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四川乐山市2025-2026学年八年级下学期期末教学质量监测数学试题
一、单选题
1．当时，下列分式有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．当时，函数的函数值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知一组数据：，，，，，这组数据的平均数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，，周长等于24．则的长为（ ）
A．12 B．8 C．4 D．2
5．坐标为的点在（ ）
A．轴上 B．轴上 C．第三象限 D．第四象限
6．解分式方程的过程中，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．一枝蜡烛长厘米，点燃后每小时燃烧掉厘米，则下列图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度（厘米）与点燃时间（）之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
9．若、均不为0，将下列分式中的和都变为原来的2倍，分式值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知直线：与直线：交于点，交轴于点，交轴于点，将线段沿方向平移，当与重合时，线段扫过的面积为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
二、填空题
11．计算__________．
12．若9名学生的鞋号（单位：码）为：20，21，21，22，22，22，22，23，23，鞋厂最感兴趣的统计量是众数，则这个众数是_________．
13．如图，在中，，点D是的中点，，，则______．
14．若，则_______．
15．如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）．
16．若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线对称，则这两点就是互为镜面点，这条直线叫镜面直线，如图，和是以为镜面直线的镜面点．
（1）和是一对镜面点，则镜面直线为__________；
（2）以为镜面直线，的镜面点为__________．
三、解答题
17．计算：．
18．在平面直角坐标系中，平行于的直线经过点，求这条直线的解析式．
19．如图，四边形和都是平行四边形．求证：四边形是平行四边形．
20．已知是的反比例函数，且当时，．当取何值时，？
21．分别在七、八两个年级中各随机抽取了10名学生，统计这部分学生的体能测试成绩，相关数据统计、整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学体能测试成绩统计如下：72，83，72，92，79，69，78，85，76，94；
八年级10名同学体能测试成绩统计如下：86，71，93，83，80，74，75，80，76，82．
【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示：
成绩
七年级 1 5 2
八年级 0 4 5 1
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、方差如表：
年级 平均数 中位数 方差
七年级 80 c 64.4
八年级 80 37.6
【问题解决】根据以上信息完成下列问题：
(1) ； ； ；
(2)请你估计哪个年级的体能测试成绩更稳定，并说明理由．
22．某公司现要装配30台机器,在装配好6台以后，采用了新的技术,每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务，问原来每天装配机器有多少台？
23．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6．
(1)求值；
(2)求的面积．
24．如图，和都是等边三角形，．求证：四边形是平行四边形．
25．某数学兴趣小组在学习了三角形的中位线后，决定对三角形的中位线相关的面积问题进一步探究．
(1)【问题探究】如图1，在中，是边上的高，、分别是边和的中点，在内作矩形，点、在边上，若面积为24，．请计算的长和矩形的面积，并猜想面积和矩形面积的关系；
(2)【知识迁移】如图2，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，试说明；
(3)【拓展应用】如图3，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，若，且，，求四边形的面积．
26．在一堂数学活动课上，刘老师先引导学生探究了函数增减性的证明：
探索函数增减性的证明 我们知道，要比较、两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 根据这一事实，可以证明一次函数的增减性：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 证明：设一次函数，当自变量分别取、，且时，对应的函数值分别为，．它们的差为． 由假设可知，，这样，我们就得到如下结论： ①当时，，即，亦即．即随的增大而增大； ②当时，，即，亦即．即随的增大而减小．
(1)【类比迁移】请仿照上述方法对函数在范围内随的增大而减小给出证明．
(2)【问题再探】小乐在证明了函数在范围内随的增大而减小之后，发现：因为分母不为0，即，所以函数的自变量取值范围分为和两个部分．于是又尝试证明在时的增减性，他的证明过程如下：
证明：当自变量分别取、，且时，对应的函数值分别为、． 它们的差为． 由假设可知，，这样，我们就得到， 所以，亦即．即随的增大而增大．
请你判断小乐的证明过程有没有问题？请说明理由．
(3)【拓展运用】探究函数的增减性．
参考答案
1．B
【详解】选项A中，当时，分母为，此时分式无意义，不符合题意；
选项B中，当时，分母，此时分式有意义，符合题意；
选项C中，当时，分母为，此时分式无意义，不符合题意；
选项D中，当时，分母，此时分式无意义，不符合题意．
2．D
【详解】解：将 代入解析式得
．
3．A
【详解】这组数据共有个，数据总和为，
这组数据的平均数为．
4．C
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平行四边形的周长为24，
∴，
∴，
∴．
5．B
【详解】的横坐标为，
该点在轴上．
6．D
【详解】，
方程两边同时乘以得，，
即．
7．C
【详解】由题意得，，
与符合一次函数关系，图象为直线，且随的增大而减小，
四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意．
8．B
【详解】解：∵在矩形中，对角线与相交于点，
∴，
∵垂直平分线段，
∴．
9．D
【详解】解：将各选项中换为，换为，依次化简判断：
A．，
分式值改变，不符合题意；
B．，
分式值改变，不符合题意；
C．，
分式值改变，不符合题意；
D．，
替换后与原分式相等，分式值不变，符合题意．
10．B
【详解】已知直线为，且交轴于点，
令，解得，所以点的坐标为，
已知直线为，且交轴于点，
令，解得，所以点的坐标为，
所以．
联立直线和直线的方程组。
，
由，得，解得，
将代入中，可得，
∴交点的坐标为，
将线段沿方向平移，当与重合时，点动到点处，如图所示：
∵线段在轴上，且平移方向为，
∴线段扫过的图形是平行四边形，
∵点的坐标为，所以点到轴的距离为，
∴线段扫过的面积为．
11．
【详解】．
12．
【详解】解：统计题中各鞋号出现的次数：出现次，出现次，出现次，出现次．
其中出现的次数最多，因此这组数据的众数为．
13．5
【详解】解：∵在中，∠，，，
∴由勾股定理得，
∵点D是的中点，
∴，
故答案为：5．
14．3
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
15．①②或①③（填写一组即可）
【详解】解：当选择①；②时，
∵四边形是平行四边形，当，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形；
当选择①；③时，
∵四边形是平行四边形，当，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形；
当选择②；③，
由于四边形是平行四边形，若或，
均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意；
∴选择①②或①③均可以，
故答案为：①②或①③（填写一组即可）．
16．
【详解】（1）∵和，
∴的中点为，
∵镜面直线经过原点和，
设直线的解析式为，
∴，
∴镜面直线为；
（2）为镜面直线，
设是的镜面点，
∴的中点在上
∴
∴
又∵镜面直线垂直平分
∴
∴
∴
整理得，
又∵
∴
∴
∴
17．
【详解】解：
．
18．
【详解】解：设平行于的直线解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴这条直线的解析式为．
19．见详解
【详解】证明：∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝EF，且AD∥EF，
同理可得BC＝EF，且BC∥EF，
∴AD＝BC，且AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
20．当时，.
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
时，，
，
反比例函数的解析式为，
把代入，得，
解得，
当时，．
21．(1)2，80，78.5
(2)八年级体能测试成绩更稳定，因为七年级、八年级平均数相等，但八年级的方差比七年级低，成绩更稳定．
【详解】（1）解：七年级10名同学体能测试成绩统计如下：72，83，72，92，79，69，78，85，76，94；其中有83，85，
∴；
八年级10名同学体能测试成绩统计如下：86，71，93，83，80，74，75，80，76，82．
∴八年级平均数为：；
七年级10名同学体能测试成绩从小到大排序：69，72， 72，76，78，79，83，85，92，94；第5个数、第6个数分别是78，79，
∴；
（2）略
22．6台
【详解】解：设原来每天装配机器x台，依题意得：
解这个方程得：
经检验：是原方程的解
答：原来每天装配机器6台．
23．(1)
(2)
【详解】（1）解：∵轴，垂足为，面积为6
∴
∵反比例函数图象在第一象限
∴
∴；
（2）解：由（1）可得反比例函数解析式为
∵，在图像上，
∴，，
解得：
∴，
设直线的解析式为，代入，得
，解得：
∴直线的解析式为
当时，
解得：
∴
∴
∴
24．证明：连接，如图，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【详解】略．
25．(1)4；12；；
(2)证明：连接，交于点J，交于点K，
∵点H和点G分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
设点D到的距离为h，由（1）可知点D到的距离为，
∴，，
∴，
同理可得出：，
∵， ，
∴．
(3)48
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵、分别是边和的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵四边形是矩形，，
∴，
过点A作交的延长线与点，设与交点为P，
则，
∴四边形为矩形，四边形和四边形都为矩形，
∴，，，
∵E为的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积为：，
故猜想：；
∵，，，，
∴．
（2）略；
（3）解：连接，，，，，，
∵、、、分别是边、、、中点，
∴，，，分别是，，，的中位线，
∴，，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
由（2）的结论可知：．
26．(1)证明：∵反比例函数，且，
∴对应的函数值为，．
，
∵，；
∴，
则对函数在范围内随的增大而减小．
(2)小乐的证明过程有问题，正确结论为：函数在时，随的增大而减小，理由如下：
当自变量分别取、，且时，对应的函数值分别为、．
它们的差为．
由假设可知，，这样，我们就得到，
所以，亦即．即随的增大而减小．
(3)函数在区间，，上，均随的增大而减小．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：当自变量分别取、时，对应的函数值分别为、．
则
，
∵，
∴，
当时，
则，，，，
∴；
当时，
则，，，，
∴；
当时，
则，，，，
∴；
综上所述，函数在区间，，上，均随的增大而减小．

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