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第六章核心素养测评卷
平面向量及其应用
满分150分，限时120分钟
一、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知点A(－1，2)和向量a＝(1，3)，且＝2a，则点B的坐标为(　A　)
A. (1，8) B. (0，5) C. (－3，－4) D. (3，4)
【解析】 ∵向量a＝(1，3)，且＝2a，∴＝(2，6).设B(x，y)，则(x＋1，y－2)＝(2，6)，即解得即B(1，8).
2. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝1，A＝，C＝，则c等于(　B　)
A. 1 B. C. D. 3
【解析】 在△ABC中，由正弦定理＝可得，c＝sin C＝×＝.
3. 已知向量a，b满足b＝(1， 1)，a·b＝2.则a在b上的投影向量的坐标为(　B　)
A. B. (1， 1) C. (－1， －1) D.
【解析】 a在b上的投影向量的坐标为｜a｜cos θ·＝·＝(1，1).
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin A∶sin B∶sin C＝5∶12∶13，则△ABC是(　B　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
【解析】 根据正弦定理可知a∶b∶c＝5∶12∶13，∴cos C＝＝0，由于0＜
C＜π，∴C＝，∴△ABC是直角三角形.
5. 已知向量a， b， c均为单位向量，且a＋b＋c＝0，则a与b的夹角为(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，且a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c，两边平方可得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝3｜c｜2，即2a·b＝1，∴a·b＝，cos＜a， b＞＝＝，又＜a， b＞∈[0， π]，∴a与b的夹角为.
6. 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则等于(　B　)
A. m＋n B. －m＋n C. m＋n D. －m＋n
【解析】∵BD＝2DA，∴＝，∵＝m，＝n，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝－m＋n.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且
a＝1，4S＝b2＋c2－a2，则△ABC外接圆的半径为(　D　)
A. 2 B. C. 1 D.
【解析】 ∵cos A＝，∴b2＋c2－a2＝2bccos A，∵S＝bcsin A，4S＝b2＋c2－a2，∴2bcsin A＝2bccos A，∴sin A＝cos A，∵cos A≠0，∴tan A＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝，设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理得2R＝＝＝＝，得R＝.
8. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，圆A的半径为1，点P在圆A上运动，则·的取值范围是(　C　)
A. [2， 6] B. [2， 6] C. [4－2，4＋2] D. [2， 2]
【解析】 设与的夹角为θ，则0≤θ≤π，·＝(＋)·＝·＋·＝2×2cos 45°＋1×2cos θ＝4＋2cos θ，∵－1≤cos θ≤1，∴4－2≤·≤4＋2.
二、 多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知平面向量a＝(1， 3)，b＝(－2，1)，则(　AC　)
A. ｜a｜＝ B. (2a－b)⊥b
C. a在b上的投影向量的模为 D. a与b的夹角为钝角
【解析】 对于A，由题意可得｜a｜＝＝，A正确；对于B，∵2a－b＝(4， 5)，∴(2a－b)·b＝－8＋5≠0，B错误；对于C，a在b上的投影向量的模为＝＝，C正确；对于D，a与b的夹角的余弦值为cos＜a， b＞＝＝＝＝＞0，∴夹角不是钝角，D错误.
10. 在△ABC中，A＝60°，角A所对的边a＝，下列说法中，正确的有(　BCD　)
A. 若0＜b≤2，则△ABC有一个解
B. 若b＞2，则△ABC无解
C. 若＜b＜2，则△ABC有两个解
D. 若0＜b≤，则△ABC有一个解
【解析】 ∵在△ABC中，A＝60°，且a＝，∴B∈，由正弦定理＝，即sin B＝＝，当＜b＜2时，即b＞a，则B＞A，由sin B＞，此时B有两个解，即△ABC有两个解，5A错误，C正确；当b＞2时，可得sin B＞1(不成立，舍去)，此时△ABC无解，B正确；当0＜b≤，即b≤a，则B≤A＝60°，由sin B≤，此时B只有一个解，D正确.
11. (2025·山东省实验中学高一月考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若·＝2，a＝2，则(　ABC　)
A. bccos A＝2 B. b2＋c2＝8
C. 角A的最大值是 D. △ABC面积的最小值是
【解析】 由·＝2得·＝bccos A＝2，A正确；由余弦定理结合a＝2可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝4，又bccos A＝2，∴b2＋c2＝8，B正确；由基本不等式得b2＋c2＝8≥2bc，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，∴bc≤4，又由余弦定理得
cos A＝＝≥，又A∈(0，π)，∴A∈，∴角A的最大值是，
C正确；由以上分析可得bc＝，则S△ABC＝bcsin A＝tan A，又A∈，
∴tan A∈(0，]，则△ABC面积的最大值是，D错误.
三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 向量a＝(2， 3)与向量b＝(－1， x)的夹角为钝角，则x的取值范围是　∪　.
【解析】 ∵向量a＝(2， 3)，b＝(－1， x)，若向量a与向量b的夹角为钝角，∴a·b＝－2＋3x＜0，且a与b不共线，即x＜，且≠，即x＜，且x≠－.
13. 在△ABC中，∠B＝，AC＝，D是AB边上一点，CD＝2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，则BC＝　　.
【解析】 ∵在△ABC中，∠B＝30°，AC＝，D是AB边上一点，CD＝2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，∴S△ACD＝×2×·sin ∠ACD＝2，
解得sin ∠ACD＝，∴cos ∠ACD＝＝，由余弦定理得AD2＝5＋4－2×2××，∴AD＝，由正弦定理得＝，∴sin A＝.又＝，
∴BC＝＝.
14. 定义：a，b两个向量的叉乘a×b的模｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin ＜a， b＞.若点A(1，0)，B(1， )，O为坐标原点，则｜×｜＝　　.
【解析】 ∵A(1，0)，B(1， )，∴＝(1， 0)，＝(1， )，∴｜｜＝1，｜｜＝＝2，·＝1，∴cos＜， ＞＝＝，
∵＜， ＞∈[0， π]，∴＜， ＞＝，∴｜×｜＝｜｜·
｜｜sin ＜， ＞＝1×2×＝.
四、 解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).求：
(1)a·b及｜a＋b｜；
解：(1)a＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，b＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，∴a·b＝4×
1＋3×(－1)＝1，a＋b＝(1＋4，－1＋3)＝(5，2)，∴｜a＋b｜＝＝.
(2)向量a与b夹角的余弦值.
解：(2)设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.
16. (15分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2＋(c－b)c＝a2.
(1)求A的大小；
解：(1)∵b2＋c2－bc＝a2，由余弦定理得cos A＝＝，∵0＜A＜π，∴A＝.
(2)若△ABC的面积等于5，b＝5，求sin Bsin C的值.
解：(2)∵S＝bcsin A＝bc＝5，∴bc＝20，又b＝5，∴c＝4，于是a2＝b2＋c2－2bccos A＝21，∴a＝，2R＝＝＝2，∴sin Bsin C＝＝.
17. (15分)如图所示，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，M是BC的中点，N是AC上的点，且＝x，AM，BN相交于点P.设＝a，＝b.
(1)若x＝，试用向量a，b表示，；
解：(1)＝(＋)＝a＋b.
设＝t＝t(－)，∵＝，
∴＝＋＝－t(－)＝(1－t)＋t＝(1－t)＋t，
即＝(1－t)b＋ta，由，共线，得(1－t)＝t，解得t＝，
∴＝t(－)＝＝－＝b－a.
(2)若AM⊥PN，求实数x的值.
解：(2)＝＋＝－＋x＝－a＋xb，
∵AM⊥PN，，共线，∴⊥，
∴·＝·(－a＋xb)＝－×22＋×42·x＋4×2×＝0，
解得x＝.
18. (17分)(2025·湖南邵阳高二检测)如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2.
(1)若∠ABC＝30°，求DC的长；
解：(1)在四边形ABCD中，∵AD⊥AB，∠BCD＝120°，∠ABC＝30°，∴∠ADC＝120°，在△ACD中，可得∠CAD＝90°－60°＝30°，∠ADC＝120°，AC＝2，由正弦定理得＝，解得CD＝.
(2)记∠ABC＝θ，当θ为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值.
解：(2)∵∠CAB＝60°，AD⊥AB可得∠CAD＝30°，由四边形内角和为360°得∠ADC＝150°－θ，
∴在△ADC中，由正弦定理得＝，解得DC＝，
在△ABC中，由正弦定理得＝，解得BC＝，
∴S△BCD＝DC·BC·sin 120°＝×＝×＝×＝×，∵0°＜θ＜150°，
∴－60°＜2θ－60°＜240°，∴当2θ－60°＝90°，即θ＝75°时，
S取最小值，最小值是×＝6－3.
19. (17分)如图所示，设△ABC 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c＝1，且2csin Acos B＝asin A－bsin B＋bsin C，cos ∠BAD＝.
(1)求b的长度；
解：(1)∵2csin Acos B＝asin A－bsin B＋bsin C，
∴2ac×＝a2－b2＋bc，化简得4c＝b，又c＝1，∴b＝4.
(2)设E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于点G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求·的最小值.
解：(2)设｜｜＝x，｜｜＝y，∵D为BC的中点，∴＝，设＜，＞＝θ，则＝＝，∴｜｜＝，而·＝··(＋)＝，
∴＝cos ∠BAD＝＝，即28cos2θ＋8cos θ－11＝0，
解得cos θ＝，或cos θ＝－，
∵1＋4cos θ＞0，∴cos θ＝，sin θ＝，
∴S△ABC＝bcsin θ＝，
∵△AEF的面积为△ABC面积的一半，
∴S△AEF＝xysin θ＝，即xy＝2，
设＝λ，则＝λ＝＋，又E，G，F共线，设＝μ＋(1－μ)，则＝μ＋(1－μ)＝xμ＋，
∴解得μ＝，又xy＝2，
∴＝＋，又＝－x，
∴·＝·＝＝，
化简得·＝＝＝－＋，
又y≤4，∴≤x≤1，∴·≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，最小值为2.(共29张PPT)
第六章核心素养测评卷
高中数学 必修 第二册
平面向量及其应用
满分150分，限时120分钟
一、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知点A(－1，2)和向量a＝(1，3)，且 ＝2a，则点B的坐标为
(　A　)
A. (1，8) B. (0，5) C. (－3，－4) D. (3，4)
【解析】 ∵向量a＝(1，3)，且 ＝2a，∴ ＝(2，6).设B(x，y)，则(x＋1，y－2)＝(2，6)，即 解得 即B(1，8).
A
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2. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝1，A＝ ，
C＝ ，则c等于(　B　)
A. 1 B. C. D. 3
【解析】 在△ABC中，由正弦定理 ＝ 可得，c＝ sin C＝
× ＝ .
B
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3. 已知向量a，b满足b＝(1， 1)，a·b＝2.则a在b上的投影向量的坐标为(　B　)
A. B. (1， 1)
C. (－1， －1) D.
【解析】 a在b上的投影向量的坐标为｜a｜ cos θ· ＝ · ＝(1，1).
B
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4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， sin A∶ sin B∶
sin C＝5∶12∶13，则△ABC是(　B　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
【解析】 根据正弦定理可知a∶b∶c＝5∶12∶13，∴ cos C＝ ＝
0，由于0＜C＜π，∴C＝ ，∴△ABC是直角三角形.
B
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5. 已知向量a， b， c均为单位向量，且a＋b＋ c＝0，则a与b的
夹角为(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，且a＋b＋ c＝0，
则a＋b＝－ c，两边平方可得｜a｜2＋｜b｜2＋2a·b＝3｜c｜2，
即2a·b＝1，∴a·b＝ ， cos ＜a， b＞＝ ＝ ，
又＜a， b＞∈[0，π]，∴a与b的夹角为 .
C
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6. 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA. 记 ＝m， ＝n，
则 等于(　B　)
A. m＋ n B. － m＋ n C. m＋ n D. － m＋ n
B
【解析】∵BD＝2DA，∴ ＝ ，∵ ＝m， ＝n，∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ (－ )＝－ ＋ ＝－ m＋ n.
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7. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面
积为S，且a＝1，4S＝b2＋c2－a2，则△ABC外接圆的半径为(　D　)
A. 2 B. C. 1 D.
D
【解析】 ∵ cos A＝ ，∴b2＋c2－a2＝2bc cos A，∵S＝ bc
sin A，4S＝b2＋c2－a2，∴2bc sin A＝2bc cos A，∴ sin A＝ cos A，
∵ cos A≠0，∴tan A＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝ ，设△ABC外接圆
的半径为R，则由正弦定理得2R＝ ＝ ＝ ＝ ，得R＝ .
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8. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，圆A的半径为1，点P在圆A
上运动，则 · 的取值范围是(　C　)
A. [2， 6] B. [2 ， 6 ]
C. [4－2 ，4＋2 ] D. [2， 2 ]
C
【解析】 设 与 的夹角为θ，则0≤θ≤π， · ＝(＋
)· ＝ · ＋ · ＝2×2 cos 45°＋1×2 cos θ＝4＋
2 cos θ，∵－1≤ cos θ≤1，∴4－2 ≤ · ≤4＋2 .
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二、 多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，
有选错的得0分)
9. 已知平面向量a＝(1， 3)，b＝(－2，1)，则(　AC　)
A. ｜a｜＝ B. (2a－b)⊥b
C. a在b上的投影向量的模为 D. a与b的夹角为钝角
AC
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【解析】 对于A，由题意可得｜a｜＝ ＝ ，A正确；对于
B，∵2a－b＝(4， 5)，∴(2a－b)·b＝－8＋5≠0，B错误；对于C，
a在b上的投影向量的模为 ＝ ＝ ，C正确；对于D，
a与b的夹角的余弦值为 cos ＜a， b＞＝ ＝ ＝
＝ ＞0，∴夹角不是钝角，D错误.
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10. 在△ABC中，A＝60°，角A所对的边a＝ ，下列说法中，正
确的有(　BCD　)
A. 若0＜b≤2，则△ABC有一个解
B. 若b＞2，则△ABC无解
C. 若 ＜b＜2，则△ABC有两个解
D. 若0＜b≤ ，则△ABC有一个解
BCD
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【解析】 ∵在△ABC中，A＝60°，且a＝ ，∴B∈ ，由
正弦定理 ＝ ，即 sin B＝ ＝ ，当 ＜b＜2时，即b＞
a，则B＞A，由 sin B＞ ，此时B有两个解，即△ABC有两个解，
5A错误，C正确；当b＞2时，可得 sin B＞1(不成立，舍去)，此时
△ABC无解，B正确；当0＜b≤ ，即b≤a，则B≤A＝60°，
由 sin B≤ ，此时B只有一个解，D正确.
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11. (2025·山东省实验中学高一月考)△ABC的内角A，B，C的对边分
别为a，b，c.若 · ＝2，a＝2，则(　ABC　)
A. bc cos A＝2 B. b2＋c2＝8
C. 角A的最大值是 D. △ABC面积的最小值是
ABC
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【解析】 由 · ＝2得 · ＝bc cos A＝2，A正确；由余弦定理
结合a＝2可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝4，又bc cos A＝2，∴b2＋c2＝
8，B正确；由基本不等式得b2＋c2＝8≥2bc，当且仅当b＝c＝2时，
等号成立，∴bc≤4，又由余弦定理得 cos A＝ ＝ ≥ ，
又A∈(0，π)，∴A∈ ，∴角A的最大值是 ，C正确；由以上
分析可得bc＝ ，则S△ABC＝ bc sin A＝tan A，又A∈ ，
∴tan A∈(0， ]，则△ABC面积的最大值是 ，D错误.
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三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 向量a＝(2， 3)与向量b＝(－1， x)的夹角为钝角，则x的取值范
围是 .
【解析】 ∵向量a＝(2， 3)，b＝(－1， x)，若向量a与向量b的夹角
为钝角，∴a·b＝－2＋3x＜0，且a与b不共线，即x＜ ，且 ≠ ，
即x＜ ，且x≠－ .
∪ 　
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13. 在△ABC中，∠B＝ ，AC＝ ，D是AB边上一点，CD＝2，
△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，则BC＝ .
　
【解析】 ∵在△ABC中，∠B＝30°，AC＝ ，
D是AB边上一点，CD＝2，△ACD的面积为2，
∠ACD为锐角，∴S△ACD＝ ×2× · sin ∠ACD＝2，解得 sin ∠ACD＝ ，∴ cos ∠ACD＝ ＝ ，由余弦定理得AD2＝5＋4－2×2× × ，∴AD＝ ，由正弦定理得 ＝ ，∴ sin A＝ .又 ＝ ，∴BC＝ ＝ .
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14. 定义：a，b两个向量的叉乘a×b的模｜a×b｜＝｜a｜｜b｜
sin ＜a， b＞.若点A(1，0)，B(1， )，O为坐标原点，则｜
× ｜＝ .
　
【解析】 ∵A(1，0)，B(1， )，∴ ＝(1， 0)， ＝(1， )，
∴｜ ｜＝1，｜ ｜＝ ＝2， · ＝1，∴ cos ＜
， ＞＝ ＝ ，∵＜ ， ＞∈[0， π]，∴＜ ，
＞＝ ，∴｜ × ｜＝｜ ｜·｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝
1×2× ＝ .
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四、 解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
15. (13分)已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝
(0，1).求：
(1)a·b及｜a＋b｜；
解：(1)a＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，b＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，
∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，a＋b＝(1＋4，－1＋3)＝(5，2)，
∴｜a＋b｜＝ ＝ .
(2)向量a与b夹角的余弦值.
解：(2)设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ .
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16. (15分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2
＋(c－b)c＝a2.
(1)求A的大小；
解：(1)∵b2＋c2－bc＝a2，由余弦定理得 cos A＝ ＝ ，
∵0＜A＜π，∴A＝ .
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(2)若△ABC的面积等于5 ，b＝5，求 sin B sin C的值.
解：(2)∵S＝ bc sin A＝ bc＝5 ，∴bc＝20，又b＝5，∴c＝4，
于是a2＝b2＋c2－2bc cos A＝21，∴a＝ ，2R＝ ＝ ＝
2 ，∴ sin B sin C＝ ＝ .
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17. (15分)如图所示，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝
60°，M是BC的中点，N是AC上的点，且 ＝x ，AM，BN相
交于点P. 设 ＝a， ＝b.
(1)若x＝ ，试用向量a，b表示 ， ；
解：(1) ＝ (＋ )＝ a＋ b.
设 ＝t ＝t(－ )，∵ ＝ ，
∴ ＝ ＋ ＝ －t(－ )＝(1－t) ＋t ＝ (1－t)
＋t ，即 ＝ (1－t)b＋ta，由 ， 共线，得 (1－t)＝t，解得t＝ ，∴ ＝t(－ )＝ ＝ － ＝ b－ a.
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(2)若AM⊥PN，求实数x的值.
解：(2) ＝ ＋ ＝－ ＋x ＝－a＋xb，
∵AM⊥PN， ， 共线，∴ ⊥ ，
∴ · ＝ ·(－a＋xb)＝－ ×22＋ ×42·x＋4×2× ＝0，解得x＝ .
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18. (17分)(2025·湖南邵阳高二检测)如图所示，在四边形ABCD中，
AD⊥AB，∠CAB＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2.
(1)若∠ABC＝30°，求DC的长；
解：(1)在四边形ABCD中，∵AD⊥AB，∠BCD
＝120°，∠ABC＝30°，∴∠ADC＝120°，
在△ACD中，可得∠CAD＝90°－60°＝30°，∠ADC＝120°，
AC＝2，由正弦定理得 ＝ ，解得CD＝ .
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(2)记∠ABC＝θ，当θ为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值.
解：(2)∵∠CAB＝60°，AD⊥AB可得∠CAD＝30°，
由四边形内角和为360°得∠ADC＝150°－θ，
∴在△ADC中，由正弦定理得 ＝ ，
解得DC＝ ，在△ABC中，由正弦定理得
＝ ，解得BC＝ ，∴S△BCD＝ DC·BC· sin 120°＝ ×
＝ × ＝ × ＝ ×
，∵0°＜θ＜150°，∴－60°＜2θ－60°＜240°，∴当2θ
－60°＝90°，即θ＝75°时，S取最小值，最小值是 × ＝6－3 .
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19. (17分)如图所示，设△ABC 中角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，AD为BC边上的中线，已知c＝1，且2c sin A cos B＝a sin A－b
sin B＋ b sin C， cos ∠BAD＝ .
(1)求b的长度；
解：(1)∵2c sin A cos B＝a sin A－b sin B＋ b sin C，
∴2ac× ＝a2－b2＋ bc，化简得4c＝b，又c＝1，∴b＝4.
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(2)设E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于点G，且
△AEF的面积为△ABC面积的一半，求 · 的最小值.
解：(2)设｜ ｜＝x，｜ ｜＝y，∵D为BC的中点，∴ ＝ ，设＜ ， ＞＝θ，则 ＝ ＝ ，
∴｜ ｜＝ ，而 · ＝ · ·(＋ )＝ ，
∴ ＝ cos ∠BAD＝ ＝ ，即28 cos 2θ＋8 cos θ－
11＝0，解得 cos θ＝ ，或 cos θ＝－ ，
∵1＋4 cos θ＞0，∴ cos θ＝ ， sin θ＝ ，
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∴S△ABC＝ bc sin θ＝ ，
∵△AEF的面积为△ABC面积的一半，
∴S△AEF＝ xy sin θ＝ ，即xy＝2，
设 ＝λ ，则 ＝λ ＝ ＋ ，又E，G，F共线，设
＝μ ＋(1－μ) ，则 ＝μ ＋(1－μ) ＝xμ ＋ ，
∴ 解得μ＝ ，又xy＝2，∴ ＝ ＋ ，
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又 ＝ －x ，∴ · ＝ · ＝＝ ，
化简得 · ＝ ＝ ＝－ ＋ ，
又y≤4，∴ ≤x≤1，∴ · ≥2，
当且仅当x＝1时，等号成立，最小值为2.
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19第六章核心素养测评卷
平面向量及其应用
满分150分，限时120分钟
一、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知点A(－1，2)和向量a＝(1，3)，且＝2a，则点B的坐标为(　 　)
A. (1，8) B. (0，5) C. (－3，－4) D. (3，4)
2. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝1，A＝，C＝，则c等于(　 　)
A. 1 B. C. D. 3
3. 已知向量a，b满足b＝(1， 1)，a·b＝2.则a在b上的投影向量的坐标为(　 　)
A. B. (1， 1) C. (－1， －1) D.
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin A∶sin B∶sin C＝5∶12∶13，则△ABC是(　 　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
5. 已知向量a， b， c均为单位向量，且a＋b＋c＝0，则a与b的夹角为(　 　)
A. B. C. D.
6. 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则等于(　 　)
A. m＋n B. －m＋n C. m＋n D. －m＋n
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且
a＝1，4S＝b2＋c2－a2，则△ABC外接圆的半径为(　 　)
A. 2 B. C. 1 D.
8. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，圆A的半径为1，点P在圆A上运动，则·的取值范围是(　 　)
A. [2， 6] B. [2， 6] C. [4－2，4＋2] D. [2， 2]
二、 多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知平面向量a＝(1， 3)，b＝(－2，1)，则(　 　)
A. ｜a｜＝ B. (2a－b)⊥b
C. a在b上的投影向量的模为 D. a与b的夹角为钝角
10. 在△ABC中，A＝60°，角A所对的边a＝，下列说法中，正确的有(　 　)
A. 若0＜b≤2，则△ABC有一个解
B. 若b＞2，则△ABC无解
C. 若＜b＜2，则△ABC有两个解
D. 若0＜b≤，则△ABC有一个解
11. (2025·山东省实验中学高一月考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若·＝2，a＝2，则(　 　)
A. bccos A＝2 B. b2＋c2＝8
C. 角A的最大值是 D. △ABC面积的最小值是
三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 向量a＝(2， 3)与向量b＝(－1， x)的夹角为钝角，则x的取值范围是 .
13. 在△ABC中，∠B＝，AC＝，D是AB边上一点，CD＝2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，则BC＝ .
14. 定义：a，b两个向量的叉乘a×b的模｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin ＜a， b＞.若点A(1，0)，B(1， )，O为坐标原点，则｜×｜＝ .
四、 解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).求：
(1)a·b及｜a＋b｜；
(2)向量a与b夹角的余弦值.
16. (15分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2＋(c－b)c＝a2.
(1)求A的大小；
(2)若△ABC的面积等于5，b＝5，求sin Bsin C的值.
17. (15分)如图所示，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，M是BC的中点，N是AC上的点，且＝x，AM，BN相交于点P.设＝a，＝b.
(1)若x＝，试用向量a，b表示，；
(2)若AM⊥PN，求实数x的值.
18. (17分)(2025·湖南邵阳高二检测)如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2.
(1)若∠ABC＝30°，求DC的长；
(2)记∠ABC＝θ，当θ为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值.
19. (17分)如图所示，设△ABC 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c＝1，且2csin Acos B＝asin A－bsin B＋bsin C，cos ∠BAD＝.
(1)求b的长度；
(2)设E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于点G，且△AEF的面积为△ABC面积的一半，求·的最小值.

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