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2026徐州专版中考数学
考点强化练12　反比例函数的图像与性质
基础过关
1.(2025·天津中考)若点A(-3,y1)、B(1,y2)、C(3,y3)都在反比例函数y=-的图像上,则y1、y2、y3的大小关系是(　　)
A.y1C.y12.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCO的顶点O是坐标原点,顶点A在反比例函数y=(k≠0,x<0)的图像上,对角线OB在x轴上.若菱形ABCO的面积为8,则k的值为(　　)
A.4 B.-4
C.2 D.-2
3.在一定条件下,乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系,即f=(k为常数,k≠0).若某乐器的弦长l为0.9米,振动频率f为200赫兹,则k的值为________.
4.如图,在平面直角坐标系中,函数y=(k为大于0的常数,x>0)图像上的两点A(x1,y1)、B(x2,y2),满足x2=2x1,△ABC的边AC∥x轴,边BC∥y轴,若△OAB的面积为6,则△ABC的面积为________.
5.已知点(1,3)在反比例函数y=的图像上.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)点(-3,a)、(1,b)、(3,c)都在反比例函数的图像上,比较a、b、c的大小.
能力提升
6.已知正比例函数y1=ax的图像经过点(1,-1),反比例函数y2=的图像位于第一、三象限,则一次函数y=ax+b的图像一定不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.(2024·江苏苏州中考)如图,A为反比例函数y=-(x<0)图像上的一点,连接AO,过点O作OA的垂线与反比例函数y=(x>0)的图像交于点B,则的值为(　　)
A. B. C. D.
8.(2025·江苏无锡中考)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,Rt△OBA的直角边OB在x轴上,AO、AB分别与反比例函数y=(k>0,x>0)的图像相交于点C、D,且C为AO的中点,过点C作x轴的垂线,垂足为E,连接DE.若△BDE的面积为,则k的值为(　　)
A. B. C.5 D.10
9.若反比例函数y1=,y2=-,当1≤x≤3时,y1的最大值是a,y2的最大值是b,则ab=________.
10.(2025·山东青岛中考)如图,正八边形ABCDEFGH的顶点A、B、G、H在坐标轴上,顶点C、D、E、F在第一象限,点F在反比例函数y=(x>0)的图像上.若AB=,则k的值为________.
11.如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在反比例函数y=-和y=(k>0)的图像上,点A的横坐标为-1,点B的横坐标为n(n>3),点C的坐标为(3,0),AC⊥BC,AC=2BC.求点A、B的坐标及反比例函数y=(k>0)的表达式.
创新拓展
12.如图,点A1,A2,A3,…,An,An+1为反比例函数y=(k>0)图像上的点,其横坐标依次为1,2,3,…,n,n+1.过点A1,A2,A3,…,An作x轴的垂线,垂足分别为点H1,H2,H3,…,Hn;过点A2作A2B1⊥A1H1于B1,过点A3作A3B2⊥A2H2于B2,…,过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于Bn.
记△A1B1A2的面积为S1,△A2B2A3的面积为S2,…,△AnBnAn+1的面积为Sn.
(1)当k=2时,点B1的坐标为________,
S1+S2=________,
S1+S2+S3=________,
S1+S2+S3+…+Sn=________(用含n的代数式表示);
(2)当k=3时,S1+S2+S3+…+Sn=________________(用含n的代数式表示).
考点强化练12　反比例函数的图像与性质
基础过关
1.(2025·天津中考)若点A(-3,y1)、B(1,y2)、C(3,y3)都在反比例函数y=-的图像上,则y1、y2、y3的大小关系是(　　)
A.y1C.y1答案:D
解析:∵y=-,∴此反比例函数的图像分布在第二、四象限,在每一个象限内y随x的增大而增大.
∵点A(-3,y1)在第二象限,点B(1,y2)、C(3,y3)在第四象限,∴y1>0,y2<0,y3<0.
又1<3,
∴y2∴y2故选D.
2.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCO的顶点O是坐标原点,顶点A在反比例函数y=(k≠0,x<0)的图像上,对角线OB在x轴上.若菱形ABCO的面积为8,则k的值为(　　)
A.4 B.-4
C.2 D.-2
答案:B
解析:如图,连接AC交OB于点D,
∵四边形ABCO是菱形,OB在x轴上,S菱形ABCO=8,
∴OB⊥AC,S△AOD=S菱形ABCO=2|k|.
∵k<0,∴k=-4.
故选B.
3.在一定条件下,乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系,即f=(k为常数,k≠0).若某乐器的弦长l为0.9米,振动频率f为200赫兹,则k的值为________.
答案:180
解析:当l=0.9,f=200时,200=,
∴k=180.
4.如图,在平面直角坐标系中,函数y=(k为大于0的常数,x>0)图像上的两点A(x1,y1)、B(x2,y2),满足x2=2x1,△ABC的边AC∥x轴,边BC∥y轴,若△OAB的面积为6,则△ABC的面积为________.
答案:2
解析:如图,延长CA交y轴于点E,延长CB交x轴于点F,
∴CE⊥y轴,CF⊥x轴,
∴四边形OECF为矩形.
∵x2=2x1,
∴A为CE的中点.
由几何意义得,S△OAE=S△OBF,
∴B为CF的中点,
∴S△OAB=S矩形OECF=6,
∴S矩形OECF=16,
∴S△ABC=×16=2.
5.已知点(1,3)在反比例函数y=的图像上.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)点(-3,a)、(1,b)、(3,c)都在反比例函数的图像上,比较a、b、c的大小.
解:(1)将点(1,3)代入y=,
得k=3,∴y=.
(2)分别将点(-3,a)、(1,b)、(3,c)代入y=,得a=-1,b=3,c=1,
∴b>c>a.
能力提升
6.已知正比例函数y1=ax的图像经过点(1,-1),反比例函数y2=的图像位于第一、三象限,则一次函数y=ax+b的图像一定不经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:C
解析:∵正比例函数y1=ax的图像经过点(1,-1),点(1,-1)位于第四象限,
∴正比例函数y1=ax的图像经过第二、四象限,∴a<0.
∵反比例函数y2=的图像位于第一、三象限,
∴b>0,
∴一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、四象限,不经过第三象限.
故选C.
7.(2024·江苏苏州中考)如图,A为反比例函数y=-(x<0)图像上的一点,连接AO,过点O作OA的垂线与反比例函数y=(x>0)的图像交于点B,则的值为(　　)
A. B. C. D.
答案:A
解析:如图,过点A作AG⊥x轴,垂足为G,过点B作BH⊥x轴,垂足为H.
∵点A在反比例函数y=-(x<0)图像上,点B在反比例函数y=(x>0)图像上,
∴S△AGO=,S△BOH=2.
∵∠AOB=90°,
∴∠AOG=∠HBO,∠AGO=∠OHB,
∴△AGO∽△OHB,
∴=()2=,∴.
故选A.
8.(2025·江苏无锡中考)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,Rt△OBA的直角边OB在x轴上,AO、AB分别与反比例函数y=(k>0,x>0)的图像相交于点C、D,且C为AO的中点,过点C作x轴的垂线,垂足为E,连接DE.若△BDE的面积为,则k的值为(　　)
A. B. C.5 D.10
答案:C
解析:由题意,设点C的坐标为(a,)(a>0),
∵C是AO的中点,且CE⊥x轴,AB⊥x轴,
∴CE是△AOB的中位线,
∴OE=EB=a,
∴OB=OE+EB=2a,
CE=AB,又CE=,
∴AB=,∴点A的坐标为(2a,).
∵点D在AB上,且在反比例函数y=的图像上,∴点D的横坐标为2a.
将x=2a代入y=,得y=,
∴点D的坐标为(2a,).
∵AB⊥x轴,∴S△BDE=·EB·BD,
即·a·,
解得k=5.故选C.
9.若反比例函数y1=,y2=-,当1≤x≤3时,y1的最大值是a,y2的最大值是b,则ab=________.
答案:
解析:∵y1=,∴当1≤x≤3时,y1随x的增大而减小,则当x=1时,y1取最大值,最大值a=2.
∵y2=-,∴当1≤x≤3时,y2随x的增大而增大,则当x=3时,y2取最大值,最大值b=-1,
∴ab=2-1=.
10.(2025·山东青岛中考)如图,正八边形ABCDEFGH的顶点A、B、G、H在坐标轴上,顶点C、D、E、F在第一象限,点F在反比例函数y=(x>0)的图像上.若AB=,则k的值为________.
答案:2+
解析:过点F作FK⊥y轴,垂足为K,
在正八边形ABCDEFGH中,内角的度数为=135°,
∴∠BAH=135°,
∴∠OAH=45°,
∴△OAH是等腰直角三角形,
同理,△FKG是等腰直角三角形.
∵AH=AB=FG=,
∴OA=OH=KG=KF=1,
∴F(1,2+).
∵点F在反比例函数y=(x>0)的图像上,∴k=1×(2+)=2+.
11.如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在反比例函数y=-和y=(k>0)的图像上,点A的横坐标为-1,点B的横坐标为n(n>3),点C的坐标为(3,0),AC⊥BC,AC=2BC.求点A、B的坐标及反比例函数y=(k>0)的表达式.
解:由题意,得y==2,
∴A(-1,2).
如图,作AF⊥x轴,BN⊥x轴,垂足分别为F、N,∴∠AFC=∠BNC=90°.
∵AC⊥BC,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACF+∠BCN=90°.
∵∠CBN+∠BCN=90°,
∴∠ACF=∠CBN.
∴△AFC∽△CNB.
∵AC=2BC,
∴.
∵A(-1,2),C(3,0),∴CF=4,AF=2,
∴,
∴BN=2,CN=1,
∴ON=OC+CN=4,
∴B(4,2).
将B(4,2)代入y=(k>0)得,k=2×4=8,∴反比例函数的表达式为y=.
创新拓展
12.如图,点A1,A2,A3,…,An,An+1为反比例函数y=(k>0)图像上的点,其横坐标依次为1,2,3,…,n,n+1.过点A1,A2,A3,…,An作x轴的垂线,垂足分别为点H1,H2,H3,…,Hn;过点A2作A2B1⊥A1H1于B1,过点A3作A3B2⊥A2H2于B2,…,过点An+1作An+1Bn⊥AnHn于Bn.
记△A1B1A2的面积为S1,△A2B2A3的面积为S2,…,△AnBnAn+1的面积为Sn.
(1)当k=2时,点B1的坐标为________,
S1+S2=________,
S1+S2+S3=________,
S1+S2+S3+…+Sn=________(用含n的代数式表示);
(2)当k=3时,S1+S2+S3+…+Sn=________________(用含n的代数式表示).
答案:(1)(1,1)　　(2)
解析:(1)当k=2时,y=.
当x=1时,y=2;当x=2时,y=1,
∴A1(1,2),A2(2,1),
∴B1H1=1,
∴B1(1,1).
∵A1(1,),A2(2,),A3(3,),A4(4,),…,An(n,),An+1(n+1,),
∴S1=×1×(),
S2=×1×(),
S3=×1×(),
……
Sn=×1×(),
∴S1+S2=×1×()=×1×()=,
S1+S2+S3=×1×()=,
……
S1+S2+S3+…+Sn=×1×()=.
(2)当k=3时,y=,
∴A1(1,),A2(2,),A3(3,),…,An(n,),An+1(n+1,),
∴S1+S2+S3+…+Sn=×1×()=.
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