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2026徐州专版中考数学
考点强化练14　二次函数的图像和性质(1)
基础过关
1.已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0,b>0,c>0),则该函数的图像可能为(　　)
A . B . C . D .
2.关于抛物线y=-x2+6x-7,下列说法正确的是 (　　)
A.开口向上
B.对称轴是直线x=-3
C.与y轴的交点坐标是(0,7)
D.顶点坐标是(3,2)
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则(　　)
A.abc<0 B.2a+b<0
C.2b-c<0 D.a-b+c<0
4.已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在抛物线y=x2-3上,且0”或“=”)
5.如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点A(1,-2)和B(0,-5).
(1)求该二次函数的表达式及图像的顶点坐标;
(2)当y≤-2时,请根据图像直接写出x的取值范围.
能力提升
6.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图像如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图像可能是(　　)
A . B . C . D .
7.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的图像与x轴交于点A(-,0),对称轴是直线x=-,有以下结论:①abc<0;②若点(-1,y1)和点(2,y2)都在二次函数的图像上,则y1A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
8.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,C为y轴正半轴上的一个动点,过点C的直线与二次函数y=x2的图像交于A、B两点,且CB=3AC,P为CB的中点,设点P的坐标为P(x,y)(x>0),写出y关于x的函数表达式:________________.
9.(2025·湖北武汉中考)抛物线y=x2-3与直线y=x交于A、B两点(A在B的左边).
(1)求A、B两点的坐标;
(2)如图①,若P是直线AB下方抛物线上的点,过点P作x轴的平行线交抛物线于点M(异于点P),过点P作y轴的平行线交线段AB于点N,满足PM=PN,求点P的横坐标;
(3)如图②,经过原点O的直线CD交抛物线于C、D两点,连接AC、BD分别交x轴于E、F两点.若S△DOF=S△COE,求直线CD相应的函数表达式.
图①
图②
创新拓展
10.对于一个二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0),若存在一点P(x',y'),使得x'-m=y'-k≠0,则称2|x'-m|为该抛物线的“开口大小”,那么抛物线y=-x2+x+3的“开口大小”为________.
考点强化练14　二次函数的图像和性质(1)
基础过关
1.已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0,b>0,c>0),则该函数的图像可能为(　　)
A . B . C . D .
答案:C
解析:∵c>0,
∴-c<0,图像与y轴负半轴相交,
故A、D选项不符合题意;
当a>0时,
∵b>0,
∴对称轴x=-<0,
故B选项不符合题意;
当a<0时,∵b>0,
∴对称轴x=->0,
故C选项符合题意.故选C.
2.关于抛物线y=-x2+6x-7,下列说法正确的是 (　　)
A.开口向上
B.对称轴是直线x=-3
C.与y轴的交点坐标是(0,7)
D.顶点坐标是(3,2)
答案:D
解析:∵y=-x2+6x-7=-(x-3)2+2,
∴抛物线开口向下,故选项A错误,不符合题意;
对称轴为直线x=3,故选项B错误,不符合题意;
与y轴的交点坐标为(0,-7),故选项C错误,不符合题意;
顶点坐标为(3,2),故选项D正确,符合题意.故选D.
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则(　　)
A.abc<0 B.2a+b<0
C.2b-c<0 D.a-b+c<0
答案:C
解析:由题中图像可知二次函数的图像交x轴于点(2,0),另一个交点的横坐标在-1和0之间,
根据对称性可知<-<1,又二次函数的图像开口向上,∴a>0,
∴b>-2a,即2a+b>0,故B选项错误;
当x=-1时,可知y>0,即a-b+c>0,故D选项错误;
观察题中图像知a>0,b<0,c<0,故abc>0,故A选项错误;
由对称轴的范围可知b<-a,即b+a<0,
故4b+4a<0①,
将点(2,0)代入y=ax2+bx+c中,
得4a+2b+c=0,故4a=-2b-c,
再代入①式中,可得4b-2b-c<0,
整理即为2b-c<0,故C选项正确.
故选C.
4.已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在抛物线y=x2-3上,且0”或“=”)
答案:<
解析:抛物线y=x2-3的开口向上,对称轴为直线x=0,当x>0时,y随x的增大而增大,
故当05.如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过点A(1,-2)和B(0,-5).
(1)求该二次函数的表达式及图像的顶点坐标;
(2)当y≤-2时,请根据图像直接写出x的取值范围.
解:(1)将A(1,-2)、B(0,-5)代入y=x2+bx+c,得
解得
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-5.
∵y=x2+2x-5=(x+1)2-6,
∴顶点坐标为(-1,-6).
(2)如图.
∵点A(1,-2)关于对称轴x=-1的对称点为C(-3,-2),
∴当y≤-2时,x的取值范围是-3≤x≤1.
能力提升
6.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图像如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图像可能是(　　)
A . B . C . D .
答案:D
解析:观察题中函数图像,可知a>0,b>0,c<0,∴二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上,对称轴x=-<0,与y轴的交点在y轴负半轴.故选D.
7.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的图像与x轴交于点A(-,0),对称轴是直线x=-,有以下结论:①abc<0;②若点(-1,y1)和点(2,y2)都在二次函数的图像上,则y1A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案:B
解析:∵二次函数的图像开口向下,与y轴交于正半轴,∴a<0,c>0,又-<0,
∴b<0,
∴abc>0,故①错误;
∵对称轴是直线x=-,点(-1,y1)和点(2,y2)都在二次函数的图像上,
∴y1>y2,故②错误;
∵当x=m时,y=am2+bm+c,当x=-时,函数取最大值a-b+c,
∴对于任意实数m,都有am2+bm+c≤a-b+c,
即am2+bm≤a-b,故③正确;
∵-=-,
∴b=a.
∵当x=-时,y=0,
∴a-b+c=0,
∴9a-6b+4c=0,即3a+4c=0,故④正确.
故选B.
8.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,C为y轴正半轴上的一个动点,过点C的直线与二次函数y=x2的图像交于A、B两点,且CB=3AC,P为CB的中点,设点P的坐标为P(x,y)(x>0),写出y关于x的函数表达式:________________.
答案:y=x2
解析:过A作AD⊥y轴于D,过B作BE⊥y轴于E,如图.
∵AD⊥y轴,BE⊥y轴,
∴AD∥BE,
∴△ACD∽△BCE,
∴.
∵CB=3AC,∴CE=3CD,BE=3AD.
设AD=m,则BE=3m,
∵A、B两点在二次函数y=x2的图像上,
∴A(-m,m2),B(3m,9m2),
∴OD=m2,OE=9m2,∴ED=8m2,
而CE=3CD,
∴CD=2m2,OC=3m2,
∴C(0,3m2).
∵P为CB的中点,∴P(m,6m2),
又已知P(x,y),
∴∴y=x2.
9.(2025·湖北武汉中考)抛物线y=x2-3与直线y=x交于A、B两点(A在B的左边).
(1)求A、B两点的坐标;
(2)如图①,若P是直线AB下方抛物线上的点,过点P作x轴的平行线交抛物线于点M(异于点P),过点P作y轴的平行线交线段AB于点N,满足PM=PN,求点P的横坐标;
(3)如图②,经过原点O的直线CD交抛物线于C、D两点,连接AC、BD分别交x轴于E、F两点.若S△DOF=S△COE,求直线CD相应的函数表达式.
图①
图②
解:(1)令x=x2-3,解得x=-2或x=6,
∴A(-2,-2),B(6,6).
(2)设P(t,t2-3)(-2∴PM=|2t|,PN=t-t2+3.
∵PM=PN,
∴|2t|=t-t2+3,
解得t=2或t=6-4,
∴点P的横坐标为2或6-4.
(3)设C(c,c2-3),D(d,d2-3),
可求得直线CD相应的函数表达式为y=(c+d)x-cd-3,
∵CD经过原点,
∴-cd-3=0,
解得cd=-12.
结合(1)可求得直线AC相应的函数表达式为y=(c-)x+c-3,直线BD相应的函数表达式为y=(d+)x-d-3,
∴E(,0)、F(,0).
∵cd=-12,
∴F(,0),
∴OF=OE.
∵S△DOF=S△COE,
∴×OF×|yd|=×OE×|yc|(yc、yd分别表示C、D两点的纵坐标),
∴,
解得c=-4,d=3,∴C(-4,1),
∴直线CD相应的函数表达式为y=-x.
创新拓展
10.对于一个二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0),若存在一点P(x',y'),使得x'-m=y'-k≠0,则称2|x'-m|为该抛物线的“开口大小”,那么抛物线y=-x2+x+3的“开口大小”为________.
答案:4
解析:∵抛物线y=-x2+x+3=-(x-)2+,
∴x'-=-(x'-)2+≠0,
解得x'-=-2,
∴抛物线y=-x2+x+3的“开口大小”为2|x'-|=2×|-2|=4.
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