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2026徐州专版中考数学
考点强化练13　反比例函数的应用
基础过关
1.已知反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=2-x的图像的一个交点的横坐标为3,则k的值为(　　)
A.-3 B.-1
C.1 D.3
2.(2024·四川泸州中考)已知关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0无实数根,则正比例函数y=kx与反比例函数y=的图像的交点个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.如图,过原点的直线与反比例函数y=(k>0)的图像交于A(m,n)、B(m-6,n-6)两点,则k的值为________.
4.如图,点A(2,2)在反比例函数y=(x>0)的图像上,将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B,交双曲线于点C.若BC=2,则点C的坐标是　 　　.
5.(2025·四川资阳中考)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点.一次函数y=kx-2的图像与x轴交于点A(-1,0),与反比例函数y=(x<0)的图像交于点B(-2,a),射线BO与反比例函数y=的图像交于点C,连接AC.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)求△ABC的面积.
能力提升
6.如图,反比例函数y=(k>0)的图像与过点D(-1,0)的直线AB相交于A、B两点.已知点A的坐标为(1,3),点C为x轴上任意一点.如果S△ABC=9,那么点C的坐标为(　　)
A.(-3,0)
B.(5,0)
C.(-3,0)或(5,0)
D.(3,0)或(-5,0)
7.(2025·青海西宁中考)如图,一次函数y1=k1x+b(k1≠0)的图像与两坐标轴分别交于点A、B,与反比例函数y2=(k2≠0,x>0)的图像交于点C(1,2)、D(m,).下列结论错误的是(　　)
A.b=
B.△BOC与△AOD的面积相等
C.△COD的面积是
D.当1≤x≤4时,y1≥y2
8.如图,在平面直角坐标系中,直线y1=k1x+b与反比例函数y2=(其中k1·k2≠0)的图像相交于A(-2,3)、B(m,-2)两点,过点B作BP∥x轴,交y轴于点P,则△ABP的面积是________.
9.如图,一次函数y=mx+n(m≠0)的图像与反比例函数y=(k≠0)的图像交于点A(-3,a)、B(1,3),且一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点C、D.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)根据函数图像直接写出关于x的不等式mx+n>的解集;
(3)在第三象限的反比例函数图像上有一点P,使得S△OCP=4S△OBD,求点P的坐标.
创新拓展
10.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,OA=2,点B在反比例函数y=(k>0)的图像上,△OBA为等边三角形,延长BO与反比例函数y=的图像在第三象限交于点C,连接CA并延长与反比例函数y=的图像在第一象限交于点D.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求点D的坐标及△OAD的面积.
考点强化练13　反比例函数的应用
基础过关
1.已知反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=2-x的图像的一个交点的横坐标为3,则k的值为(　　)
A.-3 B.-1
C.1 D.3
答案:A
解析:把x=3代入y=2-x中,
得y=2-3=-1.
将(3,-1)代入y=中,
得k=-1×3=-3.
故选A.
2.(2024·四川泸州中考)已知关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0无实数根,则正比例函数y=kx与反比例函数y=的图像的交点个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:A
解析:∵关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0无实数根,
∴4-4(1-k)<0,
解得k<0,
则函数y=kx的图像经过第二、四象限,函数y=的图像分布在第一、三象限,
∴这两个函数图像没有交点.故选A.
3.如图,过原点的直线与反比例函数y=(k>0)的图像交于A(m,n)、B(m-6,n-6)两点,则k的值为________.
答案:9
解析:由题意,知A(m,n)、B(m-6,n-6)两点关于原点O对称,
∴-m=m-6,-n=n-6,
解得m=3,n=3,
∴A(3,3).
将点A(3,3)代入y=,
得3=,解得k=9.
4.如图,点A(2,2)在反比例函数y=(x>0)的图像上,将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B,交双曲线于点C.若BC=2,则点C的坐标是　 　　.
答案:(,2)
解析:∵点A(2,2)在反比例函数y=(x>0)的图像上,
∴2=,
解得k=4,
∴反比例函数的表达式为y=.
如图,作AD⊥x轴,CH⊥x轴,BG⊥CH,垂足分别为D、H、G.
∵A(2,2),
∴AD=OD=2,
∴∠AOD=45°,
∴∠AOB=45°.
∵OA∥BC,
∴∠CBO=180°-45°=135°,
∴∠CBG=135°-90°=45°,
∴∠CBG=∠BCG.
∵BC=2,
∴BG=CG=,
∴点C的横坐标为.
将x=代入y=,得y==2,
∴C(,2).
5.(2025·四川资阳中考)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点.一次函数y=kx-2的图像与x轴交于点A(-1,0),与反比例函数y=(x<0)的图像交于点B(-2,a),射线BO与反比例函数y=的图像交于点C,连接AC.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)求△ABC的面积.
解:(1)将点A(-1,0)代入y=kx-2,得0=-k-2,解得k=-2,
∴一次函数的表达式为y=-2x-2.
将点B(-2,a)代入y=-2x-2,得a=-2×(-2)-2,
解得a=2,
∴B(-2,2).
将点B(-2,2)代入y=,得2=,解得m=-4,
∴反比例函数的表达式为y=-.
(2)点B与点C关于原点成中心对称,
∴C(2,-2).
作BE⊥x轴,CD⊥x轴,垂足分别为E、D.
∴BE=2,CD=2.
∵A(-1,0),
∴AO=1,
∴S△ABC=2S△AOB=2××1×2=2.
能力提升
6.如图,反比例函数y=(k>0)的图像与过点D(-1,0)的直线AB相交于A、B两点.已知点A的坐标为(1,3),点C为x轴上任意一点.如果S△ABC=9,那么点C的坐标为(　　)
A.(-3,0)
B.(5,0)
C.(-3,0)或(5,0)
D.(3,0)或(-5,0)
答案:D
解析:将点A(1,3)代入y=(k>0),得3=,
解得k=3,
∴反比例函数的表达式为y=.
设直线AB的表达式为y=ax+b,
将点D(-1,0)、A(1,3)代入y=ax+b,得解得
∴直线AB的表达式为y=x+.
联立解得
∴B(-2,-).
∵S△ABC=9,
∴S△ACD+S△BCD=CD·(3+)=9,
∴CD=4,
∴点C的坐标为(-5,0)或(3,0).
故选D.
7.(2025·青海西宁中考)如图,一次函数y1=k1x+b(k1≠0)的图像与两坐标轴分别交于点A、B,与反比例函数y2=(k2≠0,x>0)的图像交于点C(1,2)、D(m,).下列结论错误的是(　　)
A.b=
B.△BOC与△AOD的面积相等
C.△COD的面积是
D.当1≤x≤4时,y1≥y2
答案:C
解析:将点C(1,2)、D(m,)代入y2=,得解得
∴反比例函数的表达式为y2=.
将点C(1,2)、D(4,)代入y1=k1x+b,得解得
∴一次函数的表达式为y1=-x+,故A选项正确,不符合题意;
∵一次函数y1=-x+的图像与两坐标轴分别交于点A、B,
∴A(5,0),B(0,).
又点C(1,2),D(4,),
∴△BOC的面积=×1=,
△AOD的面积=×5×,
∴△BOC与△AOD的面积相等,故B选项正确,不符合题意;
△COD的面积=△BOA的面积-△AOD的面积-△BOC的面积=×5×,故C选项错误,符合题意;
由题图可知,当1≤x≤4时,y1≥y2,故D选项正确,不符合题意.
故选C.
8.如图,在平面直角坐标系中,直线y1=k1x+b与反比例函数y2=(其中k1·k2≠0)的图像相交于A(-2,3)、B(m,-2)两点,过点B作BP∥x轴,交y轴于点P,则△ABP的面积是________.
答案:
解析:将A(-2,3)、B(m,-2)代入y2=,得解得∴B(3,-2).
∵BP∥x轴,∴BP=3,
∴S△ABP=×3×(3+2)=.
9.如图,一次函数y=mx+n(m≠0)的图像与反比例函数y=(k≠0)的图像交于点A(-3,a)、B(1,3),且一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点C、D.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)根据函数图像直接写出关于x的不等式mx+n>的解集;
(3)在第三象限的反比例函数图像上有一点P,使得S△OCP=4S△OBD,求点P的坐标.
解:(1)将点B(1,3)代入y=,得3=,即k=3.∴反比例函数的表达式为y=.
将点A(-3,a)代入y=,得a=,即a=-1,∴A(-3,-1).
将点A(-3,-1)、B(1,3)代入y=mx+n,得解得
∴一次函数的表达式为y=x+2.
(2)-31.
(3)由(1)知一次函数的表达式为y=x+2,当x=0时,y=2;当y=0时,x=-2,
∴C(-2,0)、D(0,2),
∴S△OBD=×2×1=1,
∴S△OCP=4S△OBD=4.
设点P的坐标为(m,)(m<0),
∴×2×=4,
解得m=-,∴点P的坐标为(-,-4).
创新拓展
10.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,OA=2,点B在反比例函数y=(k>0)的图像上,△OBA为等边三角形,延长BO与反比例函数y=的图像在第三象限交于点C,连接CA并延长与反比例函数y=的图像在第一象限交于点D.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求点D的坐标及△OAD的面积.
解(1)作BF⊥x轴,垂足为F,∵△OBA为等边三角形,OA=2,BF⊥OA,
∴OB=2,OF=AF=1,
∴BF=,∴点B的坐标为(1,).
∵点B在反比例函数y=(k>0)的图像上,∴k=1×,
∴反比例函数的表达式为y=.
(2)由题意,得点C与点B关于原点对称,
∴点C的坐标为(-1,-).
∵OA=2,
∴点A的坐标为(2,0).
设直线AC的表达式为y=k'x+b,
∴解得
∴直线AC的表达式为y=x-.
联立解得∴点D的坐标为(3,),
∴S△OAD=×2×.
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