资源简介

2.2 基本不等式
知识点一 基本不等式的理解
【例1-1】不等式中，等号成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立，故选：.
【例1-2】下列说法正确的是（ ）
A．最小值为2 B．最大值为2
C．最小值为2 D．最大值为2
【答案】C
【解析】当时，，当且仅当即时，等号成立；
当时，，
当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误；
任意，，当且仅当时，
即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确；
当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大，所以无最大值，
故D错误.故选：C.
【例1-3】（多选）下列判断正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A选项，当时，，A错；
对于B选项，当时，，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，B对；
对于C选项，因为，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，C对；
对于D选项，因为，则，则，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
但，故等号不成立，所以，，D对.
故选：BCD.
【变式】
1．当时，函数（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4
【答案】A
【解析】，，
，当且仅当时等号成立，
故选：A
2．下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；
对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；
对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；
对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.
故选：C.
3．（多选）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于选项A，不满足的要求，所以A不能直接用基本不等式求最大（小）值，故A错误；
对于选项B，∵，，∴，当且仅当即时等号成立，所以B能直接用基本不等式求最小值，故B正确；
对于选项C，∵，，∴，当且仅当即时等号成立，
所以C能直接用基本不等式求最小值，故C正确；
对于选项D，当或时不满足和是正数的要求，所以D不能直接用基本不等式求最大（小）值，故D错误；故选：BC.
知识点二 常数替换型
【例2-1】已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等.
故的最小值为.
故选：B.
【例2-2】已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
所以，
当且仅当时取等号，最小值为.
故选：B.
【例2-3】已知均为实数且，则的最小值为 .
【答案】1
【解析】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即等号成立，
所以的最小值为1.
故答案为：1.
【例2-4】已知，，则的最小值为 .
【答案】
【解析】令，则，且，
所以，又，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立.
故答案为：.
【变式】
1．已知，，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】，，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：B.
2．若正数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】由正数，满足，
得，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
故选：B
3．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】D
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故选：D
4．已知，且，则的最小值是
【答案】
【解析】由可得，，因,
则
，当且仅当时等式成立，
即时，的最小值是.
故答案为：.
5．若正实数满足，则最小值为
【答案】
【解析】由于都为正数，且．
由
，当且仅当，时，
即时，等号成立.所以有最小值．
故答案为：．
6．已知，，且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，
所以
当且仅当，即取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
7．若，且，则的最小值为 .
【答案】/0.8
【解析】，，，
，
，
，当且仅当时，即时取等号．
故答案为：．
8．已知，，则的最小值为 .
【答案】12
【解析】令，则，且，所以．
又，所以，
当且仅当，即，时等号成立．故答案为：12.
知识点三 配凑型
【例3-1】函数 的最小值是（ ）
A． B．3 C．6 D．12
【答案】A
【解析】
因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立
故最小值为，
故选：A
【例3-2】已知正实数x，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
又因为，所以，
所以，当且仅当时，即时等号成立，
所以，
即y的最大值是.
故选：D.
【例3-3】若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：B.
【变式】
1．函数 的最大值为 .
【答案】/
【解析】因为，则，
所以
≤，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
2．函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】由，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以原函数的最小值为.
故答案为：
3．已知，则函数的最小值是 ．
【答案】
【解析】因为，
当且仅当，即时，等号成立.
所以函数的最小值是
故答案为:.
4．已知，的最小值为 .
【答案】
【解析】由，则，
当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．
故答案为：
5．函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为，令，则，
又因为，可得，
因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
知识点四 求参数的取值范围
【例4-1】对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不等式恒成立
，，且
当且仅当，即时取等号
，即解得故实数的取值范围是故选：C
【例4-2】（多选）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
由任意，恒成立， 所以，
符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错；
故选：ACD
【变式】
1．已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，故，，
，，故，
当且仅当，即时取等号，故，
最小值是16，由不等式恒成立可得.
a的取值范围是，
故选：B.
2．对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】不等式恒成立，即，
因为正实数满足，所以
，
当且仅当即，时等号成立，
则实数的取值范围.
故答案为：.
3．（多选）已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】ABC
【解析】由，，则，
即恒成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即，
即，
解得或.
故选：ABC.
知识点五 基本不等式解决实际问题
【例5】某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.
(1)求值；
(2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数；
(3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？
（注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用）
【答案】(1)
(2)
(3)该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元.
【解析】（1）由题意可知，当时，，所以，解得；
（2）由于，故，
由题意知，当年生产吨时，年生产成本为：，
当销售吨时，年销售收入为：，
由题意，，
即.
（3）由（2）知：，
即
，
当且仅当，又，即时，等号成立.
此时，.
该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元.
【变式】
1．如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设.
现规划了如下三项工程：
工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；
工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元；
工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.
记这三项工程的总造价为亿元.
(1)求实数的取值范围；
(2)问点在何处时，最小，并求出该最小值.
【答案】(1)
(2)当点满足时，最小，最小值为亿元.
【解析】（1）因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，
所以，解得：
直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，
所以，解得：,
故实数的取值范围为.
（2）依题意可得：
，
当且仅当，即时取等.
所以当点满足时，最小，最小值为亿元.
2．函数的图象经过第一象限的点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为．
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)求四边形（为坐标原点）面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由函数的图象经过第一象限的点，
则，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，
因为恒成立，即恒成立，即恒成立，
由，解得，
即实数的取值范围.
（2）解：由题意，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为，
可得，则四边形为矩形，所以面积为，
因为，且，
可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得，所以四边形面积的最大值为.
重难点一 利用基本不等式比较大小
【例6-1】设正实数a、b满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A：由，则，仅当时等号成立，故，错误；
B：由，仅当时等号成立，故，正确；
C：由，仅当时等号成立，故，错误；
D：由，仅当时等号成立，故，错误.
故选：B
【例6-2】（多选）已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】A选项，，故，
当时，，即，
当时，，即，
A可能成立，也可能不成立，
B选项，，
因为，所以，
当时，，
当时，，
故B可能成立，也可能不成立；
C选项，因为，所以，故，
所以，而，
故，即，C一定正确；
D选项，若，由基本不等式得，
两个等号成立的条件为，
但，不妨设，
此时，
当时，显然，
故可能成立，也可能不成立，D正确.
故选：ABD
【变式】
1．（多选）若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】A：由题设，当且仅当时取等号，对；
B：由题设，当且仅当时取等号，
所以，对；
C：，
当且仅当时取等号，对；
D：，当且仅当时取等号，错.
故选：ABC
2．（多选）若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】因为，，，
对于A，，当且仅当时，等号成立，所以，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，取，，得，故D错误.
故选：ABC
3．（多选）已知,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】解:由题知,当时,
,
故选项A,D错误;
根据算术平均数大于等于调和平均数,
所以,即,
由
,
当且仅当,即时,等号成立,
因为,所以,
此时,
故,故选项B正确.
因为,所以,
即,当且仅当,
即时,等号成立,
所以,
故选项C正确.
故选:BC
4．（多选）若，且，则在四个数中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由于，则，
又，所以，
又，即.
故选：ABD
重难点二 利用基本不等式证明不等式
【例7-1】已知，，且，证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1），
因为，，，则，当且仅当时等号成立，
所以；
（2）
，
由（1）有，有，，有，，
有，当且仅当时等号成立，
所以．
【变式】
1．已知正实数a，b，c满足.
(1)求的最小值；
(2)证明：，
【答案】(1)9
(2)证明见解析
【解析】（1）因为，所以，
由
，
当且仅当时取等号，
即的最小值是9；
（2）由
，
当且仅当时取等号，故.
2．已知.
(1)求证：；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)8.
【解析】（1），则，当且仅当时取等号，
所以.
（2）由，且，得，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值8.
3．对于题目：已知，，且，求最小值．
甲同学的解法：因为，，所以，，从而，所以的最小值为．
乙同学的解法：因为，，所以．所以的最小值为．
丙同学的解法：因为，，所以．
(1)请对三位同学的解法正确性作出评价（需评价同学错误原因）；
(2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：
（i）已知，，且，求的最小值；
（ii）设，，都是正数，求证：．
【答案】(1)甲错误，乙、丙正确
(2)（i）；（ii）证明见解析
【解析】（1）甲错误，乙、丙正确，
同学甲的解法中，取等号时，，此时，不符合题目要求，故甲错误.
乙恒等变换后，直接用基本不等式，满足基本不等式的使用条件“一正”“二定”“三相等”解法正确.
丙用了两次基本不等式，两次等能同时取得，解法正确；
（2）（i），，
，
当且仅当即时等号成立.
（ii）因为，，为正数，
由基本不等式可得，，当且仅当取等号，
，当且仅当取等号，
，当且仅当取等号，
以上三式相加有，
即，当且仅当时取等号.
4．已知，，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）由，所以．
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以，由此得证．
（2）因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，由此得证．
单选题
1．已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是（　　）
A． B．2 C．4
【答案】D
【解析】，等号成立条件是，即时取等号，
即当且仅当时取等号，所以ab的最大值是4.故选：D.
2．若，则的最小值是（ ）
A．1 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，取得最小值，
故选：D．
3．下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，的最小值是
C．当时， D．当时，的最小值为1
【答案】C
【解析】对于A，当时，，故A错误，
对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误，
对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确，
对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误，
故选：C
4．若正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】因为正数满足，所以.
所以,
当且仅当，即时，取等号，
当时，取得的最小值为.
故选：A.
5．已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知
，
所以可得；
当且仅当，即时，等号成立；
依题意需满足，所以.
故选：D
6．若，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】因为.所以.
当且仅当“”即时取“=”.故选：B.
7．已知正实数x，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，又因为，所以，
所以，当且仅当时，即时等号成立，
所以，即y的最大值是.故选：D.
8．已知，满足，则的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．2
【答案】D
【解析】由，得，而，则有，
因此，，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为2.故选：D
多选题
9．下列选项中正确的是（ ）
A．若正实数x，y满足，则
B．当时，不等式的最小值为3
C．不等式恒成立
D．存在实数，使得不等式成立
【答案】AD
【解析】对于A，若正实数x，y满足，则，
当且仅当，即，时等号成立，故A正确；
对于B，时，，则有，
当且仅当时，即时等号成立，故该题等号不能成立，所以不等式的最小值不为3，故B错误；
对于C，不等式恒成立的条件是，，比如取，时，不等式不成立，故C错误；
对于D，当为负数时，不等式成立，比如取，不等式成立，故D正确.
故选：AD.
10．（多选题）下列各式中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】A项，首先要使式子有意义，，
当时，，故A错误；
B项，任意，，
当且仅当时，即时，等号成立.
但方程无解，故等号取不到，即，故B错误；
C项，首先要使式子有意义，则，
则，当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为；
D项，首先要使式子有意义，则，
则，当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：CD.
11．已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最小值 D．有最小值
【答案】AB
【解析】对于A，由，得，当且仅当，即，时取等号，故A正确；
对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确；
对于C，由，得，
所以，
当且仅当，即，即时取等号，故C错误；
对于D，有，
而由于和不相等，从而它们不能同时为零，所以，故D错误.故选：AB.
填空题
12．已知实数，，且，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】因为，，且，
则，
当且仅当，即，时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
13．已知且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为且，所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
14．当时，函数的最小值为___________．
【答案】
【解析】因为，则，则，
当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
解答题
15．利用基本不等式求下列式子的最值：
(1)若，求的最小值，并求此时x的值；
(2)已知x，y＞0，且x+4y=1，求xy的最大值；
(3)若，求的最大值．
【答案】(1)4，；
(2)
(3)．
【解析】（1），当且仅当时取等，
故最小值为4，此时；
（2），当且仅当时取等，
故最大值为.
（3），当且仅当时取等，
故所求最大值为.
16．（1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）函数 的最小值为？
（3）已知x，y是正实数，且，求的最小值．
【答案】（1）；（2） ；（3）．
【解析】（1），
当且仅当，即时取等号．
故取得最大值时，的值为．
（2）
．（）
当且仅当，即时取等号．
故函数的最小值为．
（3）x，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为．
17．（1）若，且，
求：（i）的最小值；
（ii）的最小值.
（2）求的最小值.
【答案】（1）（i）（ii）；（2）32
【解析】（1）（i）由，及基本不等式，可得，
故，当且仅当，即时等号成立，
的最小值为64；
（ii），，，
，当且仅当且，
即，时等号成立，即 取得最小值18；
（2）由可得
当且仅当，即时等号成立
故的最小值为32.
18．已知关于的不等式的解集为．
(1)求实数，的值；
(2)正实数，满足．
①求的最小值；
②若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)①；②
【解析】（1）由题意可得和是关于的方程的两个根，
由根与系数的关系可得，解得．
（2）①由（1）可得，
又，，所以当且仅当时取等号，
所以或（舍去），
所以的最小值为，当且仅当，时取等号.
②因为，且，所以，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
因为恒成立，所以恒成立，
则，即实数的取值范围为.
19．党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．
(1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式；
(2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？
【答案】(1)，
(2)的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）．
【解析】（1）解：由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，
则，
，．
（2）解：由（1）可得，
，
当且仅当，即时等号成立，此时．
所以的最大值为（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为（百万元），（百万元）．2.2 基本不等式
知识点一 基本不等式的理解
【例1-1】不等式中，等号成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】下列说法正确的是（ ）
A．最小值为2 B．最大值为2
C．最小值为2 D．最大值为2
【例1-3】（多选）下列判断正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．当时，函数（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4
2．下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（ ）
A． B． C． D．
知识点二 常数替换型
【例2-1】已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【例2-2】已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】已知均为实数且，则的最小值为 .
【例2-4】已知，，则的最小值为 .
【变式】
1．已知，，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．若正数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
4．已知，且，则的最小值是
5．若正实数满足，则最小值为
6．已知，，且，则的最小值为 .
7．若，且，则的最小值为 .
8．已知，，则的最小值为 .
知识点三 配凑型
【例3-1】函数 的最小值是
【例3-2】已知正实数x，则的最大值是
【例3-3】若，则的最大值是
【变式】
1．函数 的最大值为 .
2．函数的最小值为 ．
3．已知，则函数的最小值是 ．
4．已知，的最小值为 .
5．函数的最小值为 ．
知识点四 求参数的取值范围
【例4-1】对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
【例4-2】（多选）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
3．（多选）已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C．3 D．1
知识点五 基本不等式解决实际问题
【例5】某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.
(1)求值；
(2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数；
(3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？
（注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用）
【变式】
1．如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设.
现规划了如下三项工程：
工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；
工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元；
工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.
记这三项工程的总造价为亿元.
(1)求实数的取值范围；
(2)问点在何处时，最小，并求出该最小值.
2．函数的图象经过第一象限的点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为．
(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)求四边形（为坐标原点）面积的最大值．
重难点一 利用基本不等式比较大小
【例6-1】设正实数a、b满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（多选）已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．（多选）若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）已知,则（ ）
A． B．
C． D．
4．若，且，则在四个数中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
重难点二 利用基本不等式证明不等式
【例7-1】已知，，且，证明：
(1)；
(2)．
【变式】
1．已知正实数a，b，c满足.
(1)求的最小值；
(2)证明：，
2．已知.
(1)求证：；
(2)若，求的最小值.
3．对于题目：已知，，且，求最小值．
甲同学的解法：因为，，所以，，从而，所以的最小值为．
乙同学的解法：因为，，所以．所以的最小值为．
丙同学的解法：因为，，所以．
(1)请对三位同学的解法正确性作出评价（需评价同学错误原因）；
(2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：
（i）已知，，且，求的最小值；
（ii）设，，都是正数，求证：．
4．已知，，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
单选题
1．已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是（　　）
A． B．2 C．4
2．若，则的最小值是（ ）
A．1 B．4 C． D．
3．下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，的最小值是
C．当时， D．当时，的最小值为1
4．若正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
5．已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
7．已知正实数x，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，满足，则的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．2
多选题
9．下列选项中正确的是（ ）
A．若正实数x，y满足，则
B．当时，不等式的最小值为3
C．不等式恒成立
D．存在实数，使得不等式成立
10．（多选题）下列各式中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最小值 D．有最小值
填空题
12．已知实数，，且，则的最小值为 .
13．已知且，则的最小值为 .
14．当时，函数的最小值为___________．
解答题
15．利用基本不等式求下列式子的最值：
(1)若，求的最小值，并求此时x的值；
(2)已知x，y＞0，且x+4y=1，求xy的最大值；
(3)若，求的最大值．
16．（1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）函数 的最小值为？
（3）已知x，y是正实数，且，求的最小值．
17．（1）若，且，
求：（i）的最小值；
（ii）的最小值.
（2）求的最小值.
18．已知关于的不等式的解集为．
(1)求实数，的值；
(2)正实数，满足．
①求的最小值；
②若恒成立，求实数的取值范围．
19．党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．
(1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式；
(2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？

展开更多......

收起↑