资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026徐州专版中考数学
考点强化练15　二次函数的图像和性质(2)
基础过关
1.(2025·陕西中考)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2-2ax+a-3(a≠0)的图像与x轴有两个交点,且这两个交点分别位于y轴两侧,则下列关于该函数的结论正确的是(　　)
A.图像的开口向下
B.当x>0时,y的值随x值的增大而增大
C.函数的最小值小于-3
D.当x=2时,y<0
2.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示,有下列结论:①a>0;②b2-4ac>0;③4a+b=1;④不等式ax2+(b-1)x+c<0的解集为1A.1 B.2 C.3 D.4
3.抛物线y=-2x2+1通过变换可以得到抛物线y=-2(x+1)2+3,以下变换过程正确的是(　　)
A.先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
B.先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
C.先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
D.先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
4.(2025·江苏淮安中考)已知二次函数y=x2-mx+m-1(m为常数).
(1)若点(2,-1)在该函数图像上,则m=________;
(2)证明:该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点;
(3)若该函数图像上有两个点A(m+1,y1)、B(m+p,y2),当y15.(2025·河南中考)在二次函数y=ax2+bx-2中,x与y的几组对应值如下表所示.
x … -2 0 1 …
y … -2 -2 1 …
(1)求二次函数的表达式;
(2)求二次函数图像的顶点坐标,并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图像;
(3)将二次函数的图像向右平移n个单位长度后,当0≤x≤3时,若图像对应的函数最大值与最小值的差为5,请直接写出n的值.
能力提升
6.已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说法正确的是(　　)
A.点(1,2)在该函数的图像上
B.当a=1且-1≤x≤3时,0≤y≤8
C.该函数的图像与x轴一定有公共点
D.当a>0时,该函数图像的对称轴一定在直线x=的左侧
7.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点(-1,0)、(x1,0),且2①abc>0;②2a+c<0;③4a-b+2c<0;④若m和n是关于x的一元二次方程a(x+1)(x-x1)+c=0(a≠0)的两根,且m2;⑤关于x的不等式ax2+bx+c>-x+c(a≠0)的解集为0A.2 B.3 C.4 D.5
8.规定:如果两个函数的图像关于y轴对称,那么称这两个函数互为“Y函数”.例如:函数y=x+3与y=-x+3互为“Y函数”.若函数y=x2+(k-1)x+k-3的图像与x轴只有一个公共点,则它的“Y函数”图像与x轴的公共点的坐标为________________.
9.如图,在平面直角坐标系中,作直线x=i(i=1、2、3…)与x轴相交于点Ai,与抛物线y=x2相交于点Bi,连接AiBi+1、BiAi+1相交于点Ci,得△AiBiCi和△Ai+1Bi+1Ci,若将其面积之比记为ai=,则a2 024=________.
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过(0,-3)、(-b,c)两点,其中a、b、c为常数,且ab>0.
(1)求a、c的值;
(2)若该二次函数的最小值是-4,且它的图像与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
①求该二次函数的表达式,并直接写出点A、B的坐标;
②如图,在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P,过点P作x轴的垂线,垂足为D,与直线AC交于点E,连接PC、CB、BE,是否存在点P,使 若存在,求此时点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
创新拓展
11.(2025·江苏苏州中考)如图,二次函数y=-x2+2x+3的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,作直线BC,M(m,y1)、N(m+2,y2)为二次函数y=-x2+2x+3图像上的两点.
(1)求直线BC对应函数的表达式.
(2)试判断是否存在实数m,使得y1+2y2=10.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
(3)已知P是二次函数y=-x2+2x+3图像上一点(不与点M、N重合),且点P的横坐标为1-m,作△MNP.若直线BC与线段MN、MP分别交于点D、E,且△MDE与△MNP的面积的比为1∶4,请直接写出所有满足条件的m的值.
考点强化练15　二次函数的图像和性质(2)
基础过关
1.(2025·陕西中考)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2-2ax+a-3(a≠0)的图像与x轴有两个交点,且这两个交点分别位于y轴两侧,则下列关于该函数的结论正确的是(　　)
A.图像的开口向下
B.当x>0时,y的值随x值的增大而增大
C.函数的最小值小于-3
D.当x=2时,y<0
答案:D
解析:由题意可得,
方程ax2-2ax+a-3=0的两根异号,
∴<0,
解得0∴二次函数的图像开口向上,故A不符合题意;
∵y=ax2-2ax+a-3(a≠0)图像的对称轴为直线x=-=1,
∴当x>1时,y随x增大而增大,故B不符合题意;
∵当x=1时,y=-3,
∴最小值为-3,故C不符合题意;
当x=2时,y=4a-4a+a-3=a-3,
∵0∴此时y<0,故D符合题意.故选D.
2.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示,有下列结论:①a>0;②b2-4ac>0;③4a+b=1;④不等式ax2+(b-1)x+c<0的解集为1A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
解析:由题图可知,抛物线开口向上,则a>0,故①正确;
抛物线与x轴无交点,即b2-4ac<0,故②错误;
抛物线过点(1,1)、(3,3),即当x=1时,y=a+b+c=1,
当x=3时,y=9a+3b+c=3,
∴8a+2b=2,
∴4a+b=1,故③正确;
∵点(1,1)、(3,3)在直线y=x上,
当1∴ax2+(b-1)x+c<0的解集为13.抛物线y=-2x2+1通过变换可以得到抛物线y=-2(x+1)2+3,以下变换过程正确的是(　　)
A.先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
B.先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
C.先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
D.先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
答案:D
解析:∵抛物线y=-2x2+1的顶点坐标为(0,1),抛物线y=-2(x+1)2+3的顶点坐标为(-1,3),∴将抛物线y=-2x2+1先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,可得到抛物线y=-2(x+1)2+3.故选D.
4.(2025·江苏淮安中考)已知二次函数y=x2-mx+m-1(m为常数).
(1)若点(2,-1)在该函数图像上,则m=________;
(2)证明:该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点;
(3)若该函数图像上有两个点A(m+1,y1)、B(m+p,y2),当y1(1)解:将(2,-1)代入y=x2-mx+m-1,
得-1=×22-2m+m-1,
解得m=2.
故答案为2.
(2)证明:(-m)2-4××(m-1)=m2-2m+2=(m-1)2+1,
∵(m-1)2≥0,
∴(m-1)2+1>0,
∴该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点.
(3)解:二次函数y=x2-mx+m-1图像开口向上,对称轴为直线x=-=m,
∵y1∴点A(m+1,y1)到对称轴的距离小于点B(m+p,y2)到对称轴的距离,
∴|m+1-m|<|m+p-m|,
即|p|>1,
∴p>1或p<-1.
5.(2025·河南中考)在二次函数y=ax2+bx-2中,x与y的几组对应值如下表所示.
x … -2 0 1 …
y … -2 -2 1 …
(1)求二次函数的表达式;
(2)求二次函数图像的顶点坐标,并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图像;
(3)将二次函数的图像向右平移n个单位长度后,当0≤x≤3时,若图像对应的函数最大值与最小值的差为5,请直接写出n的值.
解:(1)由题意,结合题表中数据可得,二次函数图像的对称轴是直线x==-1.
∴可设二次函数为y=a(x+1)2+k.
又图像过(0,-2)、(1,1),
∴
解得
∴二次函数的表达式为y=(x+1)2-3,即y=x2+2x-2.
(2)由(1)知,y=(x+1)2-3,
∴顶点坐标为(-1,-3).
作图如下.
(3)二次函数y=(x+1)2-3的图像向右平移n个单位长度后,
所得图像对应的函数为y=(x+1-n)2-3,此时对称轴是直线x=n-1,函数图像开口向上.
①当3≤n-1,即n≥4时,
函数在x=0处取得最大值,最大值为(1-n)2-3;函数在x=3处取得最小值,最小值为(4-n)2-3.
又最大值与最小值的差为5,
∴(1-n)2-3-(4-n)2+3=5,
解得n=<4,不合题意.
②当0函数在x=0处或x=3处取得最大值,最大值为(1-n)2-3或(4-n)2-3;函数在x=n-1处取得最小值,最小值为-3.
又最大值与最小值的差为5,
∴(1-n)2-3+3=5或(4-n)2-3+3=5,解得n=1+或n=1-(不合题意,舍去)或n=4+(不合题意,舍去)或n=4-.
③当n-1≤0,即n≤1时,
函数在x=0处取得最小值,最小值为(1-n)2-3;函数在x=3处取得最大值,最大值为(4-n)2-3.又最大值与最小值的差为5,
∴(4-n)2-3-(1-n)2+3=5,
解得n=>1,不合题意.
综上,n=1+或n=4-.
能力提升
6.已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说法正确的是(　　)
A.点(1,2)在该函数的图像上
B.当a=1且-1≤x≤3时,0≤y≤8
C.该函数的图像与x轴一定有公共点
D.当a>0时,该函数图像的对称轴一定在直线x=的左侧
答案:C
解析:对于y=ax2-(3a+1)x+3,当x=1时,y=a×12-(3a+1)×1+3=2-2a,
∵a≠0,
∴y=2-2a≠2,
∴点(1,2)不在该函数的图像上,
故选项A不正确;
当a=1时,二次函数的表达式为y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴其图像的顶点坐标为(2,-1),
即当x=2时,y=-1<0,
故选项B不正确;
令y=0,则ax2-(3a+1)x+3=0,
∵[-(3a+1)]2-4a×3=(3a-1)2≥0,
∴该函数的图像与x轴一定有公共点,
故选项C正确;
∵该函数图像的对称轴为直线x=,
又a>0,
∴,
∴该函数图像的对称轴一定在直线x=的右侧,故选项D不正确.故选C.
7.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点(-1,0)、(x1,0),且2①abc>0;②2a+c<0;③4a-b+2c<0;④若m和n是关于x的一元二次方程a(x+1)(x-x1)+c=0(a≠0)的两根,且m2;⑤关于x的不等式ax2+bx+c>-x+c(a≠0)的解集为0A.2 B.3 C.4 D.5
答案:B
解析:∵二次函数的图像开口向上,与y轴交于负半轴,
∴a>0,c<0.
又二次函数的图像与x轴交于点(-1,0)、(x1,0),且2∴<1,
∴对称轴x==->0,
∴b<0,
∴abc>0,故①正确;
由题中图像可得,当x=2时,y=4a+2b+c<0,又当x=-1时,y=a-b+c=0,
∴b=a+c,
∴4a+2b+c=4a+2a+2c+c=6a+3c<0,
∴2a+c<0,故②正确;
∵<1,
∴<-<1.
又a>0,
∴a<-b<2a,∴2a+b>0,
∴2a+a+c>0,即3a+c>0,
∴4a-b+2c=4a-a-c+2c=3a+c>0,故③错误;
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点(-1,0)、(x1,0),
∴y=ax2+bx+c=a(x+1)(x-x1).
∵当x=0时,y=c,
∴y=-c与y=c关于x轴对称.
如图所示,
∴y=ax2+bx+c=a(x+1)(x-x1)=-c时,即a(x+1)(x-x1)+c=0,结合图像可得m<-1,n>2,故④正确;
由题意,∵y=-x+c过(0,c)、(x1,0),
∴可以作图如下.
∴关于x的不等式ax2+bx+c>-x+c(a≠0)的解集是二次函数图像在一次函数图像上方的部分对应的自变量的取值范围.
∴关于x的不等式ax2+bx+c>-x+c(a≠0)的解集是x<0或x>x1,故⑤错误.
综上,正确的有①②④,共3个.
故选B.
8.规定:如果两个函数的图像关于y轴对称,那么称这两个函数互为“Y函数”.例如:函数y=x+3与y=-x+3互为“Y函数”.若函数y=x2+(k-1)x+k-3的图像与x轴只有一个公共点,则它的“Y函数”图像与x轴的公共点的坐标为________________.
答案:(3,0)或(4,0)
解析:当k=0时,函数表达式为y=-x-3,
它的“Y函数”表达式为y=x-3,它们的图像与x轴都只有一个公共点,
它的“Y函数”图像与x轴的公共点的坐标为(3,0);
当k≠0时,此函数为二次函数,
若二次函数y=x2+(k-1)x+k-3的图像与x轴只有一个公共点,
则二次函数图像的顶点在x轴上,
即=0,
解得k=-1,∴二次函数的表达式为y=-x2-2x-4=-(x+4)2,
∴它的“Y函数”表达式为y=-(x-4)2.
令y=0,则-(x-4)2=0,
解得x1=x2=4,
∴它的“Y函数”图像与x轴的公共点的坐标为(4,0).
综上,它的“Y函数”图像与x轴的公共点的坐标为(3,0)或(4,0).
9.如图,在平面直角坐标系中,作直线x=i(i=1、2、3…)与x轴相交于点Ai,与抛物线y=x2相交于点Bi,连接AiBi+1、BiAi+1相交于点Ci,得△AiBiCi和△Ai+1Bi+1Ci,若将其面积之比记为ai=,则a2 024=________.
答案:()4
解析:由A1(1,0)得B1(1,),
由A2(2,0)得B2(2,1).
设直线A1B2相应的函数表达式为y=kx+b,
代入点A1(1,0)、B2(2,1),得解得
∴直线A1B2相应的函数表达式为y=x-1①.
同理,直线A2B1相应的函数表达式为y=-x+②.
联立①②,得x-1=-x+,
解得x=,
∴C1(),
∴a1=×(-1)÷[×1×(2-)]==()4.
由A3(3,0)得B3(3,),
可得直线A2B3的相应函数表达式为y=x-,
直线A3B2的相应函数表达式为y=-x+3,
两表达式联立,得x-=-x+3,
解得x=,
∴C2(),
∴a2=×1×(-2)÷[×()]==()4,
……
∴a2 024=()4.
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过(0,-3)、(-b,c)两点,其中a、b、c为常数,且ab>0.
(1)求a、c的值;
(2)若该二次函数的最小值是-4,且它的图像与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
①求该二次函数的表达式,并直接写出点A、B的坐标;
②如图,在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P,过点P作x轴的垂线,垂足为D,与直线AC交于点E,连接PC、CB、BE,是否存在点P,使 若存在,求此时点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵函数图像过(0,-3)、(-b,c),
∴∴(a-1)b2=0.
∵ab>0,∴a≠0,b≠0,
∴a-1=0,即a=1.
(2)①由(1)知该函数的表达式为y=x2+bx-3=(x+)2-,∴函数的图像开口向上,当x=-时,函数有最小值,为-.
又二次函数的最小值为-4,
∴-=-4,解得b=±2.
∵ab>0,a>0,∴b=2,
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-3.
令y=0,则x2+2x-3=0,
解得x1=-3,x2=1,
∴点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(1,0).
②当点P在点A右侧时,如图,过B作BF⊥AC于点F,过P作PG⊥AC于点G.
∵A(-3,0)、C(0,-3)、B(1,0),
∴OA=OC=3,OB=1,
∴AB=OA+OB=4,AC=3.
∵S△ABC=AB·OC=BF·AC,
∴BF==2.
∵△PCE和△BCE都是以CE为底的三角形,∴,
∴PG=.
过P作PH∥AC交y轴于点H,过C作CK⊥PH,则CK=PG=.
∵OA=OC,
∴∠OCA=45°,
∴∠CHK=45°,
∴CH=CK=,∴OH=,
∴点H的坐标为(0,-),
∴直线PH相应的函数表达式为y=-x-.
联立方程组
解得
∴点P的坐标为或.
当点P在点A左侧时,过P作PH∥AC交y轴于点H,
同第一种情况的方法可得H(0,-),
∴直线PH相应的函数表达式为y=-x-.联立方程组
解得(舍去)
∴点P的坐标为().
综上,点P的横坐标为.
创新拓展
11.(2025·江苏苏州中考)如图,二次函数y=-x2+2x+3的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,作直线BC,M(m,y1)、N(m+2,y2)为二次函数y=-x2+2x+3图像上的两点.
(1)求直线BC对应函数的表达式.
(2)试判断是否存在实数m,使得y1+2y2=10.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
(3)已知P是二次函数y=-x2+2x+3图像上一点(不与点M、N重合),且点P的横坐标为1-m,作△MNP.若直线BC与线段MN、MP分别交于点D、E,且△MDE与△MNP的面积的比为1∶4,请直接写出所有满足条件的m的值.
解:(1)令x=0,则y=3,可得点C的坐标为(0,3).令y=0,则-x2+2x+3=0,解得x=-1或x=3.故点B的坐标为(3,0).
设直线BC对应的函数表达式为y=kx+b,
则解得
∴直线BC对应的函数表达式为y=-x+3.
(2)不存在实数m使得y1+2y2=10,理由如下:
将M(m,y1)、N(m+2,y2)代入二次函数y=-x2+2x+3中,
可得y1=-m2+2m+3,y2=-(m+2)2+2(m+2)+3=-m2-2m+3,
∴y1+2y2=-m2+2m+3+2(-m2-2m+3)=-3m2-2m+9=-3m+2+.
故当m=-时,y1+2y2取得最大值,为≠10.故不存在实数m使得y1+2y2=10.
(3)m=或m=,理由如下:
如图,作NH∥y轴,交x轴于点H,交BC于点N',作PQ⊥NH,垂足为Q,作MM'∥y轴,交BC于点M',则MM'∥NN',
当x=1-m时,y=-(1-m)2+2(1-m)+3=-m2+4.
∴点P的坐标为(1-m,-m2+4).
∵点N的坐标为(m+2,-m2-2m+3),
∴点Q的坐标为(m+2,-m2+4),点H的坐标为(m+2,0),点N'的坐标为(m+2,-m+1),
∴NQ=PQ=|2m+1|,BH=HN'=|-m+1|,
∴∠PNQ=∠BN'H=45°,
∴PN∥BC,
∴△MDE∽△MNP,∴2=,
∴MD=MN,即MD=ND.
∵MM'∥NN',∴△MM'D∽△NN'D,
∴,即MM'=NN'.
∵点M的坐标为(m,-m2+2m+3),
∴点M'的坐标为(m,-m+3),
∴m2-3m=|-m2-m+2|,即m2-m-1=0或-4m=-2,
解得m=或m=或m=(此时P与M重合,舍去),
故m=或m=.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑