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2.1 等式性质与不等式性质
知识点一 用不等式(组)表示不等关系
【例1-1】将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】D
【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为.因为两段绳子长度之差不小于，所以，
化简得：.故选：D
【例1-2】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即，故选：D．
【变式】
1．下列说法正确的是（ ）
A．某人的月收入元不高于元可表示为“”
B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”
C．变量不小于可表示为“”
D．变量不超过可表示为“”
【答案】C
【解析】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错；
对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错；
对于C，变量不小于可表示为“”，C正确；
对于D，变量不超过可表示为“”，D错.
故选：C
2．公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得，，所以有.故选：B.
3．火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（ ）
A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节
C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节
【答案】C
【解析】设A、B货箱分别有x，y节，则，
A：共50节且，，满足；
B：共50节且，，满足；
C：共50节且，，不满足；
D：共50节且，，满足；
故选：C.
知识点二 作差法、作商法比较大小
【例2-1】设，，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】A
【解析】因为，所以.故选：A.
【例2-2】设，，则 （填入“＞”或“＜”）．
【答案】
【解析】∵，即.又，.故答案为：>.
【变式】
1．已知，设，则与的值的大小关系是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
当且仅当时等号成立，故.故选：D
2．（1） ; （2） ;
（3） ; （4） ,;
（5）
【答案】 < < < > >
【解析】（1）因为,所以;
（2）因为,所以;
（3）因为,所以;
（4）,因为,所以,则;
（5）,因为,所以,则.
故答案为:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）.
3．从下列三组式子中选择一组比较大小：
①设，比较的大小；
②设，比较的大小；
③设，比较的大小.
注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.
【答案】①；②；③；
【解析】解：①
，
因为，所以，即；.
②
，.
③
方法一（作差法）
，
因为，所以，所以，所以.
..
方法二（作商法）因为，所以，
所以，所以..
知识点三 不等式的性质
【例3-1】下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】对于A：当时，显然不成立，故A错误；
对于B：因为，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：因为，所以，故D错误.
故选：B.
【例3-2】已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，满足，但，故充分性不成立，
若，当时，必有成立，当时，必有，故必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件，故B正确.
故选：B
【变式】
1．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，当，时，满足，但是，故A错误；
对于B，当，时，满足，但是，故B错误；
对于C，当，时，满足，但是，故C错误；
对于D，因为，所以，即，故D正确.
故选：D
2．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，D正确；
当时，满足，但是，A,C不正确；
当时，满足，但是，B不正确；
故选：D
3．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，或，则，即充分性成立；
当时，，则，即必要性成立；
综上可知，“”是“”的充要条件.
故选：C.
4．已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，即，故选项A正确；
当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误；
当时，由可得，故选项D错误.故选:A．
知识点四 不等式的性质求取值范围
【例4-1】已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，，所以，故选：D
【例4-2】已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则有，解得，
所以，
又因为，所以，
又因为，所以，即.故选：B.
【变式】
1．若，则下列各式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，又，则.故选：D.
2．已知，，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，故，
即.故选：D
3．（多选）已知，则下列结果正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得，所以A正确；
对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确；
对于C中，由，可得，所以，所以C错误；
对于D中，由，可得，所以D错误.
故选：AB.
4．如果，则
（1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ；
（3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 .
【答案】
【解析】由①，②，
得：，,
由②得：③，
由①③得：，
由②得：④，
由①④得：．
故答案为：，，，
单选题
1．如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，根据面积公式可以得到.故选:C．
2．已知且，，则、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【解析】已知.则，
所以，
，因此，.
故选:C.
3．已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，，
又，所以.
故选：D.
4．若，下列不等式中不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A：，又，知：，但无法确定符号，错误；
B：，，故，正确；
C：由，知，即，正确；
D：由，有，正确；
故选：A
5．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】D
【解析】对于A：当时，，A错误；
对于B：当时，，B错误；
对于C：取满足，，而，此时，C错误；
对于D：当时，则，所以，即，又，所以，D正确.
故选：D.
6．如果，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】对A，取，则，故A错；
对B，取，则，故B错；
对C，取，则，故C错；
对D，由于，所以，，且，则，
则，故D正确；
故选：D.
7．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大 小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大 小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ）
A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱
【答案】C
【解析】依题意可设买大竹子，每根单价为，
购买小竹子，每根单价为，
所以，
即，即，
因为，
所以，
根据选项，，
所以买大竹子根，每根元.
故选：C
8．对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则．
【答案】C
【解析】A选项，，故A错误；
B选项，，因不清楚的正负情况，故B错误；
C选项，当时，；
当时，，
当时，，
综上，故C正确；
D选项，，故D错误.故选：
多选题
9．已知实数x，y满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为，，则，，故A、C正确；
由题，故，B错误；
，则，故，D正确；
故选：ACD.
10．设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，由和不等式性质可得，故A正确；
对于B，因，若取，，，，
则，，所以，故B错误；
对于C，因，若取，，，，
则，，所以，故C错误；
对于D，因为，则，又因则，
由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确．
故选：AD．
11．已知，下列选项中是“”的充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A，因为，所以，故A符合题意；
对于B，因为，所以，所以，即，故B符合题意；
对于C，因为，所以，即，故C符合题意；
对于D，取，但有，故D不符合题意.
故选：ABC.
填空题
12．若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为 ．
【答案】a＜b
【解析】因为b－a＝2（x＋2）2－（x＋1）（x＋3）＝2x2＋8x＋8－（x2＋4x＋3）＝x2＋4x＋5＝（x＋2）2＋1＞0，所以a＜b.
13．已知，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可知，，
，，则，所以.
故答案为：
14．给出下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若a，b是非零实数，且，则；
④若，则
其中正确的命题是 ．（填对应序号即可）
【答案】③④
【解析】对①，当时，结论错误，故①错误；
对②，当时，即，故结论错误；
对③，因为是非零实数，所以，所以即，故③成立；
对④因为，所以即；即，所以，故④正确.
故答案为：③④
解答题
15．比较下列两式大小：
(1)与
(2)与
（3）已知，试比较与的大小.
（4）已知，试比较和的大小.
【答案】(1)
(2)
（3）
（4）
【解析】（1）解：由，
所以.
（2）解：由，
所以．
（3）由，
因为，，可得，所以.
（4）（方法1）因为，所以.
所以.
因为，所以，即；
（方法2）所以，
又，
所以 , 所以.
16．（1）如果，，求，，的取值范围.
（2）已知，满足，，求的取值范围.
（3）实数a，b满足，.
①求实数a，b的取值范围；
②求的取值范围.
【答案】（1），，；（2）（3）①②
【解析】（1）因为，，
所以，，，
所以，；
（2）设，，
则，解得，
所以，
又，，
所以，则，
所以的取值范围是.
（3）①∵，∴，.
②，
因为，所以，
又，所以，
所以.
17．现有四个长方体容器，的底面积均为，高分别为；的底面积均为，高分别为（其中）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有，有几种？请加以证明.
【答案】有，只有1种，证明见详解
【解析】设A，，，的体积分别为，，，，
每人从四种容器中取两个容器有三种对应情况：，
因为，
因为，的大小关系不确定，故与大小无法确定，
故不管先取者取，还是，都不能确保胜利；
因为，
因为，的大小关系不确定，故与大小无法确定，
故不管先取者取，还是，都不能确保胜利；
因为，
所以，即先取者先取，必可保证胜利；
综上，先取者有必胜方案，且只有种，就是先取．
18．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.
【答案】(1)若，，则．
(2)若，，且，则．
【解析】（1）解：设糖水b克，含糖a克，易知糖水浓度为，
加入m克糖后的糖水浓度为，
则提炼出的不等式为：若，，则．
（2）设淡糖水克，含糖克，易知淡糖水浓度为，
设浓糖水克，含糖克，易知浓糖水浓度为，
则混合后的糖水浓度为，
所提炼出的不等式为：若，，且，则．
19．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数．使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值（直接写结果，无需推导）．
【答案】(1)上位点“坐标”和下位点坐标分别为和
(2)点既是点的“下位点”又是点的“上位点”，证明见解析
(3)4039
【解析】（1）由，
根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和．
（2）点既是点的“下位点”又是点的“上位点”，证明如下：
点是点的“上位点”， ，，
，
，点是点的“下位点”，
，
，点是点的“上位点”；
点既是点的“下位点”又是点的“上位点”；
（3）若正整数满足条件，在,时恒成立，
由（2）中的结论可知，，时，满足条件，
若，由于，
则对，时不恒成立，
因此，的最小值为4039．2.1 等式性质与不等式性质
知识点一 用不等式(组)表示不等关系
【例1-1】将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（ ）
A． B．或 C． D．
【例1-2】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（ ）．
A． B． C． D．
【变式】
1．下列说法正确的是（ ）
A．某人的月收入元不高于元可表示为“”
B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”
C．变量不小于可表示为“”
D．变量不超过可表示为“”
2．公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
3．火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（ ）
A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节
C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节
知识点二 作差法、作商法比较大小
【例2-1】设，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【例2-2】设，，则 （填入“＞”或“＜”）．
【变式】
1．已知，设，则与的值的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
2．比较大小
（1） ; （2） ;（3） ;
（4） ,;（5）
3．从下列三组式子中选择一组比较大小：
①设，比较的大小；
②设，比较的大小；
③设，比较的大小.
注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.
知识点三 不等式的性质
【例3-1】下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【例3-2】已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式】
1．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点四 不等式的性质求取值范围
【例4-1】已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．若，则下列各式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）已知，则下列结果正确的有（ ）
A． B．
C． D．
4．如果，则
（1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ；
（3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 .
单选题
1．如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知且，，则、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．若，下列不等式中不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
6．如果，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大 小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大 小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ）
A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱
8．对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则．
多选题
9．已知实数x，y满足，，则（ ）
A． B． C． D．
10．设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（ ）
A． B． C． D．
11．已知，下列选项中是“”的充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
填空题
12．若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为 ．
13．已知，则的取值范围是 .
14．给出下列命题：
①若，则； ②若，则；
③若a，b是非零实数，且，则； ④若，则
解答题
15．比较下列两式大小：
(1)与
(2)与
（3）已知，试比较与的大小.
（4）已知，试比较和的大小.
16．（1）如果，，求，，的取值范围.
（2）已知，满足，，求的取值范围.
（3）实数a，b满足，.
①求实数a，b的取值范围；
②求的取值范围.
17．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）现有四个长方体容器，的底面积均为，高分别为；的底面积均为，高分别为（其中）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定与大小的情况下有没有必胜的方案？若有，有几种？请加以证明.
18．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？
(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.
19．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数．使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值（直接写结果，无需推导）．

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