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(共30张PPT)
第十章核心素养测评卷
高中数学 必修 第二册
概　率
满分150分，限时120分钟
一、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1. (2025·辽宁沈阳高一期末)某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽
取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么该厂这20万件产品中
合格产品约有(　C　)
A. 1万件 B. 18万件 C. 19万件 D. 2万件
【解析】 由题意知，合格率为P＝ ＝ ，∴合格品数量约为
20× ＝19(万件).
C
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2. (2025·湖北孝感高二期中)甲、乙两人各加工一个零件，加工为一等
品的概率分别为 和 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两
个零件中恰好有一个一等品的概率为(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 恰好有一个一等品的概率P＝ × ＋ × ＝
＋ ＝ .
C
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3. (2025·山东威海高一期末)现有甲、乙两支篮球队进行比赛，甲队每
场获胜的概率为 ，且各场比赛的结果互不影响.若比赛采用“三局两
胜”制，则甲队获得最终胜利的概率为(　A　)
A. B. C. D.
【解析】 若比赛两场甲获胜，则概率为 × ＝ ；若比赛三场甲获胜，则概率为 × × ＋ × × ＝ ，∴甲获得最终胜利的概率为 ＋
＝ .
A
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4. (2025·江苏盐城模拟)已知随机事件A和B，下列说法中，正确的是
(　D　)
A. 若B A，则P(A∪B)＝P(B) B. 若B A，则P(AB)＝P(A)
C. 若A，B互斥，则P(AB)＝1 D. 若A，B对立，则P(A∪B)＝1
【解析】 对于A，若 B A，则 A∪B＝A，∴P(A∪B)＝P(A)，而非
P(B)，A错误；对于B，若 B A，则 A∩B＝B，∴ P(AB)＝P(B)，而
非P(A)，B错误；对于C，若A和B互斥，则 A∩B＝ ，∴P(AB)＝0，而非 1，C错误；对于D，若A和B对立，则A∪B为必然事件，∴P(A∪B)＝1，D正确.
D
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5. (2025·安徽黄山一模)已知A，B，C是三种电子信息传递元件，第
一次由A元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传
递给另外两个元件中的任何一个，则第三次传递后，信息在A元件中的
概率为(　B　)
A. B. C. D.
B
【解析】 依题意，三次传递所有的传递方法有：A→B→A→B；
A→B→A→C；A→B→C→A；A→B→C→B；A→C→A→B；
A→C→A→C；A→C→B→A；A→C→B→C，则共有8种传递方
法.第三次传递后，信息在A元件中的有两种情况，∴第三次传递后，
信息在A元件中的概率P＝ ＝ .
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6. 从集合{0，1，2，3}中随机地取一个数a，从集合{3，4，6}中随机地
取一个数b，则向量m＝(b，a)与向量n＝(－1，2)垂直的概率为(　D　)
A. B. C. D.
D
【解析】 依题意，样本空间包含的样本点有(3，0)，(3，1)，(3，2)，
(3，3)，(4，0)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(6，0)，(6，1)，(6，2)，
(6，3)，共12个.由m·n＝－b＋2a＝0，得b＝2a，则m⊥n包含的样
本点有(4，2)，(6，3)，共2个，∴向量m＝(b，a)与向量n＝(－1，2)
垂直的概率P＝ ＝ .
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7. 学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，若
这一天下雨，则推迟至后一天；若这三天都下雨，则推迟至下一周.已
知这三天每天下雨的概率均为 ，则这周能进行决赛的概率为(　D　)
A. B. C. D.
D
【解析】 设这周能进行决赛为事件A，恰好在周三、周四、周五进行
决赛分别为事件A3，A4，A5，则A＝A3∪A4∪A5，又事件A3，A4，A5
两两互斥，∴P(A)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝ ＋ × ＋
× × ＝ .
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8. (2025·上海高三模拟)投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于 2；
事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数，则下列关于以上事件的说
法，正确的是(　C　)
A. A与B是互斥事件 B. A与B是对立事件
C. A与C是独立事件 D. B与C是独立事件
C
【解析】 依题意，事件A＝{3，4，5，6}，事件B＝{1，2，3}，事件
C＝{2，4，6}，∴A与B不是互斥事件，显然不可能是对立事件，A，B
错误；∵P(AC)＝ ＝ ，又P(A)＝ ＝ ，P(C)＝ ＝ ，∴P(AC)＝
P(A)P(C)，∴A与C是独立事件，C正确；∵P(BC)＝ ，又P(B)＝
＝ ，∴P(BC)≠P(B)P(C)，∴B与C不是独立事件，D错误.
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二、 多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，
有选错的得0分)
9. 设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一
次.记事件A＝“第一个四面体向下的一面出现偶数”；事件B＝“第
二个四面体向下的一面出现奇数”；C＝“两个四面体向下的一面同时
出现奇数，或者同时出现偶数”.下列结论中，正确的有(　ABC　)
A. P(A)＝ B. P(B)＝ C. P(AB)＝ D. P(ABC)＝
ABC
【解析】 由古典概型知P(A)＝ ＝ ，P(B)＝ ＝ ，A，B正确；A，
B是相互独立事件，P(AB)＝ × ＝ ，C正确；又AB与C为互斥事
件，∴P(ABC)＝0，则P(ABC)≠ ，D错误.
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10. 有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个
事件有(　BD　)
A. 至少有1件次品与至多有1件正品 B. 至少有1件次品与都是正品
C. 至少有1件次品与至少有1件正品 D. 恰有1件次品与恰有2件正品
BD
【解析】 对于A，至少有1件次品与至多有1件正品，都包含“一件正
品，一件次品”，∴不是互斥事件，A错误；对于B，至少有1件次品包
含“一件正品，一件次品”“两件次品”，与“两件都是正品”是对立
事件，B正确；对于C，至少有1件次品与至少有1件正品都包含着“一
件正品，一件次品”，∴不是互斥事件，C错误；对于D，恰有1件次品
与恰有2件正品是互斥而不对立事件，D正确.
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11. (2025·江西高一期末)抛掷两枚大小相同且质地均匀的骰子，设事件
A表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件B表示“第二枚掷出的点数
为偶数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示
“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则(　BC　)
A. A与B是互斥事件 B. A与B是相互独立事件
C. P(C∪D)＝ D. A∩B与C是对立事件
BC
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【解析】 事件A与事件B能同时发生，∴事件A，B不是互斥事件，A
错误；∵P(A)＝ ＝ ，P(B)＝ ＝ ，P(AB)＝ ＝ ，∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴A与B互不影响，B正确；事件C＝{(1，5)，(2，4)，
(3，3)，(4，2)，(5，1)}，事件D＝{(1，6)}，不可能同时发生，∴事件
C与D互斥，∴P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝ ＋ ＝ ，C正确；A∩B
表示“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，A∩B＝{(1，2)，
(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)}，
C＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，事件A∩B与事件C不是
对立事件，D错误.
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三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 掷一枚质地均匀的骰子，已知事件A＝“掷出大于2的奇数点”，
B＝“掷出偶数点”，C＝“掷出的点数小于3”，则BC＝ ；
A∪B＝ ； ＝ (用集合表示).
【解析】 ∵A＝“掷出大于2的奇数点”，B＝“掷出偶数点”，C＝
“掷出的点数小于3”，∴BC＝{2}，A∪B＝{2，3，4，5，6}， ＝
{1，3，5}.
{2}　
{2，3，4，5，6}　
{1，3，5}　
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13. (2025·上海长宁高二期末)甲、乙两人下棋，每局两人获胜的可
能性一样.某天，两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1
000元奖金.甲连胜两局后，因有其他要事而中止比赛.甲分
元奖金才公平.
【解析】 甲连胜两局后，乙最后获胜三局的情况为后面三局必须乙
胜，其概率为 × × ＝ ，即甲最终获胜的概率为 ，乙最终获胜的
概率为 ，∴甲分奖金1 000× ＝875(元)才公平.
875　
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14. (2025·黑龙江牡丹江高二检测)如图所示，从1开始出发，一次移动
是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向右上或向
右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→
3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线.从1移动到数字n(n＝2，3，
…，11)的不同路线条数记为rn，从1移动到11的事件中，跳过数字n(n＝2，3，…，10)的概率记为pn，则p5的值为 .
　
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【解析】 由题意可知r2＝1，r3＝2，rn＋1＝rn＋rn－1(n≥3)，则r4＝3，
r5＝5，r6＝8，r7＝13，r8＝21，r9＝34，r10＝55，r11＝89，作树状
图，如图所示，
1→5的所有路线
5→11的所有路线
计算出1→5的路线共有5条，5→11的路线共有13条，∴过数字5的路线
共有5×13＝65条，则p5＝ ＝ .
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四、 解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
15. (13分)(2025·上海长宁高二期末)有4个相同的球，分别标有数字1，
2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.
(1)写出这个试验的样本空间Ω；
解：(1)依题意，这个试验的样本空间为
Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，
4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}.
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(2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取
出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明
理由.
解：(2)事件A和事件B相互独立，理由如下：
∵A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)}，B＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，
(4，1)}，∴P(A)＝ ＝ ，P(B)＝ ＝ ，
∵A∩B＝{(1，4)}，∴P(AB)＝ ，∵P(A)×P(B)＝ ＝P(AB)，
∴事件A和事件B相互独立.
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16. (15分) 一个工人负责看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三
台机床不需要看管的概率分别为0.9，0.8，0.8，在一小时内，试求：
(1)三台机床都不需要看管的概率；
解：(1)设“第一、二、三台机床不需要看管”分别为事件A1，A2，
A3，由题意A1，A2，A3相互独立，且设“三台机床都不需要看管”为
事件B，则P(B)＝P(A1A2A3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＝0.9×0.8×0.8＝0.576.
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(2)恰有两台机床需要看管的概率；
解：(2)设“恰有两台机床需要看管”为事件C，
∴P(C)＝P( A3＋A1 ＋ A2 )＝P( A3)＋P(A1 )
＋P( A2 )＝0.1×0.2×0.8＋0.9×0.2×0.2＋0.1×0.8×0.2＝
0.068.
(3)至少有一台机床需要看管的概率.
解：(3)设“至少有一台机床需要看管”为事件D，它的对立事件为
“没有一台机床需要看管”，
则P(D)＝1－P()＝1－P(B)＝1－0.576＝0.424.
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17. (15分)某报社发起“永远跟党走”主题征文比赛，活动中收到了大
量来自社会各界的文章，报社从中选取了60篇文章，打算以专栏形式刊
登在报纸上，已知这些文章的作者各不相同，且年龄都集中在[15，65]
内，根据统计结果，作出频率分布直方图如图所示.
(1)求m的值；
解：(1)由频率分布直方图可知10×(0.01＋
0.015＋m＋0.03＋0.01)＝1，∴m＝0.035.
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(2)估计这60名作者年龄的中位数(结果精确到0.01)；
解：(2)∵前两组频率之和为0.1＋0.15＝0.25，
前三组频率之和为0.25＋0.35＝0.6，∴中位数在[35，45)内，
∴中位数的估计值为35＋10× ＝35＋ ≈42.14.
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(3)为了展示不同年龄作者心中党的形象，报社按照各年龄段人数的比
例，用分层随机抽样的方法从这60篇文章中抽出20篇文章，并邀请相应
作者参加座谈会.若从参加座谈会的年龄在[15，35)内的作者中随机选
出2人作为代表发言，求这2人中至少有1人的年龄在[15，25)内的概率.
解：(3)由题可知抽出的20篇文章的作者中，年龄在[15，25)内的有
20×0.01×10＝2(人)，记为a1，a2，
年龄在[25，35)内的有20×0.015×10＝3(人)，记为b1，b2，b3，
现从这5个人中选出2人，所有不同的结果有10种：a1a2，a1b1，a1b2，
a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，b1b2，b1b3，b2b3.
至少有1人的年龄在[15，25)内对应的不同的结果有7种：
a1a2，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，∴所求概率P＝ .
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18. (17分)已知盒中有大小和质地相同的红球、黄球、蓝球共6个.若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是 ，得到黄球或蓝球的概率是 .
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
解：(1)设盒中红球有a个，黄球有b个，则蓝球有(6－a－b)个，
由题意得
∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为2，1，3.
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(2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为
1，2，3，4，5，6.现在从盒中有放回地随机抽取两次，每次抽取一个
球.将第一、二次取出的小球的编号分别记为m，n.
①写出一个等可能的样本空间Ω；
解：(2)①∵抽取小球是有放回地随机抽取两次，每次抽取一个球，
∴样本空间为Ω＝{(m，n)｜m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，
其中包含6×6＝36(个)样本点，并且每个样本点发生的可能性相同.
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②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于
9，则甲胜，否则乙胜.试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏
是否公平.
解：②∵红球的编号为1，2，黄球的编号为3，蓝球的编号为4，5，6.
根据规则，甲获胜的样本点有(1，3)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，(5，3)，(5，4)，
(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共19个样本点，
∴甲获胜的概率为P1＝ ，从而乙获胜的概率为P2＝ .∵P1≠P2，
∴这个游戏不公平.
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19. (17分)某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如
下：初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若
两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B类的4个问题中任选两
题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分.若两轮总得分不低于40
分，则晋级复赛.甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为
0.6，在A类的5个问题中，乙只能答对4个问题，在B类的4个问题中，
乙答对每个问题的概率都为0.4，甲、乙回答任一问题的正确与否互不
影响.
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(1)求乙在第一轮比赛中得20分的概率；
解：(1)将A类的5个问题编号为a，b，c，d，e，设乙能答对的4个问
题的编号为a，b，c，d.
第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，可用(x1，x2)表示选题结果，
其中x1，x2为所选题目的编号，样本空间为Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，
d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}，共
包含10个样本点.设事件E＝“乙在第一轮比赛中得20分”，则E＝
{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}，共包含6个样本
点，则乙在第一轮比赛中得20分的概率P＝ ＝0.6.
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(2)以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？
解：(2)甲晋级复赛分两种情况：①甲第一轮得20分且第二轮至少得20
分的概率为0.62×(1－0.42)＝0.302 4；
②甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为(1－0.62)×0.62＝0.230 4，
∴甲晋级复赛的概率P1＝0.302 4＋0.230 4＝0.532 8.乙晋级复赛分两
种情况：
①乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为0.6×[1－(1－0.4)2]＝
0.384；
②乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为(1－0.6)×0.42＝0.064，
∴乙晋级复赛的概率P2＝0.384＋0.064＝0.448.∵P1＞P2，∴甲更容
易晋级复赛.
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19第十章核心素养测评卷
概　率
满分150分，限时120分钟
一、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. (2025·辽宁沈阳高一期末)某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么该厂这20万件产品中合格产品约有(　C　)
A. 1万件 B. 18万件 C. 19万件 D. 2万件
【解析】 由题意知，合格率为P＝＝，∴合格品数量约为20×＝19(万件).
2. (2025·湖北孝感高二期中)甲、乙两人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为(　C　)
A. B. C. D.
【解析】 恰好有一个一等品的概率P＝×＋×＝＋＝.
3. (2025·山东威海高一期末)现有甲、乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛的结果互不影响.若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得最终胜利的概率为(　A　)
A. B. C. D.
【解析】 若比赛两场甲获胜，则概率为×＝；若比赛三场甲获胜，则概率为××＋××＝，∴甲获得最终胜利的概率为＋＝.
4. (2025·江苏盐城模拟)已知随机事件A和B，下列说法中，正确的是(　D　)
A. 若B A，则P(A∪B)＝P(B) B. 若B A，则P(AB)＝P(A)
C. 若A，B互斥，则P(AB)＝1 D. 若A，B对立，则P(A∪B)＝1
【解析】 对于A，若 B A，则 A∪B＝A，∴P(A∪B)＝P(A)，而非P(B)，A错误；对于B，若 B A，则 A∩B＝B，∴ P(AB)＝P(B)，而非P(A)，B错误；对于C，若A和B互斥，则 A∩B＝ ，∴P(AB)＝0，而非 1，C错误；对于D，若A和B对立，则A∪B为必然事件，∴P(A∪B)＝1，D正确.
5. (2025·安徽黄山一模)已知A，B，C是三种电子信息传递元件，第一次由A元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个，则第三次传递后，信息在A元件中的概率为(　B　)
A. B. C. D.
【解析】 依题意，三次传递所有的传递方法有：A→B→A→B；A→B→A→C；A→B→C→A；A→B→C→B；A→C→A→B；A→C→A→C；A→C→B→A；A→C→
B→C，则共有8种传递方法.第三次传递后，信息在A元件中的有两种情况，
∴第三次传递后，信息在A元件中的概率P＝＝.
6. 从集合{0，1，2，3}中随机地取一个数a，从集合{3，4，6}中随机地取一个数b，则向量m＝(b，a)与向量n＝(－1，2)垂直的概率为(　D　)
A. B. C. D.
【解析】 依题意，样本空间包含的样本点有(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，0)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(6，0)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，共12个.由m·n＝－b＋2a＝0，得b＝2a，则m⊥n包含的样本点有(4，2)，(6，3)，共2个，∴向量m＝(b，a)与向量n＝(－1，2)垂直的概率P＝＝.
7. 学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，若这一天下雨，则推迟至后一天；若这三天都下雨，则推迟至下一周.已知这三天每天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为(　D　)
A. B. C. D.
【解析】 设这周能进行决赛为事件A，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件A3，A4，A5，则A＝A3∪A4∪A5，又事件A3，A4，A5两两互斥，∴P(A)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝＋×＋××＝.
8. (2025·上海高三模拟)投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于 2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数，则下列关于以上事件的说法，正确的是(　C　)
A. A与B是互斥事件 B. A与B是对立事件
C. A与C是独立事件 D. B与C是独立事件
【解析】 依题意，事件A＝{3，4，5，6}，事件B＝{1，2，3}，事件C＝{2，4，6}，∴A与B不是互斥事件，显然不可能是对立事件，A，B错误；∵P(AC)＝＝，又P(A)＝＝，P(C)＝＝，∴P(AC)＝P(A)P(C)，∴A与C是独立事件，C正确；∵P(BC)＝，又P(B)＝＝，∴P(BC)≠P(B)P(C)，∴B与C不是独立事件，
D错误.
二、 多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次.记事件A＝“第一个四面体向下的一面出现偶数”；事件B＝“第二个四面体向下的一面出现奇数”；C＝“两个四面体向下的一面同时出现奇数，或者同时出现偶数”.下列结论中，正确的有(　ABC　)
A. P(A)＝ B. P(B)＝ C. P(AB)＝ D. P(ABC)＝
【解析】 由古典概型知P(A)＝＝，P(B)＝＝，A，B正确；
A，B是相互独立事件，P(AB)＝×＝，C正确；又AB与C为互斥事件，∴P(ABC)＝0，则P(ABC)≠，D错误.
10. 有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件有(　BD　)
A. 至少有1件次品与至多有1件正品
B. 至少有1件次品与都是正品
C. 至少有1件次品与至少有1件正品
D. 恰有1件次品与恰有2件正品
【解析】 对于A，至少有1件次品与至多有1件正品，都包含“一件正品，一件次品”，∴不是互斥事件，A错误；对于B，至少有1件次品包含“一件正品，一件次品”“两件次品”，与“两件都是正品”是对立事件，B正确；对于C，至少有1件次品与至少有1件正品都包含着“一件正品，一件次品”，∴不是互斥事件，C错误；对于D，恰有1件次品与恰有2件正品是互斥而不对立事件，D正确.
11. (2025·江西高一期末)抛掷两枚大小相同且质地均匀的骰子，设事件A表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则(　BC　)
A. A与B是互斥事件 B. A与B是相互独立事件
C. P(C∪D)＝ D. A∩B与C是对立事件
【解析】 事件A与事件B能同时发生，∴事件A，B不是互斥事件，A错误；∵P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴A与B互不影响，B正确；事件C＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，事件D＝{(1，6)}，不可能同时发生，∴事件C与D互斥，∴P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝，C正确；A∩B表示“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，A∩B＝{(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)}，C＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，事件A∩B与事件C不是对立事件，D错误.
三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 掷一枚质地均匀的骰子，已知事件A＝“掷出大于2的奇数点”，B＝“掷出偶数点”，C＝“掷出的点数小于3”，则BC＝　{2}　；A∪B＝　{2，3，4，5，6}　；＝　{1，3，5}　(用集合表示).
【解析】 ∵A＝“掷出大于2的奇数点”，B＝“掷出偶数点”，C＝“掷出的点数小于3”，∴BC＝{2}，A∪B＝{2，3，4，5，6}，＝{1，3，5}.
13. (2025·上海长宁高二期末)甲、乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某天，两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1 000元奖金.甲连胜两局后，因有其他要事而中止比赛.甲分　875　元奖金才公平.
【解析】 甲连胜两局后，乙最后获胜三局的情况为后面三局必须乙胜，
其概率为××＝，即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为，
∴甲分奖金1 000×＝875(元)才公平.
14. (2025·黑龙江牡丹江高二检测)如图所示，从1开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向右上或向右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线.从1移动到数字n(n＝2，3，…，11)的不同路线条数记为rn，从1移动到11的事件中，跳过数字n(n＝2，3，…，10)的概率记为pn，则p5的值为　　.
【解析】 由题意可知r2＝1，r3＝2，rn＋1＝rn＋rn－1(n≥3)，则r4＝3，r5＝5，r6＝8，r7＝13，r8＝21，r9＝34，r10＝55，r11＝89，作树状图，如图所示，
1→5的所有路线
5→11的所有路线
计算出1→5的路线共有5条，5→11的路线共有13条，∴过数字5的路线共有5×13＝65条，则p5＝＝.
四、 解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)(2025·上海长宁高二期末)有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.
(1)写出这个试验的样本空间Ω；
解：(1)依题意，这个试验的样本空间为
Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}.
(2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由.
解：(2)事件A和事件B相互独立，理由如下：
∵A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)}，B＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，
∵A∩B＝{(1，4)}，∴P(AB)＝，∵P(A)×P(B)＝＝P(AB)，∴事件A和事件B相互独立.
16. (15分) 一个工人负责看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三台机床不需要看管的概率分别为0.9，0.8，0.8，在一小时内，试求：
(1)三台机床都不需要看管的概率；
解：(1)设“第一、二、三台机床不需要看管”分别为事件A1，A2，A3，由题意A1，A2，A3相互独立，且设“三台机床都不需要看管”为事件B，
则P(B)＝P(A1A2A3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＝0.9×0.8×0.8＝0.576.
(2)恰有两台机床需要看管的概率；
解：(2)设“恰有两台机床需要看管”为事件C，
∴P(C)＝P(A3＋A1＋A2)＝P(A3)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1×0.2×0.8＋0.9×0.2×0.2＋0.1×0.8×0.2＝0.068.
(3)至少有一台机床需要看管的概率.
解：(3)设“至少有一台机床需要看管”为事件D，它的对立事件为“没有一台机床需要看管”，则P(D)＝1－P()＝1－P(B)＝1－0.576＝0.424.
17. (15分)某报社发起“永远跟党走”主题征文比赛，活动中收到了大量来自社会各界的文章，报社从中选取了60篇文章，打算以专栏形式刊登在报纸上，已知这些文章的作者各不相同，且年龄都集中在[15，65]内，根据统计结果，作出频率分布直方图如图所示.
(1)求m的值；
解：(1)由频率分布直方图可知10×(0.01＋0.015＋m＋0.03＋0.01)＝1，∴m＝0.035.
(2)估计这60名作者年龄的中位数(结果精确到0.01)；
解：(2)∵前两组频率之和为0.1＋0.15＝0.25，前三组频率之和为0.25＋0.35＝0.6，∴中位数在[35，45)内，∴中位数的估计值为35＋10×＝35＋≈42.14.
(3)为了展示不同年龄作者心中党的形象，报社按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这60篇文章中抽出20篇文章，并邀请相应作者参加座谈会.若从参加座谈会的年龄在[15，35)内的作者中随机选出2人作为代表发言，求这2人中至少有1人的年龄在[15，25)内的概率.
解：(3)由题可知抽出的20篇文章的作者中，
年龄在[15，25)内的有20×0.01×10＝2(人)，记为a1，a2，
年龄在[25，35)内的有20×0.015×10＝3(人)，记为b1，b2，b3，
现从这5个人中选出2人，所有不同的结果有10种：a1a2，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，b1b2，b1b3，b2b3.
至少有1人的年龄在[15，25)内对应的不同的结果有7种：
a1a2，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，∴所求概率P＝.
18. (17分)已知盒中有大小和质地相同的红球、黄球、蓝球共6个.若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
解：(1)设盒中红球有a个，黄球有b个，则蓝球有(6－a－b)个，
由题意得
∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为2，1，3.
(2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6.现在从盒中有放回地随机抽取两次，每次抽取一个球.将第一、二次取出的小球的编号分别记为m，n.
①写出一个等可能的样本空间Ω；
解：(2)①∵抽取小球是有放回地随机抽取两次，每次抽取一个球，∴样本空间为
Ω＝{(m，n)｜m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中包含6×6＝36(个)样本点，并且每个样本点发生的可能性相同.
②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9，则甲胜，否则乙胜.试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平.
解：②∵红球的编号为1，2，黄球的编号为3，蓝球的编号为4，5，6.根据规则，甲获胜的样本点有(1，3)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共19个样本点，∴甲获胜的概率为P1＝，从而乙获胜的概率为P2＝.∵P1≠P2，∴这个游戏不公平.
19. (17分)某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分.若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛.甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为0.6，在A类的5个问题中，乙只能答对4个问题，在B类的4个问题中，乙答对每个问题的概率都为0.4，甲、乙回答任一问题的正确与否互不影响.
(1)求乙在第一轮比赛中得20分的概率；
解：(1)将A类的5个问题编号为a，b，c，d，e，设乙能答对的4个问题的编号为a，b，c，d.
第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，可用(x1，x2)表示选题结果，其中x1，x2为所选题目的编号，样本空间为Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}，共包含10个样本点.设事件E＝“乙在第一轮比赛中得20分”，则E＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}，共包含6个样本点，则乙在第一轮比赛中得20分的概率P＝＝0.6.
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？
解：(2)甲晋级复赛分两种情况：①甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为0.62×(1－0.42)＝0.302 4；
②甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为(1－0.62)×0.62＝0.230 4，∴甲晋级复赛的概率P1＝0.302 4＋0.230 4＝0.532 8.乙晋级复赛分两种情况：
①乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为0.6×[1－(1－0.4)2]＝0.384；
②乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为(1－0.6)×0.42＝0.064，∴乙晋级复赛的概率P2＝0.384＋0.064＝0.448.∵P1＞P2，∴甲更容易晋级复赛.第十章核心素养测评卷
概　率
满分150分，限时120分钟
一、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. (2025·辽宁沈阳高一期末)某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么该厂这20万件产品中合格产品约有(　 　)
A. 1万件 B. 18万件 C. 19万件 D. 2万件
2. (2025·湖北孝感高二期中)甲、乙两人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为(　 　)
A. B. C. D.
3. (2025·山东威海高一期末)现有甲、乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛的结果互不影响.若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得最终胜利的概率为(　 　)
A. B. C. D.
4. (2025·江苏盐城模拟)已知随机事件A和B，下列说法中，正确的是(　 　)
A. 若B A，则P(A∪B)＝P(B) B. 若B A，则P(AB)＝P(A)
C. 若A，B互斥，则P(AB)＝1 D. 若A，B对立，则P(A∪B)＝1
5. (2025·安徽黄山一模)已知A，B，C是三种电子信息传递元件，第一次由A元件将信息传出，每次传递时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个，则第三次传递后，信息在A元件中的概率为(　 　)
A. B. C. D.
6. 从集合{0，1，2，3}中随机地取一个数a，从集合{3，4，6}中随机地取一个数b，则向量m＝(b，a)与向量n＝(－1，2)垂直的概率为(　 　)
A. B. C. D.
7. 学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，若这一天下雨，则推迟至后一天；若这三天都下雨，则推迟至下一周.已知这三天每天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为(　 　)
A. B. C. D.
8. (2025·上海高三模拟)投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于 2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数，则下列关于以上事件的说法，正确的是(　 　)
A. A与B是互斥事件 B. A与B是对立事件
C. A与C是独立事件 D. B与C是独立事件
二、 多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次.记事件A＝“第一个四面体向下的一面出现偶数”；事件B＝“第二个四面体向下的一面出现奇数”；C＝“两个四面体向下的一面同时出现奇数，或者同时出现偶数”.下列结论中，正确的有(　 　)
A. P(A)＝ B. P(B)＝ C. P(AB)＝ D. P(ABC)＝
10. 有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件有(　 　)
A. 至少有1件次品与至多有1件正品
B. 至少有1件次品与都是正品
C. 至少有1件次品与至少有1件正品
D. 恰有1件次品与恰有2件正品
11. (2025·江西高一期末)抛掷两枚大小相同且质地均匀的骰子，设事件A表示“第一枚掷出的点数为奇数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为偶数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则(　 　)
A. A与B是互斥事件 B. A与B是相互独立事件
C. P(C∪D)＝ D. A∩B与C是对立事件
三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 掷一枚质地均匀的骰子，已知事件A＝“掷出大于2的奇数点”，B＝“掷出偶数点”，C＝“掷出的点数小于3”，则BC＝ ；A∪B＝ ；＝ (用集合表示).
13. (2025·上海长宁高二期末)甲、乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某天，两人要进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得1 000元奖金.甲连胜两局后，因有其他要事而中止比赛.甲分 元奖金才公平.
14. (2025·黑龙江牡丹江高二检测)如图所示，从1开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向右上或向右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线.从1移动到数字n(n＝2，3，…，11)的不同路线条数记为rn，从1移动到11的事件中，跳过数字n(n＝2，3，…，10)的概率记为pn，则p5的值为 .
四、 解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)(2025·上海长宁高二期末)有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.
(1)写出这个试验的样本空间Ω；
(2)事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“两次取出的球的数字之和是5”.判断事件A和事件B是否相互独立，并说明理由.
16. (15分) 一个工人负责看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三台机床不需要看管的概率分别为0.9，0.8，0.8，在一小时内，试求：
(1)三台机床都不需要看管的概率；
(2)恰有两台机床需要看管的概率；
(3)至少有一台机床需要看管的概率.
17. (15分)某报社发起“永远跟党走”主题征文比赛，活动中收到了大量来自社会各界的文章，报社从中选取了60篇文章，打算以专栏形式刊登在报纸上，已知这些文章的作者各不相同，且年龄都集中在[15，65]内，根据统计结果，作出频率分布直方图如图所示.
(1)求m的值；
(2)估计这60名作者年龄的中位数(结果精确到0.01)；
(3)为了展示不同年龄作者心中党的形象，报社按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这60篇文章中抽出20篇文章，并邀请相应作者参加座谈会.若从参加座谈会的年龄在[15，35)内的作者中随机选出2人作为代表发言，求这2人中至少有1人的年龄在[15，25)内的概率.
18. (17分)已知盒中有大小和质地相同的红球、黄球、蓝球共6个.若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6.现在从盒中有放回地随机抽取两次，每次抽取一个球.将第一、二次取出的小球的编号分别记为m，n.
①写出一个等可能的样本空间Ω；
②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9，则甲胜，否则乙胜.试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平.
19. (17分)某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分.若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛.甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为0.6，在A类的5个问题中，乙只能答对4个问题，在B类的4个问题中，乙答对每个问题的概率都为0.4，甲、乙回答任一问题的正确与否互不影响.
(1)求乙在第一轮比赛中得20分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？

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