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(共28张PPT)
第七章核心素养测评卷
高中数学 必修 第二册
复　数
满分150分，限时120分钟
一、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1. (2025·陕西西安高一检测)已知复数z＝－2＋i，则(　C　)
A. z的虚部为i B. ｜z｜＝5
C. ＝－2－i D. z＞
【解析】 由已知条件可得z的虚部为1，A错误；｜z｜＝
＝ ，B错误； ＝－2－i，C正确；虚部不为0的复数不能比较大小，
D错误.
C
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2. (2025·北京西城期末)设i为虚数单位，a，b∈R，且a＋bi＝2i(1＋
i)，则a＋b等于(　B　)
A. －4 B. 0 C. －4i D. 4
【解析】 2i(1＋i)＝2i－2＝a＋bi，又a，b∈R，根据复数相等可得
a＝－2，b＝2，则a＋b＝0.
B
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3. (2025·江苏无锡高一检测)已知复数z1＝2＋i，z2＝a－i(a∈R)，i为
虚数单位.若复数z1－z2为纯虚数，则实数a的值为(　C　)
A. 1 B. 0 C. 2 D. －2
【解析】 由题意可得z1－z2＝(2＋i)－(a－i)＝(2－a)＋2i为纯虚数，
则2－a＝0，解得a＝2.
C
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4. 已知i为虚数单位，若复数z＝(1－2i)2，则复数z在复平面上对应的
点位于(　C　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 z＝(1－2i)2＝1－4i＋4i2＝1－4i－4＝－3－4i，∴复数z在复平
面上对应的点的坐标为(－3，－4)，∴对应的点在第三象限.
C
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5. (2025·河南三门峡模拟)若复数z满足 ＝1＋i，则z等于(　B　)
A. i B. －i C. 1＋i D. 1－i
【解析】 由题意，z＝ ＝ ＝ ＝－i.
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6. (2025·辽宁高三模拟)已知复数z满足(i2 022＋i1 011)z＝4i2 025，则复数z
的虚部是(　A　)
A. －2 B. －2i C. 2 D. 2i
【解析】 ∵i2 022＝i505×4＋2＝i2＝－1，i1 011＝i252×4＋3＝i3＝－i，i2 025＝
i506×4＋1＝i，∴(－1－i)·z＝4i z＝ ＝ ＝ ＝－2－
2i，∴复数z的虚部为－2.
A
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7. (2025·湖南长沙模拟)已知复数z满足｜z｜＝｜3－2z｜，且z的实部为2，则｜z｜等于(　B　)
A. 2 B. C. 3 D. 5
【解析】 设z＝2＋bi(b∈R)，则3－2z＝3－2(2＋bi)＝－1－2bi，
而｜z｜＝｜3－2z｜，∴ ＝ ，解得b＝±1，
∴z＝2±i，∴｜z｜＝ .
B
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8. (2025·山东济南高一检测)已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以表示为
z＝r( cos θ＋i sin θ)，其中r＝ ，θ是以x轴的非负半轴为始
边，向量 所在射线为终边的角.已知z1＝r1·( cos θ1＋i sin θ1)与z2＝
r2( cos θ2＋i sin θ2)的乘积z1z2＝r1r2[ cos (θ1＋θ2)＋i sin (θ1＋θ2)]，则将
向量 ＝(1， 2)绕原点O按逆时针方向旋转90°，长度变为原来的2
倍后，得到向量 的坐标为(　B　)
A. (2， －4) B. (－4， 2)
C. (－2， 4) D. (4， －2)
B
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【解析】 设以射线OZ1为终边的角为θ1，而｜ ｜＝ ＝
，则z1＝ ( cos θ1＋i sin θ1)， cos θ1＝ ， sin θ1＝ ，z'＝2i＝
2 ，向量 对应复数z2＝z1z'＝2 ·＝2 (－ sin θ1＋i cos θ1)＝－4＋2i，∴向量 的
坐标为(－4， 2).
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二、 多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，
有选错的得0分)
9. (2025·江苏无锡高一检测)已知i为虚数单位，则下列说法中，正确的
有(　AD　)
A. i2 025＝i B. 复数－2－i的虚部为－i
C. 若复数z为纯虚数，则｜z｜2＝z2 D. 若z为复数，则z· 为实数
AD
【解析】 i2 025＝(i4)506·i＝i，A正确；复数－2－i的虚部为－1，B错误；
由复数z为纯虚数，设z＝bi(b∈R，b≠0)，则｜z｜2＝b2，z2＝(bi)2＝
－b2，∴｜z｜2≠z2，C错误；设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ＝
a－bi，∴z· ＝a2－(bi)2＝a2＋b2∈R，D正确.
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10. (2025·云南玉溪高一检测)已知a，b∈R，关于x的方程x2＋ax＋
b＝0的一个根是z1＝1－2i，另一个根是z2，其中i是虚数单位，则下列说
法中，正确的有(　ABC　)
A. 复数z1对应的点在第四象限 B. ab＝－10
C. ＝z2 D. z1＜z2
ABC
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【解析】 复数z1＝1－2i，复数z1对应的点为(1， －2)，∴复数z1对应的
点在第四象限，A正确；已知a，b∈R，关于x的方程x2＋ax＋b＝0
的一个根是z1＝1－2i，则(1－2i)2＋a(1－2i)＋b＝0，整理得(a＋b－3)
－(2a＋4)i＝0，∴ 解得 ∴ab＝－10，B正
确；由a＝－2，b＝5得方程x2－2x＋5＝0，∵一个根是z1＝1－2i，
∴结合韦达定理，可得另一个根是z2＝1＋2i，∴ ＝z2，C正确；两个
虚数不能比较大小，D错误.
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11. (2025·山东临沂高一检测)欧拉公式(eiθ＝ cos θ＋i sin θ，其中i是虚数单位，e＝2.718…，θ∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令θ＝π，可得eiπ＋1＝0.它又将自然界中的两个重要的无理数π和e、实数单位1、虚数单位i以及复数中的0巧妙地结合在一起，被数学家们誉为“上帝公式”“宇宙第一公式”
“最美公式”等.下列关于欧拉公式的叙述，正确的有(　BCD　)
BCD
A. e2 025πi－1＝0 B. 复数e3i对应的点位于第二象限
C. ｜exi｜＝1 D. ()＝
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【解析】 对于A，∵eiπ＋1＝0，∴eiπ＝－1，e2 025πi－1＝(eπi)2 025－1＝－
1－1＝－2，A错误；对于B，e3i＝ cos 3＋i sin 3，而 ＜3＜π，则 cos 3
＜0， sin 3＞0，∴e3i位于第二象限，B正确；对于C，｜exi｜＝
＝1，C正确；对于D，eiθ＝ cos θ＋i sin θ，∴()＝
cos θ－i sin θ，又 ＝e－iθ＝ cos θ－i sin θ，∴()＝ ，D正确.
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三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. (2025·天津滨海新高一检测)已知a∈R，若复数z＝4a2－3a－1＋
(a－1)i是纯虚数，则a的值为 .
【解析】 由题意得 解得a＝－ .
－ 　
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13. 在复平面内，向量 对应的复数是2＋i，向量 对应的复数是
－1－3i，则向量 对应的复数是 .
【解析】 由向量 对应的复数是2＋i，得 ＝(2，1)，由向量 对
应的复数是－1－3i，得 ＝(－1，－3)，∴ ＝ ＋ ＝ －
＝(－3，－4)，∴向量 对应的复数是－3－4i.
－3－4i　
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14. 若｜z1－z2｜＝1，则称z1与z2互为“邻位复数”.已知复数z1＝a＋
i与z2＝1＋bi(a，b∈R)互为“邻位复数”，则a2＋b2的最大值是 .
9　
【解析】 ∵复数z1＝a＋ i与z2＝1＋bi互为“邻位复数”，
∴｜a＋ i－1－bi｜＝1，∴(a－1)2＋(－b)2＝1，
即(a－1)2＋(b－ )2＝1，其表示的点(a， b)的轨迹是以
A(1， )为圆心，半径r＝1的圆，而 表示点
(a， b)到原点的距离，∴ 的最大值是原点到圆心
的距离加半径，即｜OA｜＋r＝ ＋1＝3，∴a2＋b2的最大值是32＝9.
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四、 解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
15. (13分)已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，求满足下列条
件的实数m的值或取值范围.
(1)复数z与复数2－12i相等；
解：(1)由复数相等的充要条件，得
解得m＝－1.
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(2)复数z与复数12＋16i互为共轭复数；
解：(2)由共轭复数的定义，得 解得m＝1.
(3)复数z在复平面内对应的点在x轴上方.
解：(3)由题意知m2－2m－15＞0，解得m＜－3，或m＞5，∴实数m
的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞).
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16. (15分)(2024·湖北武汉高一期中)已知复数z满足z＋i和 均为
实数.
(1)求复数z；
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋i＝a＋(b＋1)i， ＝ ＝
，∵z＋i和 均为实数，∴ 解得 ∴z＝2－i.
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(2)若z1＝ ＋ ＋(m2＋m－3)i在复平面内对应的点位于第四象限，求
实数m的取值范围.
解：(2)z1＝ ＋ ＋(m2＋m－3)i＝2＋i＋ ＋(m2＋m－3)i＝2＋ ＋
(m2＋m－2)i，
∵z1＝ ＋ ＋(m2＋m－3)i在复平面内对应的点位于第四象限，
∴ 解得－2＜m＜－ ，或0＜m＜1，
∴实数m的取值范围是 ∪(0，1).
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17. (15分)已知复数z＝1＋bi(b∈R，i为虚数单位)，z在复平面上对应
的点位于第四象限，且满足z· ＝4.
(1)求实数b的值；
解：(1)依题意，点(1，b) 位于第四象限，则b＜0，由z· ＝4，得(1＋
bi)(1－bi)＝4，即b2＝3，∴b＝－ ，
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(2)若复数z是关于x的方程px2＋2x＋q＝0(p≠0，且p，q∈R)的一个
复数根，求p＋q的值.
解：(2)由(1)知，z＝1－ i，由复数z是关于x的方程px2＋2x＋q＝0
的根，得p(1－ i)2＋2(1－ i)＋q＝0，整理得(－2p＋q＋2)－
(2 p＋2 )i＝0，而p，q∈R，
∴ 解得 ∴p＋q＝－5.
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18. (17分)已知m∈R，复数z＝2m＋3＋(m－1)i.
(1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围；
解：(1)复数z在复平面内对应的点为(2m＋3，m－1)，
由z在复平面内对应的点位于第四象限，得 解得－ ＜
m＜1，∴m的取值范围是－ ＜m＜1.
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(2)若z满足z＋3 ＝n＋4i，n∈R，求 的值.
解：(2)依题意，z＋3 ＝2m＋3＋(m－1)i＋3[2m＋3－(m－1)i]＝
4(2m＋3)－2(m－1)i＝n＋4i，
又m，n∈R，则 解得m＝－1，n＝4，
＝ ＝ ＝ ＝ － i，
∴ ＝ ＝ .
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19. (17分)现定义“n维形态复数”zn：zn＝ cos nθ＋i sin nθ，其中i为
虚数单位，n∈N*，θ≠0.
(1)当θ＝ 时，证明：“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方.
证明：当θ＝ 时，zn＝ cos n＋i sin n，设“1维形态复数”为z1，则
z1＝ cos ＋i sin ＝ (1＋i)，“2维形态复数”为z2，则z2＝ cos ＋
i sin ＝i，∵ ＝ ＝ (1＋2i＋i2)＝i＝z2，∴“2维形态复
数”是“1维形态复数”的平方.
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(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求 sin 的值.
解：∵“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，
∴ cos 2θ＋i sin 2θ＝ cos 3θ＋i sin 3θ，∴
解 cos 2θ＝ cos 3θ，得3θ＝2θ＋2kπ(k∈Z)，或3θ＋2θ＝2kπ(k∈Z)，解
sin 2θ＝ sin 3θ，得3θ＝2θ＋2kπ(k∈Z)，或3θ＋2θ＝2kπ＋π(k∈Z)，由
于两个方程同时成立，∴只能有3θ＝2θ＋2kπ(k∈Z)，即θ＝2kπ(k∈Z)，
∴ sin ＝ sin ＝ sin ＝ .
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19第七章核心素养测评卷
复　数
满分150分，限时120分钟
一、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. (2025·陕西西安高一检测)已知复数z＝－2＋i，则(　C　)
A. z的虚部为i B. ｜z｜＝5 C. ＝－2－i D. z＞
【解析】 由已知条件可得z的虚部为1，A错误；｜z｜＝＝，B错误；＝－2－i，C正确；虚部不为0的复数不能比较大小，D错误.
2. (2025·北京西城期末)设i为虚数单位，a，b∈R，且a＋bi＝2i(1＋i)，则a＋b等于(　B　)
A. －4 B. 0 C. －4i D. 4
【解析】 2i(1＋i)＝2i－2＝a＋bi，又a，b∈R，根据复数相等可得a＝－2，b＝2，则a＋b＝0.
3. (2025·江苏无锡高一检测)已知复数z1＝2＋i，z2＝a－i(a∈R)，i为虚数单位.若复数z1－z2为纯虚数，则实数a的值为(　C　)
A. 1 B. 0 C. 2 D. －2
【解析】 由题意可得z1－z2＝(2＋i)－(a－i)＝(2－a)＋2i为纯虚数，则2－a＝0，解得a＝2.
4. 已知i为虚数单位，若复数z＝(1－2i)2，则复数z在复平面上对应的点位于(　C　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 z＝(1－2i)2＝1－4i＋4i2＝1－4i－4＝－3－4i，∴复数z在复平面上对应的点的坐标为(－3，－4)，∴对应的点在第三象限.
5. (2025·河南三门峡模拟)若复数z满足＝1＋i，则z等于(　B　)
A. i B. －i C. 1＋i D. 1－i
【解析】 由题意，z＝＝＝＝－i.
6. (2025·辽宁高三模拟)已知复数z满足(i2 022＋i1 011)z＝4i2 025，则复数z的虚部是(　A　)
A. －2 B. －2i C. 2 D. 2i
【解析】 ∵i2 022＝i505×4＋2＝i2＝－1，i1 011＝i252×4＋3＝i3＝－i，i2 025＝i506×4＋1＝i，∴(－1－i)·z＝4i z＝＝＝＝－2－2i，∴复数z的虚部为－2.
7. (2025·湖南长沙模拟)已知复数z满足｜z｜＝｜3－2z｜，且z的实部为2，则
｜z｜等于(　B　)
A. 2 B. C. 3 D. 5
【解析】 设z＝2＋bi(b∈R)，则3－2z＝3－2(2＋bi)＝－1－2bi，而｜z｜＝｜3－2z｜，∴＝，解得b＝±1，∴z＝2±i，∴｜z｜＝.
8. (2025·山东济南高一检测)已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以表示为z＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角.已知z1＝r1·(cos θ1＋isin θ1)与z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)的乘积z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，则将向量＝(1， 2)绕原点O按逆时针方向旋转90°，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为(　B　)
A. (2， －4) B. (－4， 2) C. (－2， 4) D. (4， －2)
【解析】 设以射线OZ1为终边的角为θ1，而｜｜＝＝，则z1＝(cos θ1＋isin θ1)，cos θ1＝，sin θ1＝，z'＝2i＝2，向量对应复数z2＝z1z'＝2·＝2(－sin θ1＋icos θ1)＝
－4＋2i，∴向量的坐标为(－4， 2).
二、 多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. (2025·江苏无锡高一检测)已知i为虚数单位，则下列说法中，正确的有(　AD　)
A. i2 025＝i B. 复数－2－i的虚部为－i
C. 若复数z为纯虚数，则｜z｜2＝z2 D. 若z为复数，则z·为实数
【解析】 i2 025＝(i4)506·i＝i，A正确；复数－2－i的虚部为－1，B错误；由复数z
为纯虚数，设z＝bi(b∈R，b≠0)，则｜z｜2＝b2，z2＝(bi)2＝－b2，∴｜z｜2≠z2，
C错误；设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，∴z·＝a2－(bi)2＝a2＋b2∈R，
D正确.
10. (2025·云南玉溪高一检测)已知a，b∈R，关于x的方程x2＋ax＋b＝0的一个根是z1＝1－2i，另一个根是z2，其中i是虚数单位，则下列说法中，正确的有(　ABC　)
A. 复数z1对应的点在第四象限 B. ab＝－10
C. ＝z2 D. z1＜z2
【解析】 复数z1＝1－2i，复数z1对应的点为(1， －2)，∴复数z1对应的点在第四象限，A正确；已知a，b∈R，关于x的方程x2＋ax＋b＝0的一个根是z1＝1－2i，则(1－2i)2＋a(1－2i)＋b＝0，整理得(a＋b－3)－(2a＋4)i＝0，∴解得∴ab＝－10，B正确；由a＝－2，b＝5得方程
x2－2x＋5＝0，∵一个根是z1＝1－2i，∴结合韦达定理，可得另一个根是z2＝1＋2i，∴＝z2，C正确；两个虚数不能比较大小，D错误.
11. (2025·山东临沂高一检测)欧拉公式(eiθ＝cos θ＋isin θ，其中i是虚数单位，e＝2.718…，θ∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令θ＝π，可得eiπ＋1＝0.它又将自然界中的两个重要的无理数π和e、实数单位1、虚数单位i以及复数中的0巧妙地结合在一起，被数学家们誉为“上帝公式”“宇宙第一公式”“最美公式”等.下列关于欧拉公式的叙述，正确的有(　BCD　)
A. e2 025πi－1＝0 B. 复数e3i对应的点位于第二象限
C. ｜exi｜＝1 D. ()＝
【解析】 对于A，∵eiπ＋1＝0，∴eiπ＝－1，e2 025πi－1＝(eπi)2 025－1＝－1－1＝
－2，A错误；对于B，e3i＝cos 3＋isin 3，而＜3＜π，则cos 3＜0，sin 3＞0，∴e3i位于第二象限，B正确；对于C，｜exi｜＝＝1，C正确；
对于D，eiθ＝cos θ＋isin θ，∴()＝cos θ－isin θ，又＝e－iθ＝cos θ－isin θ，∴()＝，D正确.
三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. (2025·天津滨海新高一检测)已知a∈R，若复数z＝4a2－3a－1＋(a－1)i是纯虚数，则a的值为　－　.
【解析】 由题意得解得a＝－.
13. 在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是　－3－4i　.
【解析】 由向量对应的复数是2＋i，得＝(2，1)，由向量对应的复数是
－1－3i，得＝(－1，－3)，∴＝＋＝－＝(－3，－4)，∴向量对应的复数是－3－4i.
若｜z1－z2｜＝1，则称z1与z2互为“邻位复数”.已知复数z1＝a＋i与z2＝
1＋bi(a，b∈R)互为“邻位复数”，则a2＋b2的最大值是　9　.
【解析】 ∵复数z1＝a＋i与z2＝1＋bi互为“邻位复数”，∴｜a＋i－1－bi｜＝1，∴(a－1)2＋(－b)2＝1，即(a－1)2＋(b－)2＝1，其表示的点(a， b)的轨迹是以A(1， )为圆心，半径r＝1的圆，而表示点(a， b)到原点的距离，∴的最大值是原点到圆心的距离加半径，即｜OA｜＋r＝＋1＝3，∴a2＋b2的最大值是32＝9.
四、 解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，求满足下列条件的实数m的值或取值范围.
(1)复数z与复数2－12i相等；
解：(1)由复数相等的充要条件，得解得m＝－1.
(2)复数z与复数12＋16i互为共轭复数；
解：(2)由共轭复数的定义，得解得m＝1.
(3)复数z在复平面内对应的点在x轴上方.
解：(3)由题意知m2－2m－15＞0，解得m＜－3，或m＞5，∴实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞).
16. (15分)(2024·湖北武汉高一期中)已知复数z满足z＋i和均为实数.
(1)求复数z；
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋i＝a＋(b＋1)i，＝＝，
∵z＋i和均为实数，∴解得∴z＝2－i.
(2)若z1＝＋＋(m2＋m－3)i在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围.
解：(2)z1＝＋＋(m2＋m－3)i＝2＋i＋＋(m2＋m－3)i＝2＋＋(m2＋m－2)i，
∵z1＝＋＋(m2＋m－3)i在复平面内对应的点位于第四象限，∴解得－2＜m＜－，或0＜m＜1，
∴实数m的取值范围是∪(0，1).
17. (15分)已知复数z＝1＋bi(b∈R，i为虚数单位)，z在复平面上对应的点位于第四象限，且满足z·＝4.
(1)求实数b的值；
解：(1)依题意，点(1，b) 位于第四象限，则b＜0，由z·＝4，得(1＋bi)(1－bi)＝4，即b2＝3，∴b＝－，
(2)若复数z是关于x的方程px2＋2x＋q＝0(p≠0，且p，q∈R)的一个复数根，求p＋q的值.
解：(2)由(1)知，z＝1－i，由复数z是关于x的方程px2＋2x＋q＝0的根，
得p(1－i)2＋2(1－i)＋q＝0，整理得(－2p＋q＋2)－(2p＋2)i＝0，
而p，q∈R，
∴解得∴p＋q＝－5.
18. (17分)已知m∈R，复数z＝2m＋3＋(m－1)i.
(1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围；
解：(1)复数z在复平面内对应的点为(2m＋3，m－1)，
由z在复平面内对应的点位于第四象限，得解得－＜m＜1，∴m的取值范围是－＜m＜1.
(2)若z满足z＋3＝n＋4i，n∈R，求的值.
解：(2)依题意，z＋3＝2m＋3＋(m－1)i＋3[2m＋3－(m－1)i]＝4(2m＋3)－2(m－1)i＝n＋4i，
又m，n∈R，则解得m＝－1，n＝4，
＝＝＝＝－i，
∴＝＝.
19. (17分)现定义“n维形态复数”zn：zn＝cos nθ＋isin nθ，其中i为虚数单位，n∈N*，θ≠0.
(1)当θ＝时，证明：“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方.
证明：当θ＝时，zn＝cos n＋isin n，设“1维形态复数”为z1，则z1＝cos ＋isin ＝(1＋i)，“2维形态复数”为z2，则z2＝cos ＋isin ＝i，∵＝＝(1＋2i＋i2)＝i＝z2，∴“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方.
(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求sin的值.
解：∵“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，
∴cos 2θ＋isin 2θ＝cos 3θ＋isin 3θ，∴
解cos 2θ＝cos 3θ，得3θ＝2θ＋2kπ(k∈Z)，或3θ＋2θ＝2kπ(k∈Z)，解sin 2θ＝
sin 3θ，得3θ＝2θ＋2kπ(k∈Z)，或3θ＋2θ＝2kπ＋π(k∈Z)，由于两个方程同时成立，∴只能有3θ＝2θ＋2kπ(k∈Z)，即θ＝2kπ(k∈Z)，
∴sin＝sin＝sin ＝.第七章核心素养测评卷
复　数
满分150分，限时120分钟
一、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. (2025·陕西西安高一检测)已知复数z＝－2＋i，则(　 　)
A. z的虚部为i B. ｜z｜＝5 C. ＝－2－i D. z＞
2. (2025·北京西城期末)设i为虚数单位，a，b∈R，且a＋bi＝2i(1＋i)，则a＋b等于(　 　)
A. －4 B. 0 C. －4i D. 4
3. (2025·江苏无锡高一检测)已知复数z1＝2＋i，z2＝a－i(a∈R)，i为虚数单位.若复数z1－z2为纯虚数，则实数a的值为(　 　)
A. 1 B. 0 C. 2 D. －2
4. 已知i为虚数单位，若复数z＝(1－2i)2，则复数z在复平面上对应的点位于(　 　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. (2025·河南三门峡模拟)若复数z满足＝1＋i，则z等于(　 　)
A. i B. －i C. 1＋i D. 1－i
6. (2025·辽宁高三模拟)已知复数z满足(i2 022＋i1 011)z＝4i2 025，则复数z的虚部是(　 　)
A. －2 B. －2i C. 2 D. 2i
7. (2025·湖南长沙模拟)已知复数z满足｜z｜＝｜3－2z｜，且z的实部为2，则
｜z｜等于(　 　)
A. 2 B. C. 3 D. 5
8. (2025·山东济南高一检测)已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以表示为z＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角.已知z1＝r1·(cos θ1＋isin θ1)与z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)的乘积z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，则将向量＝(1， 2)绕原点O按逆时针方向旋转90°，长度变为原来的2倍后，得到向量的坐标为(　 　)
A. (2， －4) B. (－4， 2) C. (－2， 4) D. (4， －2)
二、 多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. (2025·江苏无锡高一检测)已知i为虚数单位，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. i2 025＝i B. 复数－2－i的虚部为－i
C. 若复数z为纯虚数，则｜z｜2＝z2 D. 若z为复数，则z·为实数
10. (2025·云南玉溪高一检测)已知a，b∈R，关于x的方程x2＋ax＋b＝0的一个根是z1＝1－2i，另一个根是z2，其中i是虚数单位，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 复数z1对应的点在第四象限 B. ab＝－10
C. ＝z2 D. z1＜z2
11. (2025·山东临沂高一检测)欧拉公式(eiθ＝cos θ＋isin θ，其中i是虚数单位，e＝2.718…，θ∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令θ＝π，可得eiπ＋1＝0.它又将自然界中的两个重要的无理数π和e、实数单位1、虚数单位i以及复数中的0巧妙地结合在一起，被数学家们誉为“上帝公式”“宇宙第一公式”“最美公式”等.下列关于欧拉公式的叙述，正确的有(　 　)
A. e2 025πi－1＝0 B. 复数e3i对应的点位于第二象限
C. ｜exi｜＝1 D. ()＝
三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. (2025·天津滨海新高一检测)已知a∈R，若复数z＝4a2－3a－1＋(a－1)i是纯虚数，则a的值为 .
13. 在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是 .
若｜z1－z2｜＝1，则称z1与z2互为“邻位复数”.已知复数z1＝a＋i与z2＝
1＋bi(a，b∈R)互为“邻位复数”，则a2＋b2的最大值是 .
四、 解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，求满足下列条件的实数m的值或取值范围.
(1)复数z与复数2－12i相等；
(2)复数z与复数12＋16i互为共轭复数；
(3)复数z在复平面内对应的点在x轴上方.
16. (15分)(2024·湖北武汉高一期中)已知复数z满足z＋i和均为实数.
(1)求复数z；
(2)若z1＝＋＋(m2＋m－3)i在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围.
17. (15分)已知复数z＝1＋bi(b∈R，i为虚数单位)，z在复平面上对应的点位于第四象限，且满足z·＝4.
(1)求实数b的值；
(2)若复数z是关于x的方程px2＋2x＋q＝0(p≠0，且p，q∈R)的一个复数根，求p＋q的值.
18. (17分)已知m∈R，复数z＝2m＋3＋(m－1)i.
(1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围；
(2)若z满足z＋3＝n＋4i，n∈R，求的值.
19. (17分)现定义“n维形态复数”zn：zn＝cos nθ＋isin nθ，其中i为虚数单位，n∈N*，θ≠0.
(1)当θ＝时，证明：“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方.
(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求sin的值.

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