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2026徐州专版中考数学
仿真测试卷四
(时间:120分钟　满分:140分)
一、选择题(共8小题,每小题3分,共24分)
1.(2025·山西中考)科技创新型企业的不断涌现,促进了我国新质生产力的快速发展.以下四个科技创新型企业的品牌图标中,为中心对称图形的是(　　)
A. B.
C. D.
2.如果把收入50元记作+50元,那么支出50元记作 (　　)
A.+50元 B.0元
C.-50元 D.-100元
3.如果点P(x-4,x+3)在平面直角坐标系的第二象限内,那么x的取值范围为(　　)
A.x>4 B.x≤-3或x≥4
C.-34.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心,在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD,则点C的坐标为(　　)
A.(-1,-1) B.(-,-1)
C.(-1,-) D.(-2,-1)
5.(2025·四川眉山中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=6,BC=10.按下列步骤作图:①以点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交AB、AD于E、F两点;②分别以点E、F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点P;③作射线AP交BC于点G,则CG的长为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.8
6.如图,在平面直角坐标系中,A、C两点在坐标轴上,四边形OABC是面积为4的正方形.若函数y=(x>0)的图像经过点B,则满足y≥2的x的取值范围为(　　)
A.0C.07.(2025·湖北中考)如图,折叠正方形ABCD的一边BC,使点C落在BD上的点F处,折痕BE交AC于点G.若DE=2,则CG的长是(　　)
A. B.2
C.+1 D.2-1
8.已知m2 025+2 025m=2 025,则一次函数y=(1-m)x+m的图像不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
二、填空题(共10小题,每小题3分,共30分)
9.“白日不到处,青春恰自来.苔花如米小,也学牡丹开.”这是清朝袁枚的一首诗《苔》.苔花的花粉直径约为0.000 008 4 m,用科学记数法表示0.000 008 4为　　　　　.
10.分解因式:x2-9=　　　　　　.
11.(2025·四川宜宾中考)分式方程=0的解为　　　　.
12.窗,让人足不出户便能将室外天地尽收眼底.如图,“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式,从这三种方式中随机选出一种制作窗格,选中“步步锦”的概率是　　　　.
13.近年来,某省依托乡村e镇建设,打造农村电商新产业,提高了农民收入.一农户通过网上销售传统手工艺品布老虎,利润由原来的每个20元增加到80元.该农户通过网上售出a个布老虎,则他的利润增加了　　　　　元(用含a的代数式表示).
14.已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的两个实数根,其中x1=1,则x2=　　　　.
15.(2025·徐州沛县期末)将点A(-3,-1)先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到点A',则点A'的坐标为　　　　.
16.2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月,活动主题为“抓早抓小抓关键,更快降低近视率”.一幅眼肌运动训练图如图所示,其中数字1~12对应的点均匀分布在一个圆上,数字0对应圆心.图中以数字0~12对应的点为端点的所有线段中,有一条线段的长与其他的都不相等.若该圆的半径为1,则这条线段的长为　　　　　.
(参考数据:sin 15°=,sin 75°=)
眼肌运动训练图
使用方法:以0,1,2,3,…的顺序沿着箭头方向移动眼球.移动一圈后再回到原点,反复进行.
17.(2025·四川内江中考)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E、F分别是边AD、CD上的动点,连接BE、EF,点G为BE的中点,点H为EF的中点,连接GH,则GH的最大值是　　　　.
18.(2025·山东烟台中考)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,对角线AC=6 cm.点M从点A出发,沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动,同时,点N从点C出发,沿CD方向以 cm/s的速度向点D运动,当一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接AN、DM交于点P.在此过程中,点
P的运动路径长为　　　　　cm.
三、解答题(共10小题,共86分)
19.(10分)(1)计算:+(π-1)0-;
(2)化简:(1-)÷.
20.(7分)智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘,一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下,该机器人的每一个机械手平均a秒采摘一个成熟的苹果,它的一个机械手用800秒采摘的苹果比用600秒采摘的苹果多25个.
(1)求a的值;
(2)现需要一定数量的苹果发往外地,采摘工作由多个机器人共同完成.每个机器人搭载4个相同的机械手,那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时,才能使采摘的苹果个数不少于10 000个
21.(8分)(2025·四川遂宁中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E、F在对角线BD上,BE=EF=FD,且AF⊥AB,CE⊥CD.
(1)求证:△ABF≌△CDE;
(2)连接AE、CF,若∠ABD=30°,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.
22.(8分)(2025·山东威海中考)小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB.测量方案如下:先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数,大楼底部点A的俯角∠2的度数.然后在点C正下方点D处,测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数.若∠1=45°,∠2=52°,∠3=65°,CD=10 m,求大楼的高度AB.(精确到1 m.参考数据:sin 52°≈0.8,cos 52°≈0.6,tan 52°≈1.3;sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.4,tan 65°≈2.1)
23.(8分)为加强劳动教育,学校制定了《劳动习惯养成计划》,实施“家校社”联动行动,引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动.学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查,两次调查均随机抽取50名学生.根据收集到的数据,将劳动时间x(单位:h)分为A(0≤x<2)、B(2≤x<3)、C(3≤x<4)、D(x≥4)四组进行统计,并绘制了学期初调查数据条形图,学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表,部分信息如下.
学期初调查数据条形图
学期末调查数据扇形图
两次调查数据统计表
时间 平均数 中位数 众数
学期初 2.8 2.9 2.8
学期末 3.5 3.6 3.6
(1)在学期初调查数据条形图中,B组人数是　　　　　,并补全条形图;
(2)七年级有500名学生,估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3 h的人数;
(3)该校七年级学生一周参与劳动时间,学期末比学期初有没有提高 结合统计数据说明理由.
24.(8分)如图,一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图像相交于A(1,4)、B(4,m)两点,与x轴交于点C,点D与点A关于点O对称,连接AD.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)点P在x轴的负半轴上,且△AOC与△POD相似,求点P的坐标.
25.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点O在边AB上,以点O为圆心,OB长为半径的半圆,交BC于点D,与AC相切于点E,连接OD、OE.
(1)求证:OD⊥OE;
(2)若AB=BC,OB=,求四边形ODCE的面积.
26.(9分)(1)如图①,将平行四边形纸片ABCD的四个角向内折叠,恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH.判断四边形EFGH的形状,并说明理由;
(2)如图②,已知 ABCD能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形MNPQ,其中,点M在AD上,点N在AB上,点P在BC上,点Q在CD上.请用直尺和圆规确定四边形MNPQ的位置.(不写作法,保留作图痕迹)
图①
图②
27.(10分)(2025·扬州中考)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2-2x+3的图像(记为G1)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图像(记为G2)经过点A、C.直线x=t与两个图像G1、G2分别交于点M、N,与x轴交于点P.
(1)求b、c的值.
(2)当点P在线段AO上时,求MN的最大值.
(3)设点M、N到直线AC的距离分别为m、n.当m+n=4时,对应的t值有　　　　个;当m-n=3时,对应的t值有　　　　个;当mn=2时,对应的t值有　　　　个;当=1时,对应的t值有　　　　个.
备用图
28.(10分)综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图,某数学小组针对某次演出,研究了排队人数与安检时间,安排通道数之间的关系.
【研究条件】
条件1:观众进场立即排队安检,在任意时刻都满足:排队人数=现场总人数-已入场人数;
条件2:若该演出场地最多可开放9条安检通道,平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检,经研究发现,现场总人数y与安检时间x之间满足关系式:y=-x2+60x+100(0≤x≤30).
结合上述信息,请完成下述问题:
(1)当开通3条安检通道时,安检时间x分钟时,已入场人数为　　　　,排队人数w与安检时间x的函数表达式为　　　　.
【模型应用】
(2)在(1)的条件下,排队人数在第几分钟达到最大值,最大人数为多少
(3)已知该演出主办方要求:
①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少;
②尽量少安排安检通道,以节省开支.
若同时满足以上两个要求,可开设几条安检通道 请说明理由.
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景,但要注意验证模型的正确性,未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析,以提高模型的准确性和实用性.
仿真测试卷四
(时间:120分钟　满分:140分)
一、选择题(共8小题,每小题3分,共24分)
1.(2025·山西中考)科技创新型企业的不断涌现,促进了我国新质生产力的快速发展.以下四个科技创新型企业的品牌图标中,为中心对称图形的是(　　)
A. B.
C. D.
答案:D
2.如果把收入50元记作+50元,那么支出50元记作 (　　)
A.+50元 B.0元
C.-50元 D.-100元
答案:C
3.如果点P(x-4,x+3)在平面直角坐标系的第二象限内,那么x的取值范围为(　　)
A.x>4 B.x≤-3或x≥4
C.-3答案:C
解析:∵点P(x-4,x+3)在平面直角坐标系的第二象限内,
∴解得-3故选C.
4.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心,在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD,则点C的坐标为(　　)
A.(-1,-1) B.(-,-1)
C.(-1,-) D.(-2,-1)
答案:B
解析:作AH⊥x轴于点H,CG⊥x轴于点G,
∴△OCG∽△OAH,
∴,
∵A(4,3),
∴OH=4,AH=3,
∵△OAB∽△OCD,且OA∶OC=3,
∴OG=,CG=1,
∴C(-,-1),故选B.
5.(2025·四川眉山中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=6,BC=10.按下列步骤作图:①以点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交AB、AD于E、F两点;②分别以点E、F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点P;③作射线AP交BC于点G,则CG的长为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.8
答案:A
解析:由作图过程可知,AG为∠BAD的平分线,
∴∠BAG=∠DAG.
∵AD∥BC,
∴∠AGB=∠DAG,
∴∠BAG=∠AGB,
∴BG=AB=6,
∴CG=BC-BG=10-6=4.故选A.
6.如图,在平面直角坐标系中,A、C两点在坐标轴上,四边形OABC是面积为4的正方形.若函数y=(x>0)的图像经过点B,则满足y≥2的x的取值范围为(　　)
A.0C.0答案:A
解析:∵四边形OABC是面积为4的正方形,设点B的坐标为(b,b),
∴b2=4,解得b=2(负值舍去),
∴点B的坐标为(2,2).
∵函数y=(x>0)的图像经过点B,
∴满足y≥2的x的取值范围为07.(2025·湖北中考)如图,折叠正方形ABCD的一边BC,使点C落在BD上的点F处,折痕BE交AC于点G.若DE=2,则CG的长是(　　)
A. B.2
C.+1 D.2-1
答案:B
解析:如图,设AC与BD交于点O,过点G作GH⊥BC于点H,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD=AB=AD,∠BCD=∠ADC=90°,∠DBC=∠BDC=45°,AC=BD,OA=OC=OB=OD,AC⊥BD.
由对折可得,BC=BF,CE=EF,∠BFE=∠BCD=90°=∠DFE,∠FBE=∠CBE,
∴∠DEF=∠FDE=45°,而DE=2,
∴DF=EF=DE·sin 45°=2,
∴CD=BC=2+2=BF,
∴AC=BD=BF+DF=2+4,
∴OB=BD=+2,
∵∠FBE=∠CBE,GH⊥BC,AC⊥BD,
∴OG=HG,
∵BG=BG,
∴Rt△OBG≌Rt△HBG,
∴BH=BO=+2,
∴CH=BC-BH=,
∴GH=CH=,∴CG==2.
8.已知m2 025+2 025m=2 025,则一次函数y=(1-m)x+m的图像不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:D
解析:∵m2 025+2 025m=2 025,
∴m>0且2 025m<2 025,
∴00,
∴一次函数y=(1-m)x+m的图像经过第一、二、三象限,不经过第四象限,故选D.
二、填空题(共10小题,每小题3分,共30分)
9.“白日不到处,青春恰自来.苔花如米小,也学牡丹开.”这是清朝袁枚的一首诗《苔》.苔花的花粉直径约为0.000 008 4 m,用科学记数法表示0.000 008 4为　　　　　.
答案:8.4×10-6
10.分解因式:x2-9=　　　　　　.
答案:(x+3)(x-3)
11.(2025·四川宜宾中考)分式方程=0的解为　　　　.
答案:x=1
12.窗,让人足不出户便能将室外天地尽收眼底.如图,“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式,从这三种方式中随机选出一种制作窗格,选中“步步锦”的概率是　　　　.
答案:
13.近年来,某省依托乡村e镇建设,打造农村电商新产业,提高了农民收入.一农户通过网上销售传统手工艺品布老虎,利润由原来的每个20元增加到80元.该农户通过网上售出a个布老虎,则他的利润增加了　　　　　元(用含a的代数式表示).
答案:60a
14.已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的两个实数根,其中x1=1,则x2=　　　　.
答案:-3
15.(2025·徐州沛县期末)将点A(-3,-1)先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到点A',则点A'的坐标为　　　　.
答案:(-5,3)
16.2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月,活动主题为“抓早抓小抓关键,更快降低近视率”.一幅眼肌运动训练图如图所示,其中数字1~12对应的点均匀分布在一个圆上,数字0对应圆心.图中以数字0~12对应的点为端点的所有线段中,有一条线段的长与其他的都不相等.若该圆的半径为1,则这条线段的长为　　　　　.
(参考数据:sin 15°=,sin 75°=)
眼肌运动训练图
使用方法:以0,1,2,3,…的顺序沿着箭头方向移动眼球.移动一圈后再回到原点,反复进行.
答案:
解析:如图,设数字0的位置记为圆心O,数字6的位置记为A,数字7的位置记为B,过点O作OD⊥AB于点D,
眼肌运动训练图
使用方法:以0,1,2,3,…的顺序沿着箭头方向移动眼球.移动一圈后再回到原点,反复进行.
由图可得,线段AB的长与其他的都不相等,
∵数字1~12对应的点均匀分布在一个圆上,
∴360°÷12=30°,
∴相邻两个数字与圆心O组成的圆心角为30°,
∴∠AOB=30°×5=150°,
∴∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOB)=15°.
∵OD⊥AB,
∴∠BOD=75°,
∴sin∠BOD=sin 75°=,
即,
∴BD=.
∵OA=OB,OD⊥AB,
∴AB=2BD=,
∴这条线段的长为.
17.(2025·四川内江中考)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E、F分别是边AD、CD上的动点,连接BE、EF,点G为BE的中点,点H为EF的中点,连接GH,则GH的最大值是　　　　.
答案:5
解析:连接BD、BF(图略),
∵AB=8,AD=6,
∴BD==10.
∵点G为BE的中点,点H为EF的中点,
∴BF=2GH,
∴当BF有最大值时,GH有最大值.
∵点F是边CD上的动点,
∴当点F与点D重合时,BF有最大值为10,∴GH的最大值为5.
18.(2025·山东烟台中考)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,对角线AC=6 cm.点M从点A出发,沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动,同时,点N从点C出发,沿CD方向以 cm/s的速度向点D运动,当一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接AN、DM交于点P.在此过程中,点
P的运动路径长为　　　　　cm.
答案:
解析:如图,连接BD交AC于J,
由题意可得,∠DAC=30°=∠DCA,AJ=CJ=3,
则DJ=BJ=AJ·tan 30°=,AD=AB=BD=2=CD.
设运动时间为t,则AM=t,CN=t,,即,
∴△ADM∽△CAN,
∴∠ADM=∠CAN,
∴∠APM=∠DAP+∠ADM=∠DAP+∠CAN=30°,
∴∠APD=180°-30°=150°,
作等边三角形ADO,以O为圆心,OD为半径作圆,取点K,连接AK、DK,
∴OA=OD=AD=2,∠AOD=60°,∠AKD=×60°=30°,
∴∠AKD+∠APD=180°,
∴P在☉O上,且在上,
∴在此过程中,点P的运动路径长为.
三、解答题(共10小题,共86分)
19.(10分)(1)计算:+(π-1)0-;
(2)化简:(1-)÷.
解:(1)+(π-1)0-
=2+1-3
=3-3
=0.
(2)(1-)÷
=
=
=x+2.
20.(7分)智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘,一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下,该机器人的每一个机械手平均a秒采摘一个成熟的苹果,它的一个机械手用800秒采摘的苹果比用600秒采摘的苹果多25个.
(1)求a的值;
(2)现需要一定数量的苹果发往外地,采摘工作由多个机器人共同完成.每个机器人搭载4个相同的机械手,那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时,才能使采摘的苹果个数不少于10 000个
解:(1)根据题意,得25a=800-600,解得a=8.
(2)设需要x个这样的机器人,
根据题意,得×4x≥10 000,解得x≥,
又x为正整数,∴x的最小值为6.
故至少需要6个这样的机器人同时工作1小时,才能使采摘的苹果个数不少于10 000个.
21.(8分)(2025·四川遂宁中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E、F在对角线BD上,BE=EF=FD,且AF⊥AB,CE⊥CD.
(1)求证:△ABF≌△CDE;
(2)连接AE、CF,若∠ABD=30°,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.
(1)证明:∵AB∥CD,
∴∠ABF=∠CDE,
∵AF⊥AB,CE⊥CD,
∴∠BAF=∠DCE=90°,
∵BE=EF=FD,
∴BE+EF=FD+EF,
即BF=DE.
在△ABF和△CDE中,
∴△ABF≌△CDE(AAS).
(2)解:四边形AECF是菱形.理由如下:
∵∠ABD=30°,AB∥CD,
∴∠CDB=∠ABD=30°,
∵BE=EF,∠BAF=90°,
∴AE是Rt△ABF斜边BF上的中线,
∴AE=BF.
在Rt△ABF中,∠ABD=30°,
∴AF=BF,
∴AE=AF=BF.
同理,CE=CF=DE,
∵BF=DE,
∴AE=AF=CE=CF,
∴四边形AECF是菱形.
22.(8分)(2025·山东威海中考)小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB.测量方案如下:先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数,大楼底部点A的俯角∠2的度数.然后在点C正下方点D处,测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数.若∠1=45°,∠2=52°,∠3=65°,CD=10 m,求大楼的高度AB.(精确到1 m.参考数据:sin 52°≈0.8,cos 52°≈0.6,tan 52°≈1.3;sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.4,tan 65°≈2.1)
解:过点C作CG⊥AB于G,过点D作DH⊥AB于H,
则四边形CDHG是矩形,
∴GH=CD=10 m,CG=DH.
∵∠1=45°,
∴CG=BG.
设AH=x m,则AG=(10+x)m.
在Rt△ACG中,∵∠2=52°,
∴CG= m,
∴BG=CG≈ m,
∴BH=BG+GH≈(+10)m.
在Rt△BDH中,∠3=65°,
∴tan 65°=≈2.1,
∴x≈1.8,即AH≈1.8 m,
则BH≈19.1 m,
∴AB=BH+AH≈19.1+1.8=21(m).
故大楼的高度AB约为21 m.
23.(8分)为加强劳动教育,学校制定了《劳动习惯养成计划》,实施“家校社”联动行动,引导学生参与家务劳动、公益劳动等实践活动.学校在学期初和学期末分别对七年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查,两次调查均随机抽取50名学生.根据收集到的数据,将劳动时间x(单位:h)分为A(0≤x<2)、B(2≤x<3)、C(3≤x<4)、D(x≥4)四组进行统计,并绘制了学期初调查数据条形图,学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表,部分信息如下.
学期初调查数据条形图
学期末调查数据扇形图
两次调查数据统计表
时间 平均数 中位数 众数
学期初 2.8 2.9 2.8
学期末 3.5 3.6 3.6
(1)在学期初调查数据条形图中,B组人数是　　　　　,并补全条形图;
(2)七年级有500名学生,估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3 h的人数;
(3)该校七年级学生一周参与劳动时间,学期末比学期初有没有提高 结合统计数据说明理由.
解:(1)B组人数为50-(9+15+6)=20(人),
补全图形如下:
学期初调查数据条形图
故答案为20.
(2)500×(52%+16%)=340(人),
故估计学期末七年级学生一周参与劳动时间不低于3 h的人数约为340.
(3)学期末比学期初有提高.理由如下:
由题中表格信息可得,学期末比学期初的一周参与劳动时间的平均数、中位数、众数都增加了,
∴该校七年级学生一周参与劳动时间,学期末比学期初有提高.
24.(8分)如图,一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图像相交于A(1,4)、B(4,m)两点,与x轴交于点C,点D与点A关于点O对称,连接AD.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)点P在x轴的负半轴上,且△AOC与△POD相似,求点P的坐标.
解:(1)把A(1,4)代入y=,得4=,
∴k=4,
∴反比例函数的表达式为y=.
把B(4,m)代入y=,得m==1,
∴B(4,1).
将A(1,4)、B(4,1)代入y=ax+b,得解得
∴一次函数的表达式为y=-x+5.
(2)设P(m,0),
∵点D与点A关于点O对称,A(1,4),
∴OA=OD=,
∵直线AB与x轴交于C,
∴可得点C的坐标为(5,0),
∴OC=5.
∵△AOC与△POD相似,∠AOC=∠POD,
∴,
∴,
∴OP=5或OP=,
∴点P的坐标为(-5,0)或(-,0).
25.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点O在边AB上,以点O为圆心,OB长为半径的半圆,交BC于点D,与AC相切于点E,连接OD、OE.
(1)求证:OD⊥OE;
(2)若AB=BC,OB=,求四边形ODCE的面积.
(1)证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C.
由作图可知OB=OD,
∴∠ABC=∠ODB,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC.
∵以点O为圆心,OB长为半径的半圆与AC相切于点E,
∴OE⊥AC,
∴OD⊥OE.
(2)解:∵AB=AC,AB=BC,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠A=60°.
在Rt△AEO中,OE=OD=OB=,
则OA==2,AE==1,∴AB=2+,
∴EC=AC-AE=2+-1=1+,
则四边形ODCE的面积为×(+1)×=3+.
26.(9分)(1)如图①,将平行四边形纸片ABCD的四个角向内折叠,恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH.判断四边形EFGH的形状,并说明理由;
(2)如图②,已知 ABCD能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形MNPQ,其中,点M在AD上,点N在AB上,点P在BC上,点Q在CD上.请用直尺和圆规确定四边形MNPQ的位置.(不写作法,保留作图痕迹)
图①
图②
解:(1)四边形EFGH是矩形.理由如下:
通过折叠的性质,可知∠AFE=∠EFK,∠BFG=∠KFG,
∵A、F、B三点在同一条直线上,
∴2∠EFK+2∠KFG=180°,
∴∠EFK+∠KFG=90°,即∠EFG=90°,
同法可证∠FGH=∠EHG=90°,
∴四边形EFGH是矩形.
(2)如图,四边形MNPQ即为所求.
27.(10分)(2025·扬州中考)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2-2x+3的图像(记为G1)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图像(记为G2)经过点A、C.直线x=t与两个图像G1、G2分别交于点M、N,与x轴交于点P.
(1)求b、c的值.
(2)当点P在线段AO上时,求MN的最大值.
(3)设点M、N到直线AC的距离分别为m、n.当m+n=4时,对应的t值有　　　　个;当m-n=3时,对应的t值有　　　　个;当mn=2时,对应的t值有　　　　个;当=1时,对应的t值有　　　　个.
备用图
解:(1)∵二次函数y=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),
∴令y=0,可得x=-3或x=1,
即A(-3,0),B(1,0).
把A(-3,0)、C(0,3)代入y=x2+bx+c中,可得解得
故b的值为4,c的值为3.
(2)由(1)知G2的表达式为y=x2+4x+3,
由题意,可得P(t,0)(-3≤t≤0),则M(t,-t2-2t+3),N(t,t2+4t+3),故MN=-t2-2t+3-t2-4t-3=-2t2-6t=-2(t+)2+,即MN的最大值为.
(3)作MS⊥AC于点S,NR⊥AC于点R,设MN交AC于点E,如图所示.
由待定系数法可求得直线AC的表达式为y=x+3,
∴∠CAB=45°,
∴∠MES=∠NER=45°,
∵MS=m,RN=n,
∴ME=m,NE=n.
∵E(t,t+3),∴ME=|t2+3t|,NE=|t2+3t|,即ME=NE,进而可得m=n.
①当m+n=4时,即m=n=2,
故MN=4,
当-3≤t≤0时,MNmax=<4,
那么由图可知当t<-3时或t>1时,共2种情况满足题意,
故对应的t值有2个;
②当m-n=3时,即m=n+3,这与m=n相矛盾,故不成立,对应的t值有0个;
③当mn=2时,由m=n可知,m=n=,
故ME=2,
∴|t2+3t|=2,即t2+3t=±2,解得t=-2或t=-1或t=或t=,
故对应的t值有4个;
④当=1时,∵m=n恒成立,
∴对应的t值有无数个.
故答案为2;0;4;无数.
28.(10分)综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图,某数学小组针对某次演出,研究了排队人数与安检时间,安排通道数之间的关系.
【研究条件】
条件1:观众进场立即排队安检,在任意时刻都满足:排队人数=现场总人数-已入场人数;
条件2:若该演出场地最多可开放9条安检通道,平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检,经研究发现,现场总人数y与安检时间x之间满足关系式:y=-x2+60x+100(0≤x≤30).
结合上述信息,请完成下述问题:
(1)当开通3条安检通道时,安检时间x分钟时,已入场人数为　　　　,排队人数w与安检时间x的函数表达式为　　　　.
【模型应用】
(2)在(1)的条件下,排队人数在第几分钟达到最大值,最大人数为多少
(3)已知该演出主办方要求:
①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少;
②尽量少安排安检通道,以节省开支.
若同时满足以上两个要求,可开设几条安检通道 请说明理由.
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景,但要注意验证模型的正确性,未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析,以提高模型的准确性和实用性.
解:(1)若开设3条安检通道,安检时间为x分钟,则已入场人数为18x,若排队人数为w,则w与x的函数表达式为w=y-18x=-x2+42x+100.
故答案为18x;w=-x2+42x+100.
(2)w=-x2+42x+100=-(x-21)2+541,
∴排队人数在第21分钟达到最大值,最大人数为541.
(3)开设7条安检通道.理由如下:
设开了m条通道,则w=y-6mx=-x2+60x+100-6mx=-x2+6(10-m)x+100,对称轴为直线x=3(10-m).
∵排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少,
∴0≤3(10-m)≤10,即≤m≤10,
又最多开通9条,∴≤m≤9,
∵m为正整数,∴m的最小值为7,
∴开设7条安检通道.
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