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广东省深圳市高级中学2025-2026学年八年级（下）期中数学试卷
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：不是轴对称图形，是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：是轴对称图形图形，不是中心对称图形，所以B不符合题意；
C：既是轴对称图形图形，又是中心对称图形，所以C符合题意；
D：不是轴对称图形，是中心对称图形，所以D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．若m＞n，则下列各式中正确的是（　　）
A．m-2＜n-2 B．-3m＜-3n C．4m＜4n D．1-m＞1-n
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：因为m＞n， 所以m-2＞n-2，所以A不正确；
B：因为m＞n， 所以-3m＜-3n，所以B正确；
C：因为m＞n， 所以4m＞4n，所以C不正确；
D：因为m＞n， 所以-m＜-n，所以1-m＜1-n，所以D不正确；
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质，逐项进行分析即可得出答案。
3．已知天平右盘中每个砝码的质量均为5g，则物体M的质量x（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：如图所示，可知，
在数轴上表示为：
故答案为：D．
【分析】首先根据天平先求出物体M的质量x的取值范围，再根据解集在数轴上的表示方法，即可将这个范围在数轴上表示出来。
4．如图，将△ABC沿直线AB的方向向右平移2cm后到达△A'B'C'的位置，此时点A'与点B重合，若△A'B'C'的周长为12cm，则四边形AB'C'C的周长为（　　）
A．14cm B．15cm C．17cm D．16cm
【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解： ∵△A'B'C'的周长为12cm，
∴A'B'+B'C'+A'C'=12cm，
∵△A'B'C'是由 △ABC沿直线AB的方向向右平移2cm后 得到的，
∴△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=CC'=2cm，AC=A'C'，
∴ 四边形AB'C'C的周长 =AC+AB+A'B'+B'C'+CC'=（A'B'+B'C'+A'C'）+（AB+CC'）=12cm+（2cm+2cm）=16cm。
故答案为：D.
【分析】首先根据△A'B'C'的周长为12cm，及平移距离2cm，可得出A'B'+B'C'+A'C'=12cm，AB=CC'=2cm，进而根据平移的性质可得出四边形AB'C'C的周长 =AC+AB+A'B'+B'C'+CC'=（A'B'+B'C'+A'C'）+（AB+CC'）=12cm+（2cm+2cm）=16cm。
5．某商店老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于10%，若设该卫衣打x折销售，则可列式为（　　）
A．110x-80≥80×10% B．110x-80≥110×10%
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解： 设该卫衣打x折销售， 根据题意，得 ： 。
故答案为：C.
【分析】 设该卫衣打x折销售，根据使利润率不低于10%，即可得出不等式。
6．下列说法正确的是（　　）
A．若△ABC的三个内角满足：∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形
B．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
C．“对顶角相等”的逆命题是假命题
D．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设“至多有两个内角是直角”
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；反证法；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A：因为 ∠A=2∠B=3∠C， 则∠B=，∠C=，所以 ∠A++=180°，可得出∠A=，故而得出 △ABC不是直角三角形，所以A不正确；
B：根据中垂线的性质可得出三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等 ，所以B不正确；
C：“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，该逆命题不正确，故而得出“对顶角相等”的逆命题是假命题；
D：用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设“可以有两个内角是直角”
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和可得出A不正确；根据垂直平分线的性质可得出：到三角形三个顶点的距离相等 ，故而得出B不正确；根据逆命题的性质，得出“对顶角相等”的逆命题是假命题；根据反证法可得出D不正确，即可得出答案。
7．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，用尺规在AB边上求作点D，使得.下列作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A：由作图痕迹可知，CD平分∠ACB，可得出∠DCB=∠DCA==30°，进而得出AD==，故而A正确，不符合题意；
B：由作图痕迹可知，所作直线垂直平分BC，进而得出DB=DC，进一步得出∠DCB=∠B=30°，进而得出∠DCA=30°，进而得出AD==，故而B正确，不符合题意；
C：由作图痕迹可知，∠DBC=∠DCB=30°，可得出DB=DC，得出AD==，故而C正确，不符合题意；
D：由作图痕迹，不能得出.故而D不正确，符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据作图痕迹，可逐项进行推理，即可得出答案。
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的三边为边向外做正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1=4，S2=7，则S△ACP：S△BCP等于（　　）
A．2： B．4：3 C．： D．7：4
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；平行四边形的面积；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N，
由题可得，∠BCG=45°，CP⊥CG
∴∠BCP=45°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACP=45°，即CP平分∠ACB，
又∵PM⊥BC，PN⊥AC，
∴PM=PN，
∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S1= 4，S2=7，正方形BCFG的面积=7-4=3，
∴正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3.
∴AC：BC=2：，
∴ S△ACP：S△BCP=
即S△ACP：S△BCP=2：
故答案为：A.
【分析】如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N，首先根据角平分线的性质，得出PM=PN，进而根据正方形ACDE和正方形AHIB的面积的比，可得出AC：BC=2：，进一步即可得出S△ACP：S△BCP=2：。
9．一个多边形的每个内角等于与它相邻的外角的5倍，则这个多边形是　 　 边形.
【答案】12
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设外角的度数为x°，则相邻内角的度数为5x°，
根据题意，得：x+5x=180，
解得：x=30°。
边数为：
故答案为：12.
【分析】设外角的度数为x°，则相邻内角的度数为5x°，根据多边形内角与和它相邻内角互补，可得出x+5x=180，解方程可得出一个外角的度数，进而根据多边形的外角和定理，即可求得多边形的边数。
10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上.若∠CAE=20°，则∠B的度数为　 　 .
【答案】80
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可得出：∠BAD=∠CAE=20°，AB=AD，
∴∠B=∠ADB=
故答案为：80.
【分析】首先根据旋转的性质得出∠BAD=∠CAE=20°，AB=AD，进而根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可得出∠B=∠ADB=
11．如图，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b≤3的解集为　 　 .
【答案】x≥-1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
观察函数图象，图像经过点（-1，3），
∴当x≥-1时，y≤3，即kx+b≤3。
故答案为：x≥-1.
【分析】首先根据k＜0，得出函数的增减性，进而根据点（-1，3），即可得出解集。
12．有甲、乙、丙三个村庄分别位于等边△ABC的顶点，在城中村改造时，为保护环境，改善居民的生活条件，政府决定铺设能够连接这三个村庄的天然气管道.设计人员给出了如图四个设计方案（点D为BC边的中点，点O为△ABC三边垂直平分线的交点，实线表示天然气管道），其中天然气管道总长最短的是方案　 　 .
【答案】方案4
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：设等边三角形的边长为a，根据勾股定理可得出AD=，
方案1：天然气管道总长为：2a+=；
方案2：天然气管道总长为：a+=；
方案3：天然气管道总长为：a+；
方案4：天然气管道总长为：3×。
比较大小：
故答案为：方案4.
【分析】首先根据等边三角形的性质及勾股定理，可得出AD=，进而分别计算4个方案中 天然气管道总长 ，然后比较大小即可。
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，且点A的对应点A'恰好落在AB的延长线上，则△AA'B'的面积是　 　 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；旋转的性质；等积变换
【解析】【解答】解：过C作CH⊥AB于H，B'M⊥AA'于M，延长B'C交AB于D，
∵ BC = 2， AC = 4，∠ACB = 90°，
∴ AB=
∴的面积==
∴CH=
∴AH==
所以△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，
∴△ABC△A'B'C，
∴ B'C = BC = 2，∠ACB'= ∠ACB =90°，∠CA'B'=∠CAB，CA'=CA=4，CH⊥AA'，CA=CA'=4，
∵CH⊥AA'，CA=CA'，
∴AA'=2AH=
∵CA'=CA，
∴∠CA'D=∠CAB，
∴∠CA'D=∠CA'B'，
∵∠A'CD =∠ACB'= 90°，
∴∠A'DC=∠AB'C，
∴AD=A'B'=2，
∵A'C⊥B'D，
∴CD=CB'=2，
∴B'D=2CD = 4，
∵△A'B'D的面积=B'D·A'C=A'D.B'M=8，
∴B'M==
∴△AA'B'的面积=AA'·B'M==
故答案为：.
【分析】过C作CH⊥AB于H，B'M⊥AA'于M，延长B'C交AB于D，首先根据勾股定理得出 AB=，进而根据三角形面积的两种不同求法得出CH=，进而可得出AH==，进而AA'=2AH=，CD=CB'=2，进而得出B'D=2CD = 4，然后根据三角形的面积计算公式可得出△A'B'D的面积=B'D·A'C=A'D.B'M=8，得出B'M==，进一步得出△AA'B'的面积=AA'·B'M==。
14．解不等式：x-5＜4（x+1），并把它的解集表示在数轴上.
【答案】解：去括号，得：x-5＜4x+4
移项，得：x-4x＜5+4，
合并同类项，得：-3x＜9，
系数华为1，得：x＞-3，
将解集表示在数轴上如下：

【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】按照去括号，移项，合并同类项，系数华为1的步骤解一元一次不等式求出解集，并在数轴上按照大于向右，小于向左，不包括界点用空心的小圆圈，规范表示出解集即可。
15．如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABO的三个顶点的坐标分别为A（-1，3），B（-4，0），O（0，0），解答下列问题.
（1）将△ABO向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到△A2B2O2，请画出△A2B2O2；
（2）已知△A1B1O1是由△ABO旋转得到的，△A1B1O1的三个顶点的坐标分别为A1（1，-1），B1（4，-4），O1（4，0），则旋转中心的坐标是　 　，旋转角是　 　度.
【答案】（1）解：如图
（2）（2，2）；90
【知识点】作图﹣平移；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：(2)分别作线段AA1，OO1的垂直平分线，相交于点P(2，2)，
可知△A1B1O1是由△ABO绕点P(2，2)逆时针旋转90°得到的，
∴旋转中心的坐标是(2，2)，旋转角为90°．
故答案为：(2，2)；90.
【分析】（1）根据平移的方向和距离，找出点A，B，O三点的对应点A2，B2，O2， 然后顺次连接，即可得出 △A2B2O2；
（2）找出两组对称点A，A1和O，O1，再分别作线段AA1，OO1的垂直平分线，交点即为旋转中心，对称点与旋转中线相连，组成的角即为旋转角。
16．小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求的取值范围的问题中是这么做的：将方程（1）+（2）：得，进而，又．代入得：，，即的取值范围为．
你能用小明的方法解决下问题吗？
已知方程组的解满足．
（1）求a的取值范围；
（2）求a为何整数时，不等式2ax-x＞2a-1的解集为x＜1？请直接写出a的整数值　 　.
【答案】（1）解：
①+②，得：3x+3y=3+3a
∴x+y=1+a，
∵．
∴
∴-2＜a≤1
（2）0，-1，-2.......
【知识点】一元一次不等式的特殊解；加减消元法解二元一次方程组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解： 不等式2ax-x＞2a-1，
（2a-1）x＞2a-1，
∵ 解集为x＜1 ，
∴2a-1＜0，
解得：a＜.
因为a为整数，
所以a的整数值为：0，-1，-2.......
【分析】（1）首先①+②，并整理得：x+y=1+a，进而根据． 可得出，解不等式即可得出2＜a≤1；
（2）首先解不等式得出（2a-1）x＞2a-1，根据不等式的解集为x＜1 ，可得出2a-1＜0，即可得出a＜，进一步取其整数解即可。
17．某商店销售每台A型电脑的利润为100元，销售每台B型电脑的利润为150元，该商店计划同时购进A，B两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该商店计划一次购进A，B两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍
①共有多少种购买方案？
②商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）解：由题意可得，
y=100x+150（100-x）=-50x+15000，
即y与x的函数关系式为y=-50x+15000
（2）解：①∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，
∴100-x≤2x，
解得，x≥，
∵x为整数，A，B两种型号的电脑共100台，
∴34≤x≤100，
∴进货方案数：100-34+1=67（种），
答：共有67种购买方案；
②∵y=-50x+15000，34≤x≤100，
∴当x=34时，y取得最大值，此时y=-50×34+15000=13300，100-x=66，
答：商店购进A型、B型电脑分别为34台、66台时，才能使销售总利润最大，最大利润是13300元．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据总利润等于A型电脑利润＋B型电脑利润，即可得出y与x的函数关系式为y=-50x+15000；
（2）①根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，可得出100-x≤2x， 求得解集，并根据x为整数，A，B两种型号的电脑共100台，可得出34≤x≤100，即可得出进货方案数：100-34+1=67（种）；
②根据一次函数的增减性，结合34≤x≤100，即可得出商店购进A型、B型电脑分别为34台、66台时，才能使销售总利润最大，最大利润是13300元．
18．如图，在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=AC，沿射线BE折叠△ABC，使点A恰好落在BC的延长线上的点D处，射线BE与腰AC交于点E.
（1）尺规作图：作出射线BE和点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接DE，若，求线段DE的长.
【答案】（1）解：如图，点D，射线BE即为所求．
（2）解：(2)过点C作CF⊥DE于点F，如图所示.
∵等腰三角形ABC中，∠A=30°，沿射线BE折叠三角形ABC，使点A恰好落在BC的延长线上的点D处，
∴ ∠A= ∠D =30°，∠ABC= ∠ACB = 75°，
∴∠DEC= ∠ACB - ∠D = 75°-30°= 45°，
∴∠ECF=∠DEC=45°，
∴EF=CF.
∵CE =，
由勾股定理得=CE
∴EF=CF=3.
在△CDF中，∠D=30°，CF=3
∴CD =6
∴ DF ==3
∴在(1)所作的图形中，连接DE，若CE=3，
则DE=DF+EF=3+3.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）首先作∠ABC的平分线，交AC于点E，然后在射线BC上截取BD=BA即可；
（2）过点C作CF⊥DE于点F，如图所示.首先证得△CEF是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出EF=CF=3.进而根据含30°锐角的直角三角形，可得出 DF ==3，进而得出DE=DF+EF=3+3.
19．阅读材料：
在数轴上，x=2表示一个点：在平面直角坐标系中，x=2表示一条直线：以二元一次方程x+y=2的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=-x+2的图象，它也是一条直线.
如图1，在平面直角坐标系中，不等式x≤2表示一个平面区域，即直线x=2及其左侧的部分：如图2，不等式y≤-x+2也表示一个平面区域，即直线y=-x+2及其下方的部分.
请根据以上材料回答问题：
（1）图3阴影部分（含边界）表示的是　 　（填写不等式）表示的平面区域；
（2）如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组；
（3）如图5，点A在x轴上，点B的坐标为（0，4），且∠ABO=60°，点P为△ABO内部一点（含边界），过点P分别作PC⊥OA，PD⊥AB，PE⊥BO，垂足分别为C，D，E，若PC≤PE≤PD，则所有点P组成的平面区域的面积为　 　.
【答案】（1）y≥x+2
（2）解：(2)设直线m解析式为y=k1x+3，
把(6，0)代入得：6k1+3=0
解得k1=
∴直线m解析式为y=x+3，
设直线n解析式为y=k2x+3，
将(-1，0)代入得：-k2+3=0，
解得k2=3，
∴直线n解析式为y= 3x+3，
观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；含30°角的直角三角形；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：(1)设经过(0，2)，（-2， 0)的直线为y=kx + 2
∴-2k+2 =0，解得k=1，
∴经过(-2，0)，(0，2)的直线为y =x + 2，
观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是y≥x+2表示的平面区域，
故答案为：y≥x+2；
（3）如图，作∠AOB的平分线交AB于R，∠OBA的平分线交OA于K，∠BAO的平分线交OB于T，BK，OR，AT交于G，过点G作GX⊥OB，GY⊥OA，GZ⊥AB分别交于点X，Y，Z，
则可得GX=GY=GZ，
∵题中需要PC≤PE≤PD，
∴满足条件的P在△OGK内（包括边界），即图中阴影部分，
在Rt△BOK中，∠OBK=ABO=30°，
设OK=x，则BK=2x，
根据勾股定理可得(2x）2-x2=42，
解得x=（负数舍去），
∴OK=
∵∠BOG = ∠AOG=∠AOB=45°，
∴OY =GY，OX=GX，
设YK=y.则GK=2y，
∴GY ==y，
∴y+y=4
解得y=
∴GY =y =2-2，
∴S==
即所有点P组成的平面区域的面积为
故答案为：.
【分析】(1)首先根据待定系数法求得一次函数的解析式为y =x + 2，进而根据函数图象，即可得出图3阴影部分（含边界）表示的是y≥x+2表示的平面区域，即可得出答案；
（2）首先根据待定系数法得出直线m和直线n的解析式，进而根据图形即可得出答案；
（3）如图，作∠AOB的平分线交AB于R，∠OBA的平分线交OA于K，∠BAO的平分线交OB于T，BK，OR，AT交于G，过点G作GX⊥OB，GY⊥OA，GZ⊥AB分别交于点X，Y，Z，进而根据角平分线的性质得出GX=GY=GZ，进而根据含30°锐角的直角三角形的性质可得出OK=，GY =y =2-2，进而根据三角形面积计算公式可得出S==，即所有点P组成的平面区域的面积为。
20．教材母题：北师大（2024版）教材P21习题1.2第4题，已知△ABC为等边三角形，其边长为4.点P是AB边上一动点，连接CP.
（1）如图1，点E在AC边上且AE=BP，连接BE交CP于点F.
①求证：BE=CP；
②求∠BFC的度数；
（2）变式提升：
如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D.设BP=x，CD=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）拓展应用：
如图3，在（2）的条件下，延长BC至点E，且CE=BP，连接QE，DE.在点P运动过程中，当△CEQ的周长为时，求DE的长.
【答案】（1）解：①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=60°，
∵AE=BP，
∴△ABE≌△BCP（SAS），
∴BE=CP；②120°
（2）解：如图，在AC上截取AG=BP=x，连接BG，QG，
同(1)①的方法知，BG=CP，由旋转知，∠PCQ=120°，CP =CQ，
∴ BG =CQ，
由(1)②知，∠BFC=120°，
∴∠BFC=∠QCP，
∴BG//CQ，
∴四边形BCQG是平行四边形，
∴CD =CG，
∵等边△ABC的边长为4，
∴AC=4，
∴CG = AC- AG = 4-x，
∴CD=(4 - x) = 2-x（0≤x≤4)；
即：
（3）解：(3)如图，延长CE至M，使CM=BC=4，连接QM.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，
∴AC=MC，
∵∠PCQ=120°，
∴∠BCP+∠MCQ=60°，
∵∠BCP+∠ACP =60°，
∴∠ACP=∠MCQ，
∵CP=CQ，
∴△ACP △MCQ(SAS)，
∴MQ=AP=4-x，∠A=∠M，
∴∠ACB=∠M=60°，
∴EM = CM -CE =4-x，
∴EM=QM，
∴△EMQ是等边三角形，
∴QE=EM，
∵△CEQ的周长为4+，
∴ CE+ QE+ CQ = CE + EM+ CQ = CM+ CQ =4+CQ =4+，
∴CQ =，
过点Q作QN⊥EM，则MN=EM=2-x， QN ==(2 -x)
∴CN =CM-MN=2+x
根据勾股定理得，CN2+QN2=CQ2，
(2+x)2+[(2-x）]2=()2，
解得x=1或3，
当x=1时，BP =CE =1，CD=y =2-=
过点D作DH⊥BC于点H，则CH=CD=，DH==
∴EH =CH + CE=
∴DE==
当x=3时，BP =CE=3，CD=2-=，
∴CH=CD=，DH==，EH=+3=，
∴DE==
综上所述，DE的长为或
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）②由①知△ABE≌△BCP，
∴∠ABE=∠BCP，
∵ △ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
即∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BCP+∠CBE=60°，
∴∠ BFC =180°-（∠BCP+∠CBE）=180°-60°=120°；
故答案为：120°；
【分析】（1）①根据SAS可证得△ABE≌△BCP，即可得出BE=CP；②由①知△ABE≌△BCP，即可得出∠ABE=∠BCP，进而可得出∠BCP+∠CBE=60°，进而根据三角形内角和定理，即可得出∠ BFC =180°-（∠BCP+∠CBE）=180°-60°=120°；
（2）如图，在AC上截取AG=BP=x，连接BG，QG，首先证明四边形BCQG是平行四边形，得出CD =CG，进而得出CG = AC- AG = 4-x，进一步可得出CD=(4 - x) = 2-x（0≤x≤4)，即；
（3）如图，延长CE至M，使CM=BC=4，连接QM.首先根据等边三角形的性质可得出△ACP△MCQ，进而得出MQ=AP=4-x，∠A=∠M，再通过证明△EMQ是等边三角形，可得出CQ = ，过点Q作QN⊥EM，根据勾股定理可得出(2+x)2+[(2-x）]2=()2，解得x=1或3，当x=1时，DE==；当x=3时，DE==，综上所述，DE的长为或。
1 / 1广东省深圳市高级中学2025-2026学年八年级（下）期中数学试卷
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．若m＞n，则下列各式中正确的是（　　）
A．m-2＜n-2 B．-3m＜-3n C．4m＜4n D．1-m＞1-n
3．已知天平右盘中每个砝码的质量均为5g，则物体M的质量x（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，将△ABC沿直线AB的方向向右平移2cm后到达△A'B'C'的位置，此时点A'与点B重合，若△A'B'C'的周长为12cm，则四边形AB'C'C的周长为（　　）
A．14cm B．15cm C．17cm D．16cm
5．某商店老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于10%，若设该卫衣打x折销售，则可列式为（　　）
A．110x-80≥80×10% B．110x-80≥110×10%
C． D．
6．下列说法正确的是（　　）
A．若△ABC的三个内角满足：∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形
B．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
C．“对顶角相等”的逆命题是假命题
D．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设“至多有两个内角是直角”
7．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，用尺规在AB边上求作点D，使得.下列作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的三边为边向外做正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1=4，S2=7，则S△ACP：S△BCP等于（　　）
A．2： B．4：3 C．： D．7：4
9．一个多边形的每个内角等于与它相邻的外角的5倍，则这个多边形是　 　 边形.
10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上.若∠CAE=20°，则∠B的度数为　 　 .
11．如图，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b≤3的解集为　 　 .
12．有甲、乙、丙三个村庄分别位于等边△ABC的顶点，在城中村改造时，为保护环境，改善居民的生活条件，政府决定铺设能够连接这三个村庄的天然气管道.设计人员给出了如图四个设计方案（点D为BC边的中点，点O为△ABC三边垂直平分线的交点，实线表示天然气管道），其中天然气管道总长最短的是方案　 　 .
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，且点A的对应点A'恰好落在AB的延长线上，则△AA'B'的面积是　 　 .
14．解不等式：x-5＜4（x+1），并把它的解集表示在数轴上.
15．如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABO的三个顶点的坐标分别为A（-1，3），B（-4，0），O（0，0），解答下列问题.
（1）将△ABO向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到△A2B2O2，请画出△A2B2O2；
（2）已知△A1B1O1是由△ABO旋转得到的，△A1B1O1的三个顶点的坐标分别为A1（1，-1），B1（4，-4），O1（4，0），则旋转中心的坐标是　 　，旋转角是　 　度.
16．小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求的取值范围的问题中是这么做的：将方程（1）+（2）：得，进而，又．代入得：，，即的取值范围为．
你能用小明的方法解决下问题吗？
已知方程组的解满足．
（1）求a的取值范围；
（2）求a为何整数时，不等式2ax-x＞2a-1的解集为x＜1？请直接写出a的整数值　 　.
17．某商店销售每台A型电脑的利润为100元，销售每台B型电脑的利润为150元，该商店计划同时购进A，B两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该商店计划一次购进A，B两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍
①共有多少种购买方案？
②商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？并求出最大利润.
18．如图，在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=AC，沿射线BE折叠△ABC，使点A恰好落在BC的延长线上的点D处，射线BE与腰AC交于点E.
（1）尺规作图：作出射线BE和点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接DE，若，求线段DE的长.
19．阅读材料：
在数轴上，x=2表示一个点：在平面直角坐标系中，x=2表示一条直线：以二元一次方程x+y=2的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=-x+2的图象，它也是一条直线.
如图1，在平面直角坐标系中，不等式x≤2表示一个平面区域，即直线x=2及其左侧的部分：如图2，不等式y≤-x+2也表示一个平面区域，即直线y=-x+2及其下方的部分.
请根据以上材料回答问题：
（1）图3阴影部分（含边界）表示的是　 　（填写不等式）表示的平面区域；
（2）如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组；
（3）如图5，点A在x轴上，点B的坐标为（0，4），且∠ABO=60°，点P为△ABO内部一点（含边界），过点P分别作PC⊥OA，PD⊥AB，PE⊥BO，垂足分别为C，D，E，若PC≤PE≤PD，则所有点P组成的平面区域的面积为　 　.
20．教材母题：北师大（2024版）教材P21习题1.2第4题，已知△ABC为等边三角形，其边长为4.点P是AB边上一动点，连接CP.
（1）如图1，点E在AC边上且AE=BP，连接BE交CP于点F.
①求证：BE=CP；
②求∠BFC的度数；
（2）变式提升：
如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D.设BP=x，CD=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）拓展应用：
如图3，在（2）的条件下，延长BC至点E，且CE=BP，连接QE，DE.在点P运动过程中，当△CEQ的周长为时，求DE的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：不是轴对称图形，是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：是轴对称图形图形，不是中心对称图形，所以B不符合题意；
C：既是轴对称图形图形，又是中心对称图形，所以C符合题意；
D：不是轴对称图形，是中心对称图形，所以D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：因为m＞n， 所以m-2＞n-2，所以A不正确；
B：因为m＞n， 所以-3m＜-3n，所以B正确；
C：因为m＞n， 所以4m＞4n，所以C不正确；
D：因为m＞n， 所以-m＜-n，所以1-m＜1-n，所以D不正确；
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质，逐项进行分析即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：如图所示，可知，
在数轴上表示为：
故答案为：D．
【分析】首先根据天平先求出物体M的质量x的取值范围，再根据解集在数轴上的表示方法，即可将这个范围在数轴上表示出来。
4．【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解： ∵△A'B'C'的周长为12cm，
∴A'B'+B'C'+A'C'=12cm，
∵△A'B'C'是由 △ABC沿直线AB的方向向右平移2cm后 得到的，
∴△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=CC'=2cm，AC=A'C'，
∴ 四边形AB'C'C的周长 =AC+AB+A'B'+B'C'+CC'=（A'B'+B'C'+A'C'）+（AB+CC'）=12cm+（2cm+2cm）=16cm。
故答案为：D.
【分析】首先根据△A'B'C'的周长为12cm，及平移距离2cm，可得出A'B'+B'C'+A'C'=12cm，AB=CC'=2cm，进而根据平移的性质可得出四边形AB'C'C的周长 =AC+AB+A'B'+B'C'+CC'=（A'B'+B'C'+A'C'）+（AB+CC'）=12cm+（2cm+2cm）=16cm。
5．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解： 设该卫衣打x折销售， 根据题意，得 ： 。
故答案为：C.
【分析】 设该卫衣打x折销售，根据使利润率不低于10%，即可得出不等式。
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；反证法；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A：因为 ∠A=2∠B=3∠C， 则∠B=，∠C=，所以 ∠A++=180°，可得出∠A=，故而得出 △ABC不是直角三角形，所以A不正确；
B：根据中垂线的性质可得出三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等 ，所以B不正确；
C：“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，该逆命题不正确，故而得出“对顶角相等”的逆命题是假命题；
D：用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设“可以有两个内角是直角”
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和可得出A不正确；根据垂直平分线的性质可得出：到三角形三个顶点的距离相等 ，故而得出B不正确；根据逆命题的性质，得出“对顶角相等”的逆命题是假命题；根据反证法可得出D不正确，即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A：由作图痕迹可知，CD平分∠ACB，可得出∠DCB=∠DCA==30°，进而得出AD==，故而A正确，不符合题意；
B：由作图痕迹可知，所作直线垂直平分BC，进而得出DB=DC，进一步得出∠DCB=∠B=30°，进而得出∠DCA=30°，进而得出AD==，故而B正确，不符合题意；
C：由作图痕迹可知，∠DBC=∠DCB=30°，可得出DB=DC，得出AD==，故而C正确，不符合题意；
D：由作图痕迹，不能得出.故而D不正确，符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据作图痕迹，可逐项进行推理，即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；平行四边形的面积；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N，
由题可得，∠BCG=45°，CP⊥CG
∴∠BCP=45°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACP=45°，即CP平分∠ACB，
又∵PM⊥BC，PN⊥AC，
∴PM=PN，
∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，且S1= 4，S2=7，正方形BCFG的面积=7-4=3，
∴正方形ACDE和正方形BCFG的面积之比为4：3.
∴AC：BC=2：，
∴ S△ACP：S△BCP=
即S△ACP：S△BCP=2：
故答案为：A.
【分析】如图所示，过点P作PM⊥CB，交CB的延长线于点M，作PN⊥CA，交CA的延长线于点N，首先根据角平分线的性质，得出PM=PN，进而根据正方形ACDE和正方形AHIB的面积的比，可得出AC：BC=2：，进一步即可得出S△ACP：S△BCP=2：。
9．【答案】12
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设外角的度数为x°，则相邻内角的度数为5x°，
根据题意，得：x+5x=180，
解得：x=30°。
边数为：
故答案为：12.
【分析】设外角的度数为x°，则相邻内角的度数为5x°，根据多边形内角与和它相邻内角互补，可得出x+5x=180，解方程可得出一个外角的度数，进而根据多边形的外角和定理，即可求得多边形的边数。
10．【答案】80
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可得出：∠BAD=∠CAE=20°，AB=AD，
∴∠B=∠ADB=
故答案为：80.
【分析】首先根据旋转的性质得出∠BAD=∠CAE=20°，AB=AD，进而根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可得出∠B=∠ADB=
11．【答案】x≥-1
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
观察函数图象，图像经过点（-1，3），
∴当x≥-1时，y≤3，即kx+b≤3。
故答案为：x≥-1.
【分析】首先根据k＜0，得出函数的增减性，进而根据点（-1，3），即可得出解集。
12．【答案】方案4
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：设等边三角形的边长为a，根据勾股定理可得出AD=，
方案1：天然气管道总长为：2a+=；
方案2：天然气管道总长为：a+=；
方案3：天然气管道总长为：a+；
方案4：天然气管道总长为：3×。
比较大小：
故答案为：方案4.
【分析】首先根据等边三角形的性质及勾股定理，可得出AD=，进而分别计算4个方案中 天然气管道总长 ，然后比较大小即可。
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；旋转的性质；等积变换
【解析】【解答】解：过C作CH⊥AB于H，B'M⊥AA'于M，延长B'C交AB于D，
∵ BC = 2， AC = 4，∠ACB = 90°，
∴ AB=
∴的面积==
∴CH=
∴AH==
所以△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，
∴△ABC△A'B'C，
∴ B'C = BC = 2，∠ACB'= ∠ACB =90°，∠CA'B'=∠CAB，CA'=CA=4，CH⊥AA'，CA=CA'=4，
∵CH⊥AA'，CA=CA'，
∴AA'=2AH=
∵CA'=CA，
∴∠CA'D=∠CAB，
∴∠CA'D=∠CA'B'，
∵∠A'CD =∠ACB'= 90°，
∴∠A'DC=∠AB'C，
∴AD=A'B'=2，
∵A'C⊥B'D，
∴CD=CB'=2，
∴B'D=2CD = 4，
∵△A'B'D的面积=B'D·A'C=A'D.B'M=8，
∴B'M==
∴△AA'B'的面积=AA'·B'M==
故答案为：.
【分析】过C作CH⊥AB于H，B'M⊥AA'于M，延长B'C交AB于D，首先根据勾股定理得出 AB=，进而根据三角形面积的两种不同求法得出CH=，进而可得出AH==，进而AA'=2AH=，CD=CB'=2，进而得出B'D=2CD = 4，然后根据三角形的面积计算公式可得出△A'B'D的面积=B'D·A'C=A'D.B'M=8，得出B'M==，进一步得出△AA'B'的面积=AA'·B'M==。
14．【答案】解：去括号，得：x-5＜4x+4
移项，得：x-4x＜5+4，
合并同类项，得：-3x＜9，
系数华为1，得：x＞-3，
将解集表示在数轴上如下：

【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】按照去括号，移项，合并同类项，系数华为1的步骤解一元一次不等式求出解集，并在数轴上按照大于向右，小于向左，不包括界点用空心的小圆圈，规范表示出解集即可。
15．【答案】（1）解：如图
（2）（2，2）；90
【知识点】作图﹣平移；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：(2)分别作线段AA1，OO1的垂直平分线，相交于点P(2，2)，
可知△A1B1O1是由△ABO绕点P(2，2)逆时针旋转90°得到的，
∴旋转中心的坐标是(2，2)，旋转角为90°．
故答案为：(2，2)；90.
【分析】（1）根据平移的方向和距离，找出点A，B，O三点的对应点A2，B2，O2， 然后顺次连接，即可得出 △A2B2O2；
（2）找出两组对称点A，A1和O，O1，再分别作线段AA1，OO1的垂直平分线，交点即为旋转中心，对称点与旋转中线相连，组成的角即为旋转角。
16．【答案】（1）解：
①+②，得：3x+3y=3+3a
∴x+y=1+a，
∵．
∴
∴-2＜a≤1
（2）0，-1，-2.......
【知识点】一元一次不等式的特殊解；加减消元法解二元一次方程组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解： 不等式2ax-x＞2a-1，
（2a-1）x＞2a-1，
∵ 解集为x＜1 ，
∴2a-1＜0，
解得：a＜.
因为a为整数，
所以a的整数值为：0，-1，-2.......
【分析】（1）首先①+②，并整理得：x+y=1+a，进而根据． 可得出，解不等式即可得出2＜a≤1；
（2）首先解不等式得出（2a-1）x＞2a-1，根据不等式的解集为x＜1 ，可得出2a-1＜0，即可得出a＜，进一步取其整数解即可。
17．【答案】（1）解：由题意可得，
y=100x+150（100-x）=-50x+15000，
即y与x的函数关系式为y=-50x+15000
（2）解：①∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，
∴100-x≤2x，
解得，x≥，
∵x为整数，A，B两种型号的电脑共100台，
∴34≤x≤100，
∴进货方案数：100-34+1=67（种），
答：共有67种购买方案；
②∵y=-50x+15000，34≤x≤100，
∴当x=34时，y取得最大值，此时y=-50×34+15000=13300，100-x=66，
答：商店购进A型、B型电脑分别为34台、66台时，才能使销售总利润最大，最大利润是13300元．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据总利润等于A型电脑利润＋B型电脑利润，即可得出y与x的函数关系式为y=-50x+15000；
（2）①根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，可得出100-x≤2x， 求得解集，并根据x为整数，A，B两种型号的电脑共100台，可得出34≤x≤100，即可得出进货方案数：100-34+1=67（种）；
②根据一次函数的增减性，结合34≤x≤100，即可得出商店购进A型、B型电脑分别为34台、66台时，才能使销售总利润最大，最大利润是13300元．
18．【答案】（1）解：如图，点D，射线BE即为所求．
（2）解：(2)过点C作CF⊥DE于点F，如图所示.
∵等腰三角形ABC中，∠A=30°，沿射线BE折叠三角形ABC，使点A恰好落在BC的延长线上的点D处，
∴ ∠A= ∠D =30°，∠ABC= ∠ACB = 75°，
∴∠DEC= ∠ACB - ∠D = 75°-30°= 45°，
∴∠ECF=∠DEC=45°，
∴EF=CF.
∵CE =，
由勾股定理得=CE
∴EF=CF=3.
在△CDF中，∠D=30°，CF=3
∴CD =6
∴ DF ==3
∴在(1)所作的图形中，连接DE，若CE=3，
则DE=DF+EF=3+3.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）首先作∠ABC的平分线，交AC于点E，然后在射线BC上截取BD=BA即可；
（2）过点C作CF⊥DE于点F，如图所示.首先证得△CEF是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出EF=CF=3.进而根据含30°锐角的直角三角形，可得出 DF ==3，进而得出DE=DF+EF=3+3.
19．【答案】（1）y≥x+2
（2）解：(2)设直线m解析式为y=k1x+3，
把(6，0)代入得：6k1+3=0
解得k1=
∴直线m解析式为y=x+3，
设直线n解析式为y=k2x+3，
将(-1，0)代入得：-k2+3=0，
解得k2=3，
∴直线n解析式为y= 3x+3，
观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；含30°角的直角三角形；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：(1)设经过(0，2)，（-2， 0)的直线为y=kx + 2
∴-2k+2 =0，解得k=1，
∴经过(-2，0)，(0，2)的直线为y =x + 2，
观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是y≥x+2表示的平面区域，
故答案为：y≥x+2；
（3）如图，作∠AOB的平分线交AB于R，∠OBA的平分线交OA于K，∠BAO的平分线交OB于T，BK，OR，AT交于G，过点G作GX⊥OB，GY⊥OA，GZ⊥AB分别交于点X，Y，Z，
则可得GX=GY=GZ，
∵题中需要PC≤PE≤PD，
∴满足条件的P在△OGK内（包括边界），即图中阴影部分，
在Rt△BOK中，∠OBK=ABO=30°，
设OK=x，则BK=2x，
根据勾股定理可得(2x）2-x2=42，
解得x=（负数舍去），
∴OK=
∵∠BOG = ∠AOG=∠AOB=45°，
∴OY =GY，OX=GX，
设YK=y.则GK=2y，
∴GY ==y，
∴y+y=4
解得y=
∴GY =y =2-2，
∴S==
即所有点P组成的平面区域的面积为
故答案为：.
【分析】(1)首先根据待定系数法求得一次函数的解析式为y =x + 2，进而根据函数图象，即可得出图3阴影部分（含边界）表示的是y≥x+2表示的平面区域，即可得出答案；
（2）首先根据待定系数法得出直线m和直线n的解析式，进而根据图形即可得出答案；
（3）如图，作∠AOB的平分线交AB于R，∠OBA的平分线交OA于K，∠BAO的平分线交OB于T，BK，OR，AT交于G，过点G作GX⊥OB，GY⊥OA，GZ⊥AB分别交于点X，Y，Z，进而根据角平分线的性质得出GX=GY=GZ，进而根据含30°锐角的直角三角形的性质可得出OK=，GY =y =2-2，进而根据三角形面积计算公式可得出S==，即所有点P组成的平面区域的面积为。
20．【答案】（1）解：①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=60°，
∵AE=BP，
∴△ABE≌△BCP（SAS），
∴BE=CP；②120°
（2）解：如图，在AC上截取AG=BP=x，连接BG，QG，
同(1)①的方法知，BG=CP，由旋转知，∠PCQ=120°，CP =CQ，
∴ BG =CQ，
由(1)②知，∠BFC=120°，
∴∠BFC=∠QCP，
∴BG//CQ，
∴四边形BCQG是平行四边形，
∴CD =CG，
∵等边△ABC的边长为4，
∴AC=4，
∴CG = AC- AG = 4-x，
∴CD=(4 - x) = 2-x（0≤x≤4)；
即：
（3）解：(3)如图，延长CE至M，使CM=BC=4，连接QM.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，
∴AC=MC，
∵∠PCQ=120°，
∴∠BCP+∠MCQ=60°，
∵∠BCP+∠ACP =60°，
∴∠ACP=∠MCQ，
∵CP=CQ，
∴△ACP △MCQ(SAS)，
∴MQ=AP=4-x，∠A=∠M，
∴∠ACB=∠M=60°，
∴EM = CM -CE =4-x，
∴EM=QM，
∴△EMQ是等边三角形，
∴QE=EM，
∵△CEQ的周长为4+，
∴ CE+ QE+ CQ = CE + EM+ CQ = CM+ CQ =4+CQ =4+，
∴CQ =，
过点Q作QN⊥EM，则MN=EM=2-x， QN ==(2 -x)
∴CN =CM-MN=2+x
根据勾股定理得，CN2+QN2=CQ2，
(2+x)2+[(2-x）]2=()2，
解得x=1或3，
当x=1时，BP =CE =1，CD=y =2-=
过点D作DH⊥BC于点H，则CH=CD=，DH==
∴EH =CH + CE=
∴DE==
当x=3时，BP =CE=3，CD=2-=，
∴CH=CD=，DH==，EH=+3=，
∴DE==
综上所述，DE的长为或
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）②由①知△ABE≌△BCP，
∴∠ABE=∠BCP，
∵ △ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
即∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BCP+∠CBE=60°，
∴∠ BFC =180°-（∠BCP+∠CBE）=180°-60°=120°；
故答案为：120°；
【分析】（1）①根据SAS可证得△ABE≌△BCP，即可得出BE=CP；②由①知△ABE≌△BCP，即可得出∠ABE=∠BCP，进而可得出∠BCP+∠CBE=60°，进而根据三角形内角和定理，即可得出∠ BFC =180°-（∠BCP+∠CBE）=180°-60°=120°；
（2）如图，在AC上截取AG=BP=x，连接BG，QG，首先证明四边形BCQG是平行四边形，得出CD =CG，进而得出CG = AC- AG = 4-x，进一步可得出CD=(4 - x) = 2-x（0≤x≤4)，即；
（3）如图，延长CE至M，使CM=BC=4，连接QM.首先根据等边三角形的性质可得出△ACP△MCQ，进而得出MQ=AP=4-x，∠A=∠M，再通过证明△EMQ是等边三角形，可得出CQ = ，过点Q作QN⊥EM，根据勾股定理可得出(2+x)2+[(2-x）]2=()2，解得x=1或3，当x=1时，DE==；当x=3时，DE==，综上所述，DE的长为或。
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