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2026徐州专版中考数学
仿真测试卷三
(时间:120分钟　满分:140分)
一、选择题(共8小题,每小题3分,共24分)
1.(2025·四川内江中考)中国是世界上最早使用负数的国家,负数早已广泛应用到生产和生活中.例如,零上3 ℃记作+3 ℃,则零下3 ℃记作(　　)
A.- ℃　　　　　　　B. ℃
C.-3 ℃ D.3 ℃
2.(2025·湖南中考)武术是我国传统的体育项目.下列武术动作图形中,是轴对称图形的是(　　)
A. B.
C. D.
3.(2025·四川眉山中考)如图,在4×3的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD,则△OAB与△OCD的周长之比是(　　)
A.2∶1 B.1∶2
C.4∶1 D.1∶4
4.把某不等式组中的两个不等式的解集表示在数轴上,如图所示,则这个不等式组的解集是(　　)
A.-2≤x<1 B.-2C.x>1 D.x<-2
5.(2025·河南中考)如图,在菱形ABCD中,∠B=45°,AB=6,点E在边BC上,连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B落在BC延长线上的点F处,则CF的长为(　　)
A.2 B.6-3
C.2 D.6-6
6.(2025·内蒙古中考)在闭合电路中,通过定值电阻的电流I(单位:A)是它两端的电压U(单位:V)的正比例函数,其图像如图所示.当该电阻两端的电压为15 V时,通过它的电流为(　　)
A.12 A 　　B.8 A　 　C.6 A　 　D.4 A
7.学校食堂中午开设了四个取餐窗口,在校就餐时小明和小红被随机分到同一窗口的概率是(　　)
A. B. C. D.
8.(2025·江苏连云港中考)如图,正比例函数y1=k1x(k1<0)的图像与反比例函数y2=(k2<0)的图像交于A、B两点,点A的横坐标为-1.当y1A.x<-1或x>1 B.x<-1或0C.-11 D.-1二、填空题(共10小题,每小题3分,共30分)
9.某高铁站运营一周年,一年到发旅客约4 700 000人次,4 700 000用科学记数法表示为　　　　　.
10.(2025·徐州沛县期末)小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛,她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分、80分、60分,若依次按照40%、30%、30%的百分比确定最终成绩,那么她的最终成绩是　　　　分.
11.(2025·徐州沛县月考)在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个,它们除颜色外,其余完全相同.在不倒出球的情况下,要估计袋中各种颜色球的个数.同学们通过大量的摸球试验后,发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在20%、40%和40%.由此,推测口袋中黄色球约有　　　　.
12.(2025·四川泸州中考)若一元二次方程2x2-6x-1=0的两根为α、β,则2α2-3α+3β的值为　　　　.
13.(2025·四川成都中考)如图,☉O的半径为1,A、B、C是☉O上的三个点.若四边形OABC为平行四边形,连接AC,则图中阴影部分的面积为　　　　.
14.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,E是边CD的中点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,连接FG.若AC=12,BD=16,则FG的长为　　　　.
15.(2025·四川广安中考)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:(1)以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交BC于点D;(2)分别以点C和点D为圆心,大于CD的长为半径画弧,两弧相交于点F;(3)画射线AF交BC于点E.若∠C=2∠B,BC=23,BD=13,则AE的长为　　　　.
16.(2025·浙江中考)无人机警戒在高速公路场景中的应用,是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图,在高速公路上,交警在A处操控无人机巡查,无人机从点A处飞行到点P处悬停,探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障.测得A处到P处的距离为500 m,从点A观测点P的仰角为α,cos α=0.98,则A处到B处的距离为　　　　　m.
17.(2025·上海中考)已知矩形ABCD中,点E在边CD上,F是点E关于直线AD的对称点,连接EF、AF、BE,若四边形ABEF是菱形,那么的值为　　　　.
18.(2025·陕西中考)生活中常按图①的方式砌墙,小华模仿这样的方式,用全等的矩形按规律设计图案,如图②,第1个图案用了3个矩形,第2个图案用了5个矩形,第3个图案用了7个矩形……则第10个图案需要用矩形的个数为　　　　.
图①
图②
三、解答题(共10小题,共86分)
19.(10分)(1)计算:-4sin 30°+|-|;
(2)计算:()·.
20.(8分)设x1、x2是关于x的方程(x-1)(x-2)=m2的两根.
(1)当x1=-1时,求x2及m的值;
(2)求证:(x1-1)(x2-1)≤0.
21.(8分)(2025·江苏苏州中考)如图,C是线段AB的中点,∠A=∠ECB,CD∥BE.
(1)求证:△DAC≌△ECB;
(2)连接DE,若AB=16,求DE的长.
22.(8分)(2025·江苏苏州中考)随着人工智能的快速发展,初中生使用AI大模型辅助学习快速普及,并呈现出多样化趋势.某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法,对本校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间(用x表示,单位:min)进行了抽样调查,把所得的数据分组整理,并绘制成频数分布直方图.
抽取的学生一周使用AI大模型辅助学习时间频率分布表
组别 时间x/min 频率
A 20≤x<40 0.16
B 40≤x<60 0.24
C 60≤x<80 0.30
D 80≤x<100 0.20
E 100≤x≤120 0.10
合计 1
抽取的学生一周使用AI大模型辅助学习时间频数分布直方图
根据提供的信息回答问题:
(1)请把频数分布直方图补充完整(画图后标注相应数据);
(2)调查所得数据的中位数落在　　　　组(填组别);
(3)该校九年级共有750名学生,根据抽样调查结果,估计该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于60 min的学生人数.
23.(8分)(2025·江西中考)如图,直线l:y=x+m与反比例函数y=(x>0)的图像交于点A(6,2).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)将直线l向上平移,在x轴上方与反比例函数的图像交于点C,连接OA、OC,当∠1=∠2时,求点C的坐标及直线l平移的距离.
24.(8分)(2025·湖南中考)如图,某处有一个晾衣装置,固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B、D,AB=19分米,CD>AB.在点A、C之间的晾衣绳上有固定挂钩E,AE=13分米,一件连衣裙MN挂在点E处(点M与点E重合),且直线MN⊥l.
(1)如图①,当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时,点E到直线AB的距离EG等于12分米,求该连衣裙MN的长度;
(2)如图②,未避免该连衣裙接触到地面,在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤(点F在点E的右侧),若∠BAE=76.1°,求此时该连衣裙下端点N到地面水平线l的距离约为多少分米.(结果保留整数,参考数据:sin 76.1°≈0.97,cos 76.1°≈0.24,tan 76.1°≈4.04)
图①
图②
25.(8分)2025年上映的某电影全球票房(含预售)突破148亿.某公司组织员工观看此电影,若购买1张A档票和3张B档票,则所需费用为230元;若购买4张A档票和5张B档票,则所需费用为500元.
(1)求每张A档票和每张B档票的价格.
(2)该公司本次购买了A档票和B档票共40张,且购买两种票的总费用不低于2 150元,则该公司最多购买多少张A档票
26.(8分)(2025·湖北中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,∠BAC=45°.过点O作DF⊥AB,垂足为E,交AC于点D,交☉O于点F.过点F作☉O的切线,交CA的延长线于点G.
(1)求证:FD=FG;
(2)若AB=12,FG=10,求☉O的半径.
27.(10分)(2025·广东中考)如图,某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km,主塔高0.27 km,主缆可视为抛物线,主缆垂度0.178 5 km,主缆最低处距离桥面0.001 5 km,桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系,并求该抛物线相应的函数表达式.
28.(10分)(2025·四川眉山中考)综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程.
【操作实践】如图①,将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠,使点B落在AD边上的点B'处,折痕交AB于点E,再沿着过点B'的直线折叠,使点D落在B'C边上的点D'处,折痕交CD于点F.将纸片展平,画出对应点B'、D'及折痕CE、B'F,连接B'E、B'C、D'F.
【初步猜想】(1)确定CE和B'F的位置关系及线段BE和CF的数量关系.
创新小组经过探究,发现CE∥B'F,证明过程如下:
由折叠可知∠DB'F=∠CB'F=∠DB'C,∠ECB'=∠ECB=∠BCB'.由矩形的性质,可知AD∥BC,∴∠DB'C=∠BCB',∴①　　　　　　　　,
∴CE∥B'F.
智慧小组先测量BE和CF的长度,猜想其关系为②　　　　　　　　.
经过探究,发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一.
方法一:证明△AB'E≌△D'CF,得到B'E=CF,再由B'E=BE可得结论.
方法二:过点B'作AB的平行线交CE于点G,构造平行四边形CFB'G,然后证B'G=B'E可得结论.
请补充上述过程中横线上的内容.
【推理证明】(2)请你结合智慧小组的探究思路,选择一种方法验证BE和CF的数量关系,写出证明过程.
【尝试运用】(3)如图②,在矩形ABCD中,AB=6,按上述操作折叠并展开后,过点B'作B'G∥AB交CE于点G,连接D'G,当△B'D'G为直角三角形时,求出BE的长.
图①
图②
仿真测试卷三
(时间:120分钟　满分:140分)
一、选择题(共8小题,每小题3分,共24分)
1.(2025·四川内江中考)中国是世界上最早使用负数的国家,负数早已广泛应用到生产和生活中.例如,零上3 ℃记作+3 ℃,则零下3 ℃记作(　　)
A.- ℃　　　　　　　B. ℃
C.-3 ℃ D.3 ℃
答案:C
2.(2025·湖南中考)武术是我国传统的体育项目.下列武术动作图形中,是轴对称图形的是(　　)
A. B.
C. D.
答案:C
3.(2025·四川眉山中考)如图,在4×3的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD,则△OAB与△OCD的周长之比是(　　)
A.2∶1 B.1∶2
C.4∶1 D.1∶4
答案:B
解析:∵小正方形的边长均为1,
∴OB=,OD==2,
∴OB∶OD=1∶2.
∵将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD,
∴△OAB∽△OCD,相似比为1∶2,
∴△OAB与△OCD的周长之比为1∶2.
故选B.
4.把某不等式组中的两个不等式的解集表示在数轴上,如图所示,则这个不等式组的解集是(　　)
A.-2≤x<1 B.-2C.x>1 D.x<-2
答案:A
5.(2025·河南中考)如图,在菱形ABCD中,∠B=45°,AB=6,点E在边BC上,连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B落在BC延长线上的点F处,则CF的长为(　　)
A.2 B.6-3
C.2 D.6-6
答案:D
解析:∵四边形ABCD是菱形,AB=6,
∴AB=BC=6.
根据折叠的性质,得AE⊥BF,BE=EF,
∵∠B=45°,
∴∠BAE=90°-45°=45°,
∴AE=BE=AB=3,
∴BF=2BE=6,
∴CF=BF-BC=6-6.故选D.
6.(2025·内蒙古中考)在闭合电路中,通过定值电阻的电流I(单位:A)是它两端的电压U(单位:V)的正比例函数,其图像如图所示.当该电阻两端的电压为15 V时,通过它的电流为(　　)
A.12 A 　　B.8 A　 　C.6 A　 　D.4 A
答案:A
解析:设I=kU,∵当U=5 V时,I=4 A,
∴4=5k,解得k=,∴I=U.
当U=15 V时,I=×15=12(A).故选A.
7.学校食堂中午开设了四个取餐窗口,在校就餐时小明和小红被随机分到同一窗口的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案:C
8.(2025·江苏连云港中考)如图,正比例函数y1=k1x(k1<0)的图像与反比例函数y2=(k2<0)的图像交于A、B两点,点A的横坐标为-1.当y1A.x<-1或x>1 B.x<-1或0C.-11 D.-1答案:C
解析:由双曲线的对称性得点B的横坐标为1,
∴当y11.故选C.
二、填空题(共10小题,每小题3分,共30分)
9.某高铁站运营一周年,一年到发旅客约4 700 000人次,4 700 000用科学记数法表示为　　　　　.
答案:4.7×106
10.(2025·徐州沛县期末)小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛,她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分、80分、60分,若依次按照40%、30%、30%的百分比确定最终成绩,那么她的最终成绩是　　　　分.
答案:78
11.(2025·徐州沛县月考)在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个,它们除颜色外,其余完全相同.在不倒出球的情况下,要估计袋中各种颜色球的个数.同学们通过大量的摸球试验后,发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在20%、40%和40%.由此,推测口袋中黄色球约有　　　　.
答案:24个
12.(2025·四川泸州中考)若一元二次方程2x2-6x-1=0的两根为α、β,则2α2-3α+3β的值为　　　　.
答案:10
13.(2025·四川成都中考)如图,☉O的半径为1,A、B、C是☉O上的三个点.若四边形OABC为平行四边形,连接AC,则图中阴影部分的面积为　　　　.
答案:
解析:如图,连接OB.
∵四边形OABC为平行四边形,
∴AB=OC.
∵OA=OC,∴OA=AB,
∴ OABC是菱形.
∵OA=OB=AB,
∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60°,
∴S阴影=S扇形AOB=π×12=.
14.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,E是边CD的中点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,连接FG.若AC=12,BD=16,则FG的长为　　　　.
答案:5
解析:连接OE,如图所示.
∵四边形ABCD是菱形,且AC=12,BD=16,
∴AC⊥BD,OC=AC=6,OD=BD=8.
在Rt△COD中,
CD==10.
∵E是边CD的中点,
∴OE是Rt△OCD斜边上的中线,
∴OE=CD=5.
∵EF⊥BD,EG⊥AC,
∴∠OGE=∠OFE=∠COD=90°,
∴四边形OGEF是矩形,
∴FG=OE=5.
15.(2025·四川广安中考)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:(1)以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交BC于点D;(2)分别以点C和点D为圆心,大于CD的长为半径画弧,两弧相交于点F;(3)画射线AF交BC于点E.若∠C=2∠B,BC=23,BD=13,则AE的长为　　　　.
答案:12
解析:连接AD,
由作图过程可知,AD=AC,AE⊥BC,∴∠ADC=∠C=2∠B,∠AED=90°,DE=CE.
又∠ADC=∠B+∠BAD,
∴∠BAD=∠B,
∴AD=BD=13.
∵BC=23,BD=13,
∴CD=BC-BD=10,
∴DE=CD=5,
∴AE==12.
16.(2025·浙江中考)无人机警戒在高速公路场景中的应用,是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图,在高速公路上,交警在A处操控无人机巡查,无人机从点A处飞行到点P处悬停,探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障.测得A处到P处的距离为500 m,从点A观测点P的仰角为α,cos α=0.98,则A处到B处的距离为　　　　　m.
答案:490
解析:在Rt△ABP中,∵∠B=90°,AP=500 m,∠A=α,
∴AB=AP·cos α=500×0.98=490(m),
即A处到B处的距离为490 m.
17.(2025·上海中考)已知矩形ABCD中,点E在边CD上,F是点E关于直线AD的对称点,连接EF、AF、BE,若四边形ABEF是菱形,那么的值为　　　　.
答案:
解析:∵E关于直线AD的对称点为F,∴DF=DE.
设DF=DE=m,则EF=DE+DF=2m,
∵四边形AFEB是菱形,
∴AB=AF=EF=2m.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,
∴∠ADF=180°-∠ADC=90°,
∴AD=m,
∴.
18.(2025·陕西中考)生活中常按图①的方式砌墙,小华模仿这样的方式,用全等的矩形按规律设计图案,如图②,第1个图案用了3个矩形,第2个图案用了5个矩形,第3个图案用了7个矩形……则第10个图案需要用矩形的个数为　　　　.
图①
图②
答案:21
解析:观察题中图形可知,第1个图案用了3个矩形,即3=2×1+1,
第2个图案用了5个矩形,即5=2×2+1,
第3个图案用了7个矩形,即7=2×3+1,
……
第n个图案用了(2n+1)个矩形,
∴第10个图案需要用矩形的个数为2×10+1=21.
三、解答题(共10小题,共86分)
19.(10分)(1)计算:-4sin 30°+|-|;
(2)计算:()·.
解:(1)-4sin 30°+|-|
=2-4×
=2-2+
=.
(2)·
=
=
=1.
20.(8分)设x1、x2是关于x的方程(x-1)(x-2)=m2的两根.
(1)当x1=-1时,求x2及m的值;
(2)求证:(x1-1)(x2-1)≤0.
(1)解:把x1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2中,得m2=6,∴m=±.
∴方程为(x-1)(x-2)=6,
解得x1=-1,x2=4.
(2)证明:方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0.
∵x1、x2是方程(x-1)(x-2)=m2的两根,
∴x1+x2=3,x1x2=2-m2,
∴(x1-1)(x2-1)
=x1x2-(x1+x2)+1
=2-m2-3+1
=-m2.
∵m2≥0,
∴-m2≤0,即(x1-1)(x2-1)≤0.
21.(8分)(2025·江苏苏州中考)如图,C是线段AB的中点,∠A=∠ECB,CD∥BE.
(1)求证:△DAC≌△ECB;
(2)连接DE,若AB=16,求DE的长.
(1)证明:∵CD∥BE,∴∠DCA=∠B.
∵C是线段AB的中点,
∴AC=CB=AB.
在△DAC和△ECB中,
∴△DAC≌△ECB(ASA).
(2)解:∵AB=16,
∴AC=CB=AB=8.
由(1)可知,△DAC≌△ECB,∴CD=BE,
又CD∥BE,
∴四边形BCDE是平行四边形,
∴DE=BC=8.
22.(8分)(2025·江苏苏州中考)随着人工智能的快速发展,初中生使用AI大模型辅助学习快速普及,并呈现出多样化趋势.某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法,对本校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间(用x表示,单位:min)进行了抽样调查,把所得的数据分组整理,并绘制成频数分布直方图.
抽取的学生一周使用AI大模型辅助学习时间频率分布表
组别 时间x/min 频率
A 20≤x<40 0.16
B 40≤x<60 0.24
C 60≤x<80 0.30
D 80≤x<100 0.20
E 100≤x≤120 0.10
合计 1
抽取的学生一周使用AI大模型辅助学习时间频数分布直方图
根据提供的信息回答问题:
(1)请把频数分布直方图补充完整(画图后标注相应数据);
(2)调查所得数据的中位数落在　　　　组(填组别);
(3)该校九年级共有750名学生,根据抽样调查结果,估计该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于60 min的学生人数.
解:(1)样本容量为8÷0.16=50,“80≤x<100”的频数为50-8-12-15-5=10,把频数分布直方图补充完整如下:
抽取的学生一周使用AI大模型辅助学习时间频数分布直方图
(2)由统计图可知,把50个数据从小到大排列,排在第25和26个的数均落在C组,所以调查所得数据的中位数落在C组,故答案为C.
(3)0.30+0.20+0.10=0.60,
750×0.60=450(人).
故该校九年级学生一周使用AI大模型辅助学习的时间不少于60 min的学生人数约为450.
23.(8分)(2025·江西中考)如图,直线l:y=x+m与反比例函数y=(x>0)的图像交于点A(6,2).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)将直线l向上平移,在x轴上方与反比例函数的图像交于点C,连接OA、OC,当∠1=∠2时,求点C的坐标及直线l平移的距离.
解:(1)将点A(6,2)分别代入一次函数和反比例函数的表达式,得解得
∴一次函数和反比例函数的表达式分别为y=x-2,y=(x>0).
(2)∵∠1=∠2,反比例函数的图像关于直线y=x对称,∴点A与点C关于直线y=x对称.
∵A(6,2),
∴C(2,6).
设直线l平移后的直线对应的函数表达式为y=x+n,将点C(2,6)代入,得×2+n=6,解得n=.
∵-(-2)=,
∴直线l向上平移的距离为.
24.(8分)(2025·湖南中考)如图,某处有一个晾衣装置,固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B、D,AB=19分米,CD>AB.在点A、C之间的晾衣绳上有固定挂钩E,AE=13分米,一件连衣裙MN挂在点E处(点M与点E重合),且直线MN⊥l.
(1)如图①,当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时,点E到直线AB的距离EG等于12分米,求该连衣裙MN的长度;
(2)如图②,未避免该连衣裙接触到地面,在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤(点F在点E的右侧),若∠BAE=76.1°,求此时该连衣裙下端点N到地面水平线l的距离约为多少分米.(结果保留整数,参考数据:sin 76.1°≈0.97,cos 76.1°≈0.24,tan 76.1°≈4.04)
图①
图②
解:(1)由题意可知,在Rt△AGE中,AE=13分米,EG=12分米,EG⊥AB,
∴AG==5(分米).
∵AB=19分米,
∴BG=AB-AG=19-5=14(分米),
∴MN=BG=14分米,
∴该连衣裙MN的长度为14分米.
(2)如图,过E作EK⊥AB于点K.
在Rt△AKE中,AE=13分米,∠BAE=76.1°,EK⊥AB,∴AK=AE·cos 76.1°≈13×0.24=3.12(分米).
∵AB=19分米,∴BK=AB-AK≈19-3.12=15.88(分米),
∴BK-MN≈15.88-14=1.88≈2(分米),
∴该连衣裙下端点N到地面水平线l的距离约为2分米.
25.(8分)2025年上映的某电影全球票房(含预售)突破148亿.某公司组织员工观看此电影,若购买1张A档票和3张B档票,则所需费用为230元;若购买4张A档票和5张B档票,则所需费用为500元.
(1)求每张A档票和每张B档票的价格.
(2)该公司本次购买了A档票和B档票共40张,且购买两种票的总费用不低于2 150元,则该公司最多购买多少张A档票
解:(1)设每张A档票的价格为x元,每张B档票的价格为y元,
根据题意,得解得
故每张A档票的价格为50元,每张B档票的价格为60元.
(2)设该公司购买A档票m张,
则50m+60(40-m)≥2 150,解得m≤25.
∵m为正整数,
∴m的最大值为25.
故该公司最多购买A档票25张.
26.(8分)(2025·湖北中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,∠BAC=45°.过点O作DF⊥AB,垂足为E,交AC于点D,交☉O于点F.过点F作☉O的切线,交CA的延长线于点G.
(1)求证:FD=FG;
(2)若AB=12,FG=10,求☉O的半径.
(1)证明:∵DF⊥AB,DF⊥GF,
∴AB∥GF,∴∠BAC=∠G=45°,
∴∠FDG=90°-45°=45°,即△DFG是等腰直角三角形,∴FD=FG.
(2)解:∵DF⊥AB,
∴AE=BE=AB=6.
∵∠BAC=45°,
∴∠ADE=90°-45°=45°,即△ADE是等腰直角三角形,
∴EA=ED=6.
由(1)得FD=FG=10,
∴EF=DF-DE=10-6=4.
如图,连接OA,设OE=x,则OF=OE+EF=x+4=OA.
在Rt△AOE中,OA2=AE2+OE2,即(x+4)2=62+x2,解得x=,∴OA=x+4=+4=,
∴☉O的半径为.
27.(10分)(2025·广东中考)如图,某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km,主塔高0.27 km,主缆可视为抛物线,主缆垂度0.178 5 km,主缆最低处距离桥面0.001 5 km,桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系,并求该抛物线相应的函数表达式.
解:建立平面直角坐标系,如图所示.
则A(0,0.001 5),B(,0.27-0.09),
即A(0,),B(),
设该抛物线相应的函数表达式为y=ax2+,将B()代入,得=()2a+,解得a=,
∴该抛物线相应的函数表达式为y=x2+.
28.(10分)(2025·四川眉山中考)综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程.
【操作实践】如图①,将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠,使点B落在AD边上的点B'处,折痕交AB于点E,再沿着过点B'的直线折叠,使点D落在B'C边上的点D'处,折痕交CD于点F.将纸片展平,画出对应点B'、D'及折痕CE、B'F,连接B'E、B'C、D'F.
【初步猜想】(1)确定CE和B'F的位置关系及线段BE和CF的数量关系.
创新小组经过探究,发现CE∥B'F,证明过程如下:
由折叠可知∠DB'F=∠CB'F=∠DB'C,∠ECB'=∠ECB=∠BCB'.由矩形的性质,可知AD∥BC,∴∠DB'C=∠BCB',∴①　　　　　　　　,
∴CE∥B'F.
智慧小组先测量BE和CF的长度,猜想其关系为②　　　　　　　　.
经过探究,发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一.
方法一:证明△AB'E≌△D'CF,得到B'E=CF,再由B'E=BE可得结论.
方法二:过点B'作AB的平行线交CE于点G,构造平行四边形CFB'G,然后证B'G=B'E可得结论.
请补充上述过程中横线上的内容.
【推理证明】(2)请你结合智慧小组的探究思路,选择一种方法验证BE和CF的数量关系,写出证明过程.
【尝试运用】(3)如图②,在矩形ABCD中,AB=6,按上述操作折叠并展开后,过点B'作B'G∥AB交CE于点G,连接D'G,当△B'D'G为直角三角形时,求出BE的长.
图①
图②
解:(1)由折叠可知∠DB'F=∠CB'F=∠DB'C,∠ECB'=∠ECB=∠BCB'.
由矩形的性质,可知AD∥BC,
∴∠DB'C=∠BCB'.
∴①∠ECB'=∠CB'F.
∴CE∥B'F.
智慧小组先测量BE和CF的长度,猜想其关系为②BE=CF,
故答案为①∠ECB'=∠CB'F;②BE=CF.
(2)方法一:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°,BC=AD.
由折叠可知,∠EB'C=∠B=90°,B'D=B'D',BC=B'C=AD,∠D=∠B'D'F=90°,BE=B'E,
∴AD-B'D=B'C-B'D',即AB'=CD',∠CD'F=90°=∠A,
由(1)知∠DB'C=∠BCB',
又∠AB'E+∠CB'D=180°-∠EB'C=90°,∠BCB'+∠FCD'=∠BCD=90°,
∴∠AB'E=∠FCD',
∴△AB'E≌△D'CF,
∴B'E=CF,∴BE=CF.
方法二:作B'G∥AB交CE于点G,则B'G∥AB∥CD,
∵CE∥B'F,
∴四边形CFB'G为平行四边形,
∴B'G=CF.
∵AB∥B'G,
∴∠B'GE=∠BEC.
由折叠可知,∠BEC=∠B'EC,BE=B'E,
∴∠B'GE=∠B'EC,∴B'E=B'G,
∴BE=B'E=B'G=CF.
(3)∵B'G∥AB,
∴∠A=∠GB'D=90°,
由(2)可知,B'G=B'E=BE=CF,CD'=AB',△AB'E≌△D'CF,
∴D'F=AE.
设BE=x,则B'G=B'E=CF=x,D'F=AE=AB-BE=6-x,
∴CD'=AB'=.
∵△B'D'G为直角三角形,当∠B'GD'=90°时,∠GB'D+∠B'GD'=180°,
∴GD'∥AD∥BC,
∴∠D'GC=∠ECB,
又∠GCD'=∠ECB,
∴∠D'GC=∠GCD',
∴D'G=D'C=.
∵B'G∥AB∥CD,
∴∠GB'D'=∠FCD',
∴在Rt△B'GD'和Rt△CD'F中,tan∠GB'D'=tan∠FCD',
∴,即,
∴x(6-x)=12x-36,解得x=3-3或x=-3-3(舍去),
∴BE=3-3.
当∠GD'B'=90°时,∵∠B'D'F=∠D=90°,∴∠GD'B'+∠B'D'F=180°,
∴G、D'、F三点共线,
∴B'C⊥GF.
又四边形B'GCF是平行四边形,
∴四边形B'GCF是菱形,
∴∠GCD'=∠FCD'.
∵∠GCD'=∠GCB,
∴∠GCD'=∠GCB=∠FCD'=30°.
设CF=a,则DF=D'F=6-a,
∴=sin 30°=,即,
解得a=4,
∴BE=CF=4.
综上,BE的长为3-3或4.
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