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二次函数图象共存问题—2026-2027学年浙教版数学九年级上册知识点练习
一、二次函数与一次函数图象共存
1．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．当ab＜0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
3．函数和在同一平面直角坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
5．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、二次函数与反比例函数图象共存
6．若反比例函数 的图象在第二、四象限， 则二次函数 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．反比例函数 图象在二、四象限，则二次函数 的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
8．反比例函数 的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
9．反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．反比例函数是常数，且与二次函数在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
三、一次函数、反比例函数、二次函数图象共存
11．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　
A． B．
C． D．
12．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
13．根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
14．已知反比例函数y=在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象如图所示，则函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
15．一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
16．王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（　　）的图象上.
x …… 1 2 4 ……
y …… ……
A．一次函数和反比例函数
B．二次函数和反比例函数
C．一次函数和二次函数
D．一次函数和二次函数和反比例函数
四、两个不同的二次函数图象与性质综合
17．若二次函数y＝x2+与y＝－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（　　）
A．这两个函数图象有相同的对称轴
B．这两个函数图象的开口方向相反
C．方程－x2+k＝0没有实数根
D．二次函数y＝－x2＋k的最大值为
18．两个不同的二次函数与的图象有相同的对称轴，则下列结论不正确的是（　　）
A．这两个函数图象的开口方向相反
B．这两个函数图象的都经过点
C．这两个函数图象的关于轴对称
D．二次函数的最大值为
19．甲、乙两个二次函数分别为y＝（x+20）2+60、y＝﹣（x﹣30）2+60，判断下列叙述何者正确？（　　）
A．甲有最大值，且其值为x＝20时的y值
B．甲有最小值，且其值为x＝20时的y值
C．乙有最大值，且其值为x＝30时的y值
D．乙有最小值，且其值为x＝30时的y值
20． 已知二次函数为常数图象上两个不同的点，，且有以下四个结论：该二次函数图象与轴一定有两个不同的交点；若一次函数经过点，，则当时，总有；当时，；当时，；以上结论中正确的是(　　)
A． B． C． D．
21．如图，两个二次函数的图象，其顶点P，Q都在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A，B，C，D四点，若，则的长度为　 　．
22．定义：若两个二次函数的图象关于轴对称，则称互为“对称二次函数”.
（1）已知二次函数，则它的“对称二次函数”的顶点坐标为　 　.
（2）已知关于的二次函数和，其中的图象经过点.若与互为“对称二次函数”，求函数的表达式；
（3）在(2)的条件下，当时，的最小值为-2，请直接写出的值.
23．如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线恰好经过和两点，解决下列问题．
（1）求与抛物线相对应的b、c的值；
（2）若把抛物线相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线，求抛物线与x轴交点的坐标，并说明抛物线是否经过的顶点；
（3）另有直线l：与抛物线交于点P，Q，与抛物线交于点M，N，若的值是整数，请直接写出n的最大值．
24．定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为.
（1）函数的友好同轴二次函数为　 　.
（2）当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值.
（3）已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由.
25．阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”.求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数.
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数.
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值.
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】D
10．【答案】C
11．【答案】C
12．【答案】D
13．【答案】A
14．【答案】A
15．【答案】C
16．【答案】B
17．【答案】C
18．【答案】D
19．【答案】C
20．【答案】B
21．【答案】10
22．【答案】（1）
（2）解：∵的图象经过点，
∴1=-2×22+4m×2+3m-2
解得：m=1，
∴y1=-2x2+4x+1=-2（x-1）2+3，
∵与互为“对称二次函数”，
∴y1+y2=-2x2+4x+1+ax2+bx+c=（a-2）x2+（b+4）x+c+1=2x2-4x-1，
即
解得：a=4，b=-8，c=-2，
∴y2=4x2-8x-2；
（3）解：的值为2或-1.
23．【答案】（1）解：把和代入抛物线，得
，
解得．
（2）解：∵，
∴的解析式为，
故抛物线的顶点坐标为；
根据题意，得抛物线的解析式，
令，
得，
解得，
故抛物线与x轴交点的坐标为；
当，
，
故抛物线经过的顶点．
（3）解：∵直线l：与抛物线交于点P，Q，与抛物线交于点M，N，
∴，
∴，
当时，
得，，
解得，，
∴，，
∴，
令，
根据反比例函数的性质，得当越小时，越大，
∵的值是整数，
∴y是整数，且是整数，
当时，不是整数，不符合题意；
当时，不是整数，不符合题意；
当时，是整数，符合题意；
∴的最小值是3，此时最大，此时，
故n的最大值为．
故n的最大值是
24．【答案】（1）
（2）解：由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为；
①当时，时，，
解得：；
②当时，时，，
解得：；
综上所述，；
（3）解：由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为，
把分别代入可得，
，，
则，
，
，
①当时，，即，
，
解得：；
②当时，，即，
，
解得：；
③当时，，即，
，
解得：；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，.
25．【答案】（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴ ，
解得： ，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1.
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）.
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）.
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）.
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6.
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”.

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