前期稳定，后面起伏变大，潜力小，∴选派A同学去参赛较合适.
19. (17分)研究小组经过研究发现某种病毒的感染者与未感染者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到感染者和未感染者该指标的频率分布直方图如图所示.
感染者　未感染者
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将感染者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未感染者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)求频率分布直方图中a的值及未感染者该指标的中位数；
解：(1)在感染者该指标的频率分布直方图中，各小矩形的面积之和为1，∴10×(0.001＋a＋0.017＋0.018＋0.019＋0.020＋0.020)＝1，解得a＝0.005，
在未感染者该指标的频率分布直方图中，前两个小矩形的面积之和为10×2×0.019＝0.38＜0.5，
前三个小矩形的面积之和为10×2×0.019＋10×0.020＝0.58＞0.5，∴未感染者该指标的中位数在第三组，且为＋60＝66.
(2)当漏诊率p(c)＝0.5％时，求临界值c和误诊率q(c)；
解：(2)依题可知，在感染者该指标的频率分布直方图中，第一个小矩形的面积为10×0.001＞0.5％，
∴90＜c＜100，
∴(c－90)×0.001＝0.5％，解得c＝95，
q(c)＝0.006×(100－95)＋10×0.001＝0.040＝4％.
(3)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)，当c∈[90，110]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[90，110]上的最小值.
解：(3)当c∈[90，100]时，f(c)＝p(c)＋q(c)＝(c－90)×0.001＋(100－c)×0.006＋10×0.001＝－0.005c＋0.52≥0.02；
当c∈(100，110]时，f(c)＝p(c)＋q(c)＝10×0.001＋(c－100)×0.005＋(110－c)×0.001＝0.004c－0.38＞0.02，
∴f(c)＝
∴f(c)在区间[90，110]上的最小值是0.02.

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