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2026徐州专版中考数学
考点强化练11　一次函数的应用
基础过关
1.(2024·上海中考)某种商品的销售额y(单位:万元)与广告投入x(单位:万元)成一次函数关系,当投入10万元时,销售额为1 000万元;当投入90万元时,销售额为5 000万元.则投入80万元时,销售额为________万元.
2.(2024·山东东营中考)在弹性限度内,弹簧的长度y(单位:cm)是所挂物体质量x(单位:kg)的一次函数.一根弹簧不挂物体时长12.5 cm,当所挂物体的质量为2 kg时,弹簧的长度为13.5 cm,当所挂物体的质量为5 kg时,弹簧的长度为________ cm.
3.(2025·四川广元中考)某校开展阳光体育大课间活动,需购买一批球类用品.在采购中发现,篮球的单价比足球的单价高20元,用10 000元购买篮球的数量和用8 000元购买足球的数量相同.
(1)求篮球和足球的单价;
(2)学校需购买篮球和足球共120个(两种球都要购买),足球的数量不能多于篮球数量的,设购买篮球x个,总费用为y元,求总费用y(单位:元)与x(单位:个)的函数表达式,并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案.
能力提升
4.(2024·山东淄博中考)某日,甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼.两人都从A地匀速出发,甲健步走向B地.途中偶遇一位朋友,驻足交流10 min后,继续以原速步行前进;乙因事比甲晚出发30 min,跑步到达B地后立刻以原速返回,在返回途中与甲第二次相遇.如图表示甲、乙两人之间的距离y(单位:m)与甲出发的时间x(单位:min)之间的函数关系.
有以下结论:
①甲、乙两人第一次相遇时,乙的锻炼用时为20 min;
②甲出发86 min时,甲、乙两人之间的距离达到最大值3 600 m;
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100 min;
④A、B两地之间的距离是11 200 m.
其中正确的结论有(　　)
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
5.某无人机表演团队进行无人机表演训练,甲无人机以a m/s的速度从地面起飞,乙无人机从距离地面20 m高的楼顶起飞,甲、乙两架无人机同时匀速上升,6 s时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演,完成表演动作后,按原速继续飞行上升,当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96 m时,进行了时长为t s的联合表演,表演完成后以相同的速度同时返回地面.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位:m)与无人机飞行的时间x(单位:s)之间的函数关系如图所示.请结合图像解答下列问题:
(1)a=________m/s,t=________s;
(2)求线段MN所在直线的函数表达式;
(3)两架无人机表演训练到多少秒时,它们距离地面的高度差为12 m
创新拓展
6.【知识链接】
实验目的:探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程:如图①,在两个完全相同的溢水杯中,分别盛满甲、乙两种不同密度的液体,将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方,从离桌面20 cm的高度,分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中,通过观察弹簧测力计示数的变化,探究浮力大小的变化.(溢水杯的杯底厚度忽略不计)
实验结论:物体在液体中所受浮力的大小,跟它浸在液体中的体积有关,跟液体的密度有关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大,浮力就越大.
总结公式:当小铝块位于液面上方时,F拉力=G重力;当小铝块浸入液面后,F拉力=G重力-F浮力.
【建立模型】在实验探究的过程中,实验小组发现:弹簧测力计A、B各自的示数F拉力(单位:N)与小铝块各自下降的高度x(单位:cm)之间的关系如图②所示.
【解决问题】
(1)当小铝块下降10 cm时,直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数.
(2)当6≤x≤10时,求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数表达式.
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8 cm时,甲液体中的圆柱体小铝块受到的浮力为m(单位:N),若使乙液体中的圆柱体小铝块所受的浮力也为m(单位:N),则乙液体中的圆柱体小铝块浸入的深度为n(单位:cm),求m、n的值.
图①
图②
考点强化练11　一次函数的应用
基础过关
1.(2024·上海中考)某种商品的销售额y(单位:万元)与广告投入x(单位:万元)成一次函数关系,当投入10万元时,销售额为1 000万元;当投入90万元时,销售额为5 000万元.则投入80万元时,销售额为________万元.
答案:4 500
解析:设y与x的函数表达式为y=kx+b,
由题意,得
解得
∴y=50x+500,
当x=80时,y=50×80+500=4 500.
2.(2024·山东东营中考)在弹性限度内,弹簧的长度y(单位:cm)是所挂物体质量x(单位:kg)的一次函数.一根弹簧不挂物体时长12.5 cm,当所挂物体的质量为2 kg时,弹簧的长度为13.5 cm,当所挂物体的质量为5 kg时,弹簧的长度为________ cm.
答案:15
解析:设y与x的函数表达式为y=kx+b,由题意,得解得
∴y=0.5x+12.5.
当x=5时,y=0.5×5+12.5=15.
3.(2025·四川广元中考)某校开展阳光体育大课间活动,需购买一批球类用品.在采购中发现,篮球的单价比足球的单价高20元,用10 000元购买篮球的数量和用8 000元购买足球的数量相同.
(1)求篮球和足球的单价;
(2)学校需购买篮球和足球共120个(两种球都要购买),足球的数量不能多于篮球数量的,设购买篮球x个,总费用为y元,求总费用y(单位:元)与x(单位:个)的函数表达式,并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案.
解:(1)设足球的单价为m元,则篮球的单价为(m+20)元.
根据题意,得,
解得m=80.
经检验,m=80是所列分式方程的根,
80+20=100(元).
故篮球的单价为100元,足球的单价为80元.
(2)由题意,得购买足球(120-x)个,
根据题意,得
解得72≤x≤119,且x为整数,
∴y=100x+80(120-x)=20x+9 600,
∴y与x的函数表达式及x的取值范围是y=20x+9 600(72≤x≤119,且x为整数).
∵20>0,
∴y随x的增大而增大,
∴当x=72时,y值最小,
∴120-x=120-72=48.
故购买篮球72个、足球48个总费用最低.
能力提升
4.(2024·山东淄博中考)某日,甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼.两人都从A地匀速出发,甲健步走向B地.途中偶遇一位朋友,驻足交流10 min后,继续以原速步行前进;乙因事比甲晚出发30 min,跑步到达B地后立刻以原速返回,在返回途中与甲第二次相遇.如图表示甲、乙两人之间的距离y(单位:m)与甲出发的时间x(单位:min)之间的函数关系.
有以下结论:
①甲、乙两人第一次相遇时,乙的锻炼用时为20 min;
②甲出发86 min时,甲、乙两人之间的距离达到最大值3 600 m;
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100 min;
④A、B两地之间的距离是11 200 m.
其中正确的结论有(　　)
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
答案:B
解析:由题图知,甲出发50 min后与乙第一次相遇.
∵乙比甲晚出发30 min,
∴乙出发50-30=20 min时,两人第一次相遇,
故结论①正确;
②观察函数图像,知当x=86时,y取得最大值,最大值为3 600,
∴甲出发86 min时,甲、乙两人之间的距离达到最大值3 600 m,故结论②正确;
③设甲的速度为a m/min,乙的速度为b m/min,
根据题意,得
解得
∴86+=86+=98,
∴甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98 min,故结论③错误;
④∵200×(86-30)=11 200(m),
∴A、B两地之间的距离是11 200 m,故结论④正确.
综上,正确的结论有①②④.
故选B.
5.某无人机表演团队进行无人机表演训练,甲无人机以a m/s的速度从地面起飞,乙无人机从距离地面20 m高的楼顶起飞,甲、乙两架无人机同时匀速上升,6 s时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演,完成表演动作后,按原速继续飞行上升,当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96 m时,进行了时长为t s的联合表演,表演完成后以相同的速度同时返回地面.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位:m)与无人机飞行的时间x(单位:s)之间的函数关系如图所示.请结合图像解答下列问题:
(1)a=________m/s,t=________s;
(2)求线段MN所在直线的函数表达式;
(3)两架无人机表演训练到多少秒时,它们距离地面的高度差为12 m
解:(1)由题意得甲无人机的速度为a=48÷6=8(m/s),
t=39-19=20(s).
故答案:为8;20.
(2)由题中图像知,N(19,96),
∵甲无人机的速度为8 m/s,
∴甲无人机匀速从0 m到96 m所用时间为96÷8=12(s),
∴甲无人机单独表演所用时间为19-12=7(s),
∴点M的横坐标为6+7=13,
∴M(13,48).
设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+b,
将M(13,48)、N(19,96)代入,得
解得
∴线段MN所在直线的函数表达式为y=8x-56.
(3)如图,A(0,20),B(6,48).
设线段AN所在直线的函数表达式为y=k1x+b1,将A(0,20)、N(19,96)代入,得
解得
∴线段AN所在直线的函数表达式为y=4x+20.
同理,线段OB所在直线的函数表达式为y=8x,线段BM所在直线的函数表达式为y=48.
当0≤x≤6时,|4x+20-8x|=12,
解得x=2或x=8(舍去),
当6解得x=10或x=4(舍去),
当13解得x=16或x=22(舍去).
综上,两架无人机表演训练到2 s或10 s或16 s时,它们距离地面的高度差为12 m.
创新拓展
6.【知识链接】
实验目的:探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程:如图①,在两个完全相同的溢水杯中,分别盛满甲、乙两种不同密度的液体,将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方,从离桌面20 cm的高度,分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中,通过观察弹簧测力计示数的变化,探究浮力大小的变化.(溢水杯的杯底厚度忽略不计)
实验结论:物体在液体中所受浮力的大小,跟它浸在液体中的体积有关,跟液体的密度有关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大,浮力就越大.
总结公式:当小铝块位于液面上方时,F拉力=G重力;当小铝块浸入液面后,F拉力=G重力-F浮力.
【建立模型】在实验探究的过程中,实验小组发现:弹簧测力计A、B各自的示数F拉力(单位:N)与小铝块各自下降的高度x(单位:cm)之间的关系如图②所示.
【解决问题】
(1)当小铝块下降10 cm时,直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数.
(2)当6≤x≤10时,求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数表达式.
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8 cm时,甲液体中的圆柱体小铝块受到的浮力为m(单位:N),若使乙液体中的圆柱体小铝块所受的浮力也为m(单位:N),则乙液体中的圆柱体小铝块浸入的深度为n(单位:cm),求m、n的值.
图①
图②
解:(1)弹簧测力计A的示数为2.8 N,弹簧测力计B的示数为2.5 N.
(2)当6≤x≤10时,设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数表达式为F拉力=kx+b(k、b为常数,且k≠0),将(6,4)和(10,2.8)分别代入,得解得
∴当6≤x≤10时,弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数表达式为F拉力=-0.3x+5.8(6≤x≤10).
(3)根据题中图像,知圆柱体小铝块所受重力为4 N,
当x=8时,弹簧测力计A的示数F拉力=-0.3×8+5.8=3.4,
∴F浮力=4-3.4=0.6(N),
∴m=0.6.
当6≤x≤10时,设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数表达式为F拉力=k1x+b1(k1、b1为常数,且k1≠0),
将(6,4)和(10,2.5)分别代入,
得
解得
∴当6≤x≤10时,弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数表达式为F拉力=-0.375x+6.25(6≤x≤10).
当-0.375x+6.25=3.4时,
解得x=7.6,
∴n=7.6-6=1.6.
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