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2026全国版中考数学
压轴题适应练(四)
1.已知二次函数y=-x2+bx与y=x2-bx的图象均过点A(4,0)和坐标原点O,这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示,P为线段OA的中点,过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B,C两点.给出下列结论:①b=2;②PB=PC;③以O,A,B,C为顶点的四边形可以为正方形;④若点B的横坐标为1,点Q在y轴上(Q,B,C三点不共线),则△BCQ周长的最小值为5+.其中,所有正确结论的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
图3
2.(2025·安徽合肥蜀山三模)如图,在矩形ABCD中,BC=4,AB=3,E为AD边上一点,将△ABE沿BE翻折到△FBE处,分别延长EF,BF,交BC,CD边于点G,H,连接DG交BH于点M.
(1)若∠ABE=30°,则BG=　　　　　;
(2)若FH=DH,则=　　　　　.
3.(2025·安徽)已知点A'在正方形ABCD内,点E在边AD上,BE是线段AA'的垂直平分线,连接A'E,A'B.
图1
图2
图3
(1)如图1,若BA'的延长线经过点D,AE=1,求AB的长.
(2)如图2,点F是AA'的延长线与CD的交点,连接CA'.
①求证:∠CA'F=45°;
②如图3,设AF,BE相交于点G,连接CG,DG,DA',若CG=CB,判断△A'DG的形状,并说明理由.
4.某公园的一种水上娱乐项目如图所示,数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图,如图1,人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为x轴,过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴,O为坐标原点,建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信息,设计了以下问题,请你解决.
图1
图2
(1)如图1,点B与地面的距离为2 m,水滑道最低点C与地面的距离为 m,点C到点B的水平距离为3 m,则水滑道ACB所在抛物线的解析式为　　　　　.
(2)如图1,腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12 m,人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不能少于3 m.若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称.
①请求出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式.
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内 请说明理由(水面与地面之间的高度差忽略不计).
(3)为消除安全隐患,公园计划对水滑道进行加固.如图2,水滑道已经有两条加固钢架,一条是水滑道距地面4 m的点M处竖直支撑的钢架MN,另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM.现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架,为了美观,要求这条钢架与BM平行,且与水滑道有唯一公共点,一端固定在钢架MN上,另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度(结果保留根号).
压轴题适应练(四)
1.已知二次函数y=-x2+bx与y=x2-bx的图象均过点A(4,0)和坐标原点O,这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示,P为线段OA的中点,过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B,C两点.给出下列结论:①b=2;②PB=PC;③以O,A,B,C为顶点的四边形可以为正方形;④若点B的横坐标为1,点Q在y轴上(Q,B,C三点不共线),则△BCQ周长的最小值为5+.其中,所有正确结论的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 ①∵二次函数y=-x2+bx与y=x2-bx的图象均过点A(4,0)和坐标原点O,P为线段OA的中点,∴P(2,0),两个函数图象的对称轴均为直线x=2,∴x=-=2,解得b=2,故①正确.
②如图1,过点B作BD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,
∴∠CEP=∠BDP=90°.由函数图象的对称性可知PE=DP.在△CEP和△BDP中,
∴△CEP≌△BDP(ASA),
∴PB=PC,故②正确.
③如图2,当点B,C分别在两个函数图象的顶点上时,BC⊥OA,点B,C的横坐标均为2.
由①可知两个函数的解析式分别为y=-x2+2x,y=x2-2x,∴B(2,2),C(2,-2),
∴BC=2-(-2)=4.
∵点A(4,0),∴OA=4,∴BC=OA.
∵BC⊥OA,∴此时以O,A,B,C为顶点的四边形为正方形,故③正确.
④如图3,作点B关于y轴的对称点B',连接B'C交y轴于点Q,此时△BCQ的周长最小,最小值为BQ+CQ+BC=B'Q+CQ+BC=B'C+BC.
∵点B的横坐标为1,
∴B(1,),点C的横坐标为3,
∴B'(-1,),C(3,-),
∴BC=,
B'C==5,
∴△BCQ周长的最小值为B'C+BC=5+,故④正确.故选D.
图1
图2
图3
2.(2025·安徽合肥蜀山三模)如图,在矩形ABCD中,BC=4,AB=3,E为AD边上一点,将△ABE沿BE翻折到△FBE处,分别延长EF,BF,交BC,CD边于点G,H,连接DG交BH于点M.
(1)若∠ABE=30°,则BG=　　　　　;
(2)若FH=DH,则=　　　　　.
答案 (1)2　(2)
解析 (1)在矩形ABCD中,∠A=90°,由翻折知∠ABE=∠EBF=30°,∠BFE=∠A=90°,BF=AB=3,∴∠BFG=180°-90°=90°,∠FBG=90°-30°-30°=30°,
∴BG==2.
(2)如图,过点G作GQ∥CD交BH于点Q,连接GH.
由翻折知BF=AB=3,∠EFB=∠A=90°,
∴∠BFG=90°.
∵∠HFG=∠BFG,∴∠HFG=90°.在矩形ABCD中,∠C=90°,CD=AB=3,BC=4.
在Rt△BCH中,BC2+CH2=BH2.
∵FH=DH,BH=BF+FH,∴42+(3-DH)2=(3+DH)2,解得DH=,
∴FH=,∴CH=CD-DH=.
∵∠C=90°,∴GC2+CH2=GH2,
即GC2+()2=GH2.
∵∠BFG=∠HFG=90°,∴FG2=BG2-BF2,GH2-FH2=FG2,∴BG2-BF2=GH2-FH2,∴(4-CG)2-32=GC2+()2-()2,解得GC=,∴BG=BC-GC=.
∵GQ∥CD,∴△BGQ∽△BCH,△GMQ∽△DMH,∴,即,
∴GQ=,∴.
3.(2025·安徽)已知点A'在正方形ABCD内,点E在边AD上,BE是线段AA'的垂直平分线,连接A'E,A'B.
图1
图2
图3
(1)如图1,若BA'的延长线经过点D,AE=1,求AB的长.
(2)如图2,点F是AA'的延长线与CD的交点,连接CA'.
①求证:∠CA'F=45°;
②如图3,设AF,BE相交于点G,连接CG,DG,DA',若CG=CB,判断△A'DG的形状,并说明理由.
(1)解 ∵BE是线段AA'的垂直平分线,∴A'E=AE=1,BA'=BA.在△ABE和△A'BE中,∴△ABE≌△A'BE(SSS),
∴∠BAE=∠BA'E=90°,∴∠EA'D=90°.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADB=45°,
∴∠DEA'=45°,∴DA'=EA'=1,
∴DE=,∴AD=AE+DE=1+,
∴AB=AD=1+.
(2)①证明 由(1)知BA=BA'=BC,∴∠BAA'=∠BA'A,∠BCA'=∠BA'C,∴∠AA'C=∠AA'B+∠CA'B=(180°-∠ABA')+(180°-∠CBA')=180°-45°=135°,∴∠CA'F=180°-∠AA'C=45°.
②解 △A'DG是等腰直角三角形,理由如下:
如图,过点C作CN⊥BG交BG于点M,交AB于点N.
∵CN⊥BG,CG=CB,∴M为BG的中点.
∵AA'⊥BE,
∴CN∥AF,∴MN是△ABG的中位线,
∴BN=AB.
∵∠ABE=90°-∠CBG=∠BCN,∠BAE=∠CBN=90°,在△ABE和△BCN中,
∴△ABE≌△BCN(ASA),
∴AE=BN=AB=AD.∴E为AD的中点,AG=GA',∴EG∥A'D,∴∠DA'G=∠EGA=90°.同理可证△ADA'≌△BAG(ASA),∴A'D=AG=A'G,∴△A'DG是等腰直角三角形.
4.某公园的一种水上娱乐项目如图所示,数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图,如图1,人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为x轴,过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴,O为坐标原点,建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信息,设计了以下问题,请你解决.
图1
图2
(1)如图1,点B与地面的距离为2 m,水滑道最低点C与地面的距离为 m,点C到点B的水平距离为3 m,则水滑道ACB所在抛物线的解析式为　　　　　.
(2)如图1,腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12 m,人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不能少于3 m.若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称.
①请求出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式.
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内 请说明理由(水面与地面之间的高度差忽略不计).
(3)为消除安全隐患,公园计划对水滑道进行加固.如图2,水滑道已经有两条加固钢架,一条是水滑道距地面4 m的点M处竖直支撑的钢架MN,另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM.现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架,为了美观,要求这条钢架与BM平行,且与水滑道有唯一公共点,一端固定在钢架MN上,另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度(结果保留根号).
解 (1)由题意,水滑道ACB所在抛物线的顶点C(-3,),
∴可设抛物线的解析式为y=a(x+3)2+.
∵B(0,2),∴2=a(0+3)2+.∴a=.
∴抛物线的解析式为y=(x+3)2+.
故答案为y=(x+3)2+.
(2)①∵抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称,∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称.
∵C(-3,),B(0,2),
∴抛物线BD的顶点为(3,),
∴此人腾空后的最大高度为 m.
设抛物线BD的解析式为y=a'(x-3)2+,
∵B(0,2),
∴a'(0-3)2+=2,
∴a'=-,
∴抛物线BD的解析式为y=-(x-3)2+.
②由①得y=-(x-3)2+.
令y=0,得0=-(x-3)2+.
∴x=8或x=-2(舍去).∴OD=8 m.
∵OE=12 m,
∴DE=12-8=4(m),4 m>3 m,
∴落点D在安全范围内.
(3)如图,由题意,EF即为所求钢架.
由(1)知水滑道ACB所在抛物线为y=(x+3)2+.
令y=4,得4=(x+3)2+,
∴x=-8或x=2(舍去),∴M(-8,4).
∵B(0,2),∴直线BM为y=-x+2.
∵EF∥BM,
∴可设直线EF为y=-x+m.
联立方程组
∴(x+3)2+=-x+m,
∴x2+8x-8m+16=0,
∴Δ=64-4(-8m+16)=0,∴m=0.
∴直线EF为y=-x,经过原点,即F与O重合.
∵M(-8,4),∴令x=-8,则y=-x=-×(-8)=2,∴EN=2 m,ON=8 m.
∵∠ENO=90°,
∴EF=EO==2(m),
∴这条钢架的长度为2 m.
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