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2026全国版中考数学
中档题提升练(一)
1.(2025·广西)如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠ABC=65°,.
(1)求证:△BOC≌△DOC;
(2)求∠ABD的度数.
2.(2025·陕西)如图,点O在△ABC的边AC上,以OC为半径的☉O与AB相切于点D,与BC相交于点E,EF为☉O的直径,FD与AC相交于点G,∠F=45°.
(1)求证:AB=AC;
(2)若sin A=,AB=8,求DG的长.
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点O为AC边上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与AB相切于点D,连接CD.
(1)求证:∠B=2∠ACD;
(2)若AC=8,BC=6,求☉O的半径.
4.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,OD平分∠AOC.
(1)求证:OD∥BC.
(2)延长DO交☉O于点E,连接CE交OB于点F,过点B作☉O的切线,交DE的延长线于点P.若,PE=1,求☉O的半径.
5.(2025·安徽合肥庐阳一模)如图,AB是半圆O的直径,点O为圆心,点C,D均在半圆上,连接AC,BD.过点C作半圆的切线交AB的延长线于点E.
(1)证明:∠BAC=∠BCE.
(2)若BC=CD,BE=2,CE=4,求BD的长.
中档题提升练(一)
1.(2025·广西)如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠ABC=65°,.
(1)求证:△BOC≌△DOC;
(2)求∠ABD的度数.
(1)证明 ∵,∴∠BOC=∠DOC.
∵OC=OC,OD=OB,
∴△BOC≌△DOC(SAS).
(2)解 ∵OC=OB,∴∠ABC=∠OCB=65°,
∴∠COB=180°-∠ABC-∠OCB=50°.
由(1)知△BOC≌△DOC,
∴∠DOC=∠BOC=50°,
∴∠AOD=180°-∠DOC-∠BOC=80°,
∴∠ABD=∠AOD=40°.
2.(2025·陕西)如图,点O在△ABC的边AC上,以OC为半径的☉O与AB相切于点D,与BC相交于点E,EF为☉O的直径,FD与AC相交于点G,∠F=45°.
(1)求证:AB=AC;
(2)若sin A=,AB=8,求DG的长.
(1)证明 如图,连接OD.
∵∠F=45°,∴∠DOE=2∠F=90°.
∵☉O与AB相切于点D,
∴AB⊥OD,∴∠ODA=∠DOE=90°,
∴AB∥OE,∴∠OEC=∠B.
∵OC=OE,∴∠OEC=∠C,
∴∠B=∠C,∴AB=AC.
(2)解 ∵sin A=,∴OA=OD.
∵OF=OC=OD,OA+OC=AC=AB=8,∠DOF=90°,
∴OD+OD=8,∴OD=3,
∴OF=3,∴OA=×3=5,DF==3,
∴AD==4.
∵AD∥OF,∴△AGD∽△OGF,
∴,
∴FG=DG,∴DF=FG+DG=DG+DG=DG=3,∴DG=.
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点O为AC边上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与AB相切于点D,连接CD.
(1)求证:∠B=2∠ACD;
(2)若AC=8,BC=6,求☉O的半径.
(1)证明 如图,连接OD.
∵AB为☉O的切线,
∴OD⊥AB,∴∠ODA=∠ODB=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠B+∠COD=180°.
∵∠AOD+∠COD=180°,∴∠B=∠AOD.
∵∠AOD=2∠ACD,∴∠B=2∠ACD.
(2)解 设☉O的半径为r,
则OD=OC=r,OA=8-r.
在Rt△ACB中,
∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB==10.
∵∠OAD=∠BAC,∠ADO=∠ACB,
∴△AOD∽△ABC,
∴,即,
解得r=3,即☉O的半径为3.
4.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,OD平分∠AOC.
(1)求证:OD∥BC.
(2)延长DO交☉O于点E,连接CE交OB于点F,过点B作☉O的切线,交DE的延长线于点P.若,PE=1,求☉O的半径.
(1)证明 如图,连接AC交OD于点H.
∵AB是☉O的直径,∴AC⊥BC.
∵OD平分∠AOC,∴∠AOD=∠COD,
∴,∴OD⊥AC,∴OD∥BC.
(2)解 ∵OE∥BC,∴△OEF∽△BCF,
∴,
∴设OE=5x,BC=6x.
∵AO=OB,OH∥BC,
∴AH=CH,∴OH=BC=3x.
∵PB是☉O的切线,
∴∠OBP=90°,∴∠PBO=∠AHO.
∵∠BOP=∠AOH,∴△AOH∽△POB,
∴,∴,解得x=,
∴OE=,
∴☉O的半径为.
5.(2025·安徽合肥庐阳一模)如图,AB是半圆O的直径,点O为圆心,点C,D均在半圆上,连接AC,BD.过点C作半圆的切线交AB的延长线于点E.
(1)证明:∠BAC=∠BCE.
(2)若BC=CD,BE=2,CE=4,求BD的长.
(1)证明 如图,连接OC,则OC=OA,
∴∠BAC=∠OCA.
∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°.
∵CE是半圆O的切线,
∴CE⊥OC,∴∠OCE=90°.
∵∠BCE+∠OCB=90°,∠OCA+∠OCB=90°,∴∠BCE=∠OCA,∴∠BAC=∠BCE.
(2)解 设OC交BD于点F,∵BC=CD,
∴,∴OC垂直平分BD,
∴FB=FD,∠OFB=∠OCE=90°.
∵OC2+CE2=OE2,且BE=2,CE=4,OB=OC,∴OC2+42=(2+OC)2,
∴OC=3,∴OB=3,∴OE=3+2=5.
∵BF⊥OC,EC⊥OC,∴FB∥CE,
∴△OFB∽△OCE,
∴,∴FB=CE=×4=,
∴BD=2FB=2×,∴BD的长为.
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