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第一章 集合与常用逻辑用语
考点一 元素的互异性
1．已知集合，，则（ ）
A． B．或1 C．3 D．
2．已知集合只有一个元素，则实数的值为（ ）
A．1或0 B．0 C．1 D．1或2
3．已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（多选）已知集合，若，则的取值为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
考点二 集合的关系
1．若集合，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．,
2．已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合.若，则的最大值为（ ）
A．2 B．0 C． D．-2
4．已知集合满足 ，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（多选）已知集合，若集合满足且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．C．集合的个数为6 D．集合的个数为5
6．已知集合．
(1)若，为常数，求实数m的取值范围．
(2)若，为常数，求实数m的取值范围．
(3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
考点三 集合间的关系
1．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合，，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选）已知全集，，则下列选项正确的为（ ）
A． B．的不同子集的个数为8
C． D．
5．设集合，，.
(1)若，求实数的值；
(2)若且，求实数的值.
6．设全集为，集合．
(1)求及；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
考点四 充分条件与必要条件
1．若，，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分必要
2．已知集合，，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（多选）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ）
A． B．0 C．3 D．
4．（多选）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
考点五 全称量词与存在量词
1．命题，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知集合，，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知命题：“，”为真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
一、单选题
1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是（ ）
A．不存在实数x，使x≤1 B．对任意实数x，都有x≤1
C．存在实数x，使x≤1 D．对任意实数x，都有x>1
2．已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为
A． B． C．或 D．或
3．设集合，若且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若集合,集合,且,则（ ）
A． B． C． D．
5．设集合，．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0，1 D．﹣1，0，1
8．已知集合，集合，且，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知非空集合，，均为的真子集，且 .则（ ）
A． B． C． D．
11．已知全集，，则下列选项正确的为（ ）
A． B．的不同子集的个数为8
C． D．
三、填空题
12．已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 .
13．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ．
14．已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．设集合，，
(1)若，求，；
(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．
16．设集合，集合.
(1)若“，”为假命题，求实数m的取值范围；
(2)若中有只有三个整数，求实数m的取值范围.
17．设为全集，集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知或．
(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19．设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：
①，且Q中至少有两个元素；
②对于任意，当，都有；
③对于任意，若，则；
则称集合Q为集合P的“耦合集”．
(1)若集合，求集合P1的“耦合集”；
(2)集合，且，若集合存在“耦合集”．
（i）求证：对于任意，有；
（ii）求集合的“耦合集”的元素个数．第一章 集合与常用逻辑用语
考点一 元素的互异性
1．已知集合，，则（ ）
A． B．或1 C．3 D．
【答案】D
【解析】因，，故有：或，
由解得：或，由解得：，
又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意.
故选：D.
2．已知集合只有一个元素，则实数的值为（ ）
A．1或0 B．0 C．1 D．1或2
【答案】A
【解析】若集合只有一个元素，则方程只有一个解，
当时，方程可化为，满足题意，
当时，方程只有一个解，则，解得，
所以或.
故选：.
3．已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为，
所以，解得或
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，.
故选：B.
4．（多选）已知集合，若，则的取值为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】CD
【解析】由于，则或，解得或或，
当时，，满足条件;
当时，，满足条件;
当时，，不满足互异性，舍去.
所以的取值为1或3.
故选：CD.
考点二 集合的关系
1．若集合，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．,
【答案】C
【解析】，∴方程无解，即，
解得：，则实数的范围为，
故选：C.
2．已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
即，故选项D正确，选项A、B、C错误.故选：D.
3．已知集合.若，则的最大值为（ ）
A．2 B．0 C． D．-2
【答案】C
【解析】由于，所以，故的最大值为，故选：C
4．已知集合满足 ，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】由题意知中必有元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个，
所以集合的个数等价于集合的非空子集的个数，即，
故选：C.
5．（多选）已知集合，若集合满足且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．集合的个数为6 D．集合的个数为5
【答案】BC
【解析】，当时，方程的解为或；
当时，方程的解为，
得，A选项错误，B选项正确；
由且，则，共6个．
C选项正确，D选项错误.
故选：BC
6．已知集合．
(1)若，为常数，求实数m的取值范围．
(2)若，为常数，求实数m的取值范围．
(3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【解析】（1）①若，满足，则，解得．
②若，满足，则解得．
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为．
（2）若，数轴表示如下：
依题意有即
此时m的取值范围是．
（3）假设存在满足题意的实数m．若，
则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m．
考点三 集合间的关系
1．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，，则.故选：D
2．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，，
当时，，
所以，
所以.
故选：A
3．已知集合，，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】或，，，
故，则的取值范围为.
故选：D
4．（多选）已知全集，，则下列选项正确的为（ ）
A． B．的不同子集的个数为8
C． D．
【答案】ABC
【解析】由题意得，
根据，,，，,
则；
作出Venn图:

则，A正确；
集合A中有3个元素，故A的不同子集的个数为，B正确；
由于，C正确；
因为，且，故，D错误，
故选：ABC.
5．设集合，，.
(1)若，求实数的值；
(2)若且，求实数的值.
【答案】(1)5
(2)
【解析】（1）由题可得，由，得.
从而2，3是方程的两个根，即，解得.
（2）因为，.
因为，又，所以，
即，，解得或.
当时，，则，不符合题意；
当时，，则且，故符合题意，
综上，实数的值为.
6．设全集为，集合．
(1)求及；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)或，
(2)
【解析】（1），
或，，
故或，
（2），
，
当集合时，，解得：；
当集合时，，解得：．
综上，实数的取值范围为．
考点四 充分条件与必要条件
1．若，，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分必要
【答案】C
【解析】由，得不出，
所以“”是“”的不充分条件，
又，得不出，
所以“”是“”的不必要条件，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：C.
2．已知集合，，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，又，，所以，
所以由推得出，故充分性成立；
由推不出，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．（多选）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】ABD
【解析】因为的两个根为3和5，所以，
是的充分不必要条件，所以是的真子集，
所以或或，
当时，满足即可，
当时，满足，所以，
当，满足，所以，
所以的值可以是0，，.
故选：ABD.
4．（多选）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】由题意，存在，使得，即，
当时，即时，的最小值为，故；
所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集，
结合选项可得，C和D项符合条件.故选：CD
考点五 全称量词与存在量词
1．命题，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】命题，，则为，.
故选：C.
2．已知集合，，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】命题“”为假命题，则命题的否定“”是真命题，
因为，，
所以，又因为，所以，
故选：C.
3．已知命题：“，”为真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由命题：“，”为真命题，即不等式在上恒成立，
可得，解得，所以实数的取值集合为.
（2）解：由“”是“”的充分条件，可得，
因为，，
当时，可得，解得，此时满足；
当时，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
一、单选题
1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是（ ）
A．不存在实数x，使x≤1 B．对任意实数x，都有x≤1
C．存在实数x，使x≤1 D．对任意实数x，都有x>1
【答案】B
【解析】特称命题的否定是全称命题，
命题“存在实数x，使x>1”的否定是：对任意实数，．故选：B．
2．已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】∵，是的必要不充分条件，
所以由能推出，而由推不出，，，
故选B.
3．设集合，若且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为集合，而且，
且，解得．
故选：C．
4．若集合,集合,且,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为,根据题意,故,
所以,
则,即,
当时,与集合的互异性矛盾,故舍去;
当,时,,符合题意,
所以.
故选：B.
5．设集合，．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，又，所以如图可得
或，解得或，即的取值范围是．

故选：C
6．已知，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ∵，，∴∴．故选：D．
7．已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0，1 D．﹣1，0，1
【答案】D
【解析】由题意可得，集合A为单元素集，
（1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，，
（2）当a≠0时 则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1，
当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，，
当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，．
综上所述，a的取值为﹣1，0，1．
故选：D．
8已知集合，集合，且，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知集合，
对于方程，解得，.
因为，则.
①当时，即时，成立；
②当时，即当时，因为，则，解得.
综上所述，的取值集合为.
故选：A.
二、多选题
9．已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因为，
又，所以，且，故A正确，B错误；
，，故C错误，D正确.
故选：AD.
10．已知非空集合，，均为的真子集，且 .则（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】因为 ，
对于选项A：可知，故A错误；
对于选项B：因为，所以为的真子集，故B错误；
对于选项C：可知为的真子集，故C正确；
对于选项D：因为为的真子集，且，
所以，故D正确；
故选：CD.
11．已知全集，，则下列选项正确的为（ ）
A． B．的不同子集的个数为8
C． D．
【答案】ABC
【解析】由题意得，
根据，,，，,
则；
作出Venn图:

则，A正确；
集合A中有3个元素，故A的不同子集的个数为，B正确；
由于，C正确；
因为，且，故，D错误，
故选：ABC.
三、填空题
12．已知集合，若的所有元素之和为12，则实数 .
【答案】
【解析】由题意可知：且，
当，则；当，则；当，则；
若，则，此时的所有元素之和为6，不符合题意，舍去；
若，则，此时的所有元素之和为4，不符合题意，舍去；
若且，则，故，解得或（舍去）；
综上所述：.
故答案为：.
13．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由，
因为不等式成立的一个充分不必要条件是，
所以有，等号不同时成立，，
当时，是不等式成立的充要条件，不符合题意，
所以，实数的取值范围为.
故答案为：.
14．已知集合.若的真子集个数是3，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】的真子集个数是3， 共有个元素，所以，.
若，则有，；
若，则有，无解.
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
15．设集合，，
(1)若，求，；
(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）因为，所以，
又，所以或，
所以，．
（2）由（1）知或，又中只有一个整数，
由图知，，且，+
解得，所以实数m的取值范围是．
16．设集合，集合.
(1)若“，”为假命题，求实数m的取值范围；
(2)若中有只有三个整数，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）由题意，知，则
①，即，得；
②，则，此时有或，解得，此时m无解；
综上：m的取值范围为.
（2）因，故中有只有三个整数时，可能为，0，1或0，1，2，
当时，，解得，即；
当时，，解得，无解；
综上：m的取值范围为.
17．设为全集，集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【解析】（1）（1）由题意可得，
当时，，
所以，
因为，
所以
（2）由(1)知，，
若，即，解得，此时满足；
若，要使，则，解得，
综上，若，所求实数的取值范围为
18．已知或．
(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【解析】（1）因为p：，所以p：，即，
因为p是q的充分条件，所以或，
解得或，即实数的取值范围是或；
（2）依题意，：，由（1）知p：，
又p是的必要不充分条件，所以，
解得，即实数m的取值范围是．
19设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：
①，且Q中至少有两个元素；
②对于任意，当，都有；
③对于任意，若，则；
则称集合Q为集合P的“耦合集”．
(1)若集合，求集合P1的“耦合集”；
(2)集合，且，若集合存在“耦合集”．
（i）求证：对于任意，有；
（ii）求集合的“耦合集”的元素个数．
【答案】(1)或或
(2)（i）证明见详解；（ii）5
【解析】（1）由已知条件②得：的可能元素为：6，8，10；
检验可知均满足条件③，所以，
检验可知：或也符合题意，
所以或或.
（2）（ⅰ）因为，，
由已知条件②得的可能元素为：，
由条件③可知，且，
可得，
同理可得，
所以对于任意，有；
（ⅱ）因为，由（ⅰ）可知：，
则，即，
同理可得：，则，
又因为的可能元素为：，
即，
假设还存在其他元素，
因为，可知，
由集合性质可知：或，
则或，
即或，假设不成立，
所以不存在其他元素，所以共5个元素.

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