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2026全国版中考数学
中档题提升练(二)
1.某社团在课余时间用无人机为学校航拍宣传片,如图,△ABC为无人机某次空中飞行轨迹,D为BC延长线上一点,点A,B,C,D在同一平面内,∠B=30°,∠ACD=78.3°.若AC=80 m,求AB的长.(结果取整数,参考数据:sin 78.3°≈0.98,sin 48.3°≈0.75,cos 48.3°≈0.67,≈1.73)
2.(2025·安徽滁州三模)如图,某景区在同一平面上有A,B,C,D四个打卡点,为方便游客,部分打卡点之间修了小路,已知打卡点D在打卡点A的正东方向,AD∥CB,CD=4 km,打卡点D在打卡点C的北偏东26°方向,打卡点A在打卡点B的北偏西53°方向.求小路AB的长.
(结果取整数,参考数据:sin 64°≈0.90,tan 64°≈2.05,sin 37°≈0.60,tan 37°≈0.75)
3.如图,CD是一座南北走向的大桥,一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶,在A处测得桥头C在南偏东30°方向上,继续行驶1 500 m后到达B处,测得桥头C在南偏东60°方向上,桥头D在南偏东37°方向上,求大桥CD的长.(结果取整数,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.73)
4.(2025·四川泸州)如图,在水平地面上有两座建筑物AD,BC,其中BC=18 m.从A,B之间的E点(A,E,B在同一水平线上)测得D点,C点的仰角分别为75°和30°,从C点测得D点的仰角为30°.
(1)求∠CDE的度数.
(2)求建筑物AD的高度.
5.综合与实践:小星学习了解直角三角形知识后,结合光的折射规律进行了如下综合性学习.
【实验操作】
第一步:将长方体空水槽放置在水平桌面上,一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处,入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A;
第二步:向水槽注水,水面上升到AC的中点E处时,停止注水.(直线NN'为法线,AO为入射光线,OD为折射光线)
【测量数据】
如图,点A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面内,测得AC=20 cm,∠A=45°,折射角∠DON=32°.
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据,解答下列问题:
(1)求BC的长;
(2)求B,D之间的距离(结果精确到0.1 cm).
(参考数据:sin 32°≈0.53,cos 32°≈0.85,tan 32°≈0.62)
中档题提升练(二)
1.某社团在课余时间用无人机为学校航拍宣传片,如图,△ABC为无人机某次空中飞行轨迹,D为BC延长线上一点,点A,B,C,D在同一平面内,∠B=30°,∠ACD=78.3°.若AC=80 m,求AB的长.(结果取整数,参考数据:sin 78.3°≈0.98,sin 48.3°≈0.75,cos 48.3°≈0.67,≈1.73)
解 如图,过点C作CE⊥AB于点E.
∵∠ACD=∠A+∠B,
∴∠A=48.3°.
∵sin A=,cos A=,
∴CE=AC·sin 48.3°≈80×0.75=60(m),
AE=AC·cos 48.3°≈80×0.67=53.6(m).
∵∠B=30°,
∴BE=CE≈1.73×60=103.8(m),
∴AB=AE+BE≈157(m).
2.(2025·安徽滁州三模)如图,某景区在同一平面上有A,B,C,D四个打卡点,为方便游客,部分打卡点之间修了小路,已知打卡点D在打卡点A的正东方向,AD∥CB,CD=4 km,打卡点D在打卡点C的北偏东26°方向,打卡点A在打卡点B的北偏西53°方向.求小路AB的长.
(结果取整数,参考数据:sin 64°≈0.90,tan 64°≈2.05,sin 37°≈0.60,tan 37°≈0.75)
解 如图,过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E,过点C作CF⊥AD,垂足为F,
∴∠CFD=90°.
∵∠FCD=26°,∴∠CDF=64°.
∵CD=4 km,∴在Rt△CFD中,CF=CD·sin∠CDF=4×sin 64°≈4×0.9=3.6(km).
∵AD∥CB,BE⊥AD,CF⊥AD,
∴四边形FCBE为矩形,
∴BE=CF=3.6 km.
∵∠EBA=53°,∠E=90°,∴∠A=37°,
∴在Rt△AEB中,AB==6(km).
3.如图,CD是一座南北走向的大桥,一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶,在A处测得桥头C在南偏东30°方向上,继续行驶1 500 m后到达B处,测得桥头C在南偏东60°方向上,桥头D在南偏东37°方向上,求大桥CD的长.(结果取整数,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.73)
解 如图,过点C作CE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AB于点F.
易知四边形DCEF为矩形,
∴CD=EF,CE=DF.
∵∠ACB=∠CBE-∠A=60°-30°=30°,
∴∠ACB=∠A,
∴BC=AB=1 500 m.
在Rt△CBE中,∠CBE=60°,∠BCE=30°,
∴BE=BC=750 m,CE=BC·sin 60°=750 m,
∴DF=CE=750 m.
在Rt△BDF中,∠DBF=37°,
∴BF=≈750=1 000≈1 730(m),
∴CD=EF=BF-BE≈1 730-750=980(m).
4.(2025·四川泸州)如图,在水平地面上有两座建筑物AD,BC,其中BC=18 m.从A,B之间的E点(A,E,B在同一水平线上)测得D点,C点的仰角分别为75°和30°,从C点测得D点的仰角为30°.
(1)求∠CDE的度数.
(2)求建筑物AD的高度.
解 (1)如图,过点C作CF⊥AD,垂足为F,
由题意得CF∥AB,
∴∠FCE=∠CEB=30°.
∵∠DCF=30°,
∴∠DCE=∠DCF+∠FCE=60°.
∵∠AED=75°,
∴∠CED=180°-75°-30°=75°,
∴∠CDE=180°-∠DEC-∠DCE=45°.
(2)如图,过点E作EG⊥CD,垂足为G,由(1)得AF=BC=18 m.
在Rt△EBC中,BC=18 m,∠CEB=30°,
∴CE=2BC=36 m.
在Rt△CEG中,∠ECD=60°,∴CG=CE·cos 60°=36×=18(m),EG=CE·sin 60°=36×=18(m).
在Rt△DEG中,∠EDG=45°,∠EGD=90°,
∴∠GED=45°,
∴DG=EG=18 m,
∴CD=CG+DG=(18+18)m.
在Rt△DFC中,∠DCF=30°,
∴DF=CD=(9+9)m,
∴AD=AF+DF=18+9+9=(27+9)m.
5.综合与实践:小星学习了解直角三角形知识后,结合光的折射规律进行了如下综合性学习.
【实验操作】
第一步:将长方体空水槽放置在水平桌面上,一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处,入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A;
第二步:向水槽注水,水面上升到AC的中点E处时,停止注水.(直线NN'为法线,AO为入射光线,OD为折射光线)
【测量数据】
如图,点A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面内,测得AC=20 cm,∠A=45°,折射角∠DON=32°.
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据,解答下列问题:
(1)求BC的长;
(2)求B,D之间的距离(结果精确到0.1 cm).
(参考数据:sin 32°≈0.53,cos 32°≈0.85,tan 32°≈0.62)
解 (1)在Rt△ABC中,∠A=45°,
∴∠B=45°,
∴BC=AC=20 cm.
(2)由题意得ON=EC=AC=10 cm,
∴NB=ON=10 cm.
∵∠DON=32°,
∴DN=ON·tan∠DON=10·tan 32°≈10×0.62=6.2(cm),
∴BD=BN-DN=10-6.2=3.8(cm).
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