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2026徐州专版中考数学
考点强化练16　二次函数的应用(1)
基础过关
1.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒,经过t(单位:秒)时球距离地面的高度h(单位:米)适用公式h=10t-5t2,那么球弹起后又回到地面所花的时间为(　　)
A.5秒 B.10秒 C.1秒 D.2秒
2.一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,按如图所示的直角坐标系,水流喷出的高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系式是y=-x2+2x+,则水流喷出的最大高度是(　　)
A.3 m B.2.75 m
C.2 m D.1.75 m
3.如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是 m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m.若实心球落地点为M,则OM=______m.
4.某景区大门上半部分的截面示意图如图所示,顶部L1,左、右门洞L2、L3均呈抛物线型,水平横梁AC=16 m,L1的最高点B到AC的距离BO=4 m,L2、L3关于BO所在直线对称.MN、MP、NQ为框架,点M、N在L1上,点P、Q分别在L2、L3上,MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC.以O为原点,以AC所在直线为x轴,以BO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线L1相应的函数表达式;
(2)已知抛物线L3相应的函数表达式为y=-(x-4)2,NQ= m,求MN的长.
能力提升
5.在水分、养料等条件一定的情况下,某植物的生长速度y(单位:厘米/天)和光照强度x(单位:勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1 000)内,y与x近似成一次函数关系;在中高光照强度范围(x≥1 000)内,y与x近似成二次函数关系,其部分图像如图所示.根据图像,下列结论正确的是(　　)
A.当x≥1 000时,y随x的增大而减小
B.当x=2 000时,y有最大值
C.当y≥0.6时,x≥1 000
D.当y=0.4时,x=600
6.(2025·江苏浙江中考)为了实时规划路径,卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图①,点P是一个固定观测点,运动点Q从A处出发,沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为x(单位:km)(0≤x≤n),PQ2为y(单位:km2).如图②,y关于x的函数图像与y轴交于点C,最低点D(m,81),且经过E(1,225)和F(n,225)两点.下列选项正确的是(　　)
图①
图②
A.m=12
B.n=24
C.点C的纵坐标为240
D.点(15,85)在该函数图像上
7.图①为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,图②是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图像,点B(6,2.68)在图像上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可判定货车________完全停到车棚内.(填“能”或“不能”)
图①
图②
8.某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动.
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直.
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y(单位:m)与距发球点的水平距离x(单位:m)的对应值如下表(不考虑空气阻力).
水平距离x/m 0 2 3 5 6 …
高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 …
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件,建立平面直角坐标系、描点、连线(如图),发现羽毛球飞行路线是抛物线y=ax2+bx+1.1的一部分.
【建立模型】求y与x的函数表达式(不要求写自变量取值范围).
(1)羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度能否达到2.8 m 请说明理由.
(2)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,改变发球方式,使其函数表达式变为y=ax2+kx+1.1,发球点与球网的水平距离是5 m.若羽毛球飞过球网正上方时,飞行的高度超过2.1 m,且球的落地点与球网的水平距离小于6 m.求k的取值范围.
创新拓展
9.(2025·江苏盐城中考)【生活观察】小明通过观察发现,将运动中的羽毛球看成一个点,扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种路线,如图①和图②所示.
扣杀图近似路线 网前吊球近似路线
图① 图②
图③
【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线,网前吊球的路线近似为抛物线.羽毛球运动轨迹的剖面如图③所示,从A点击球,击球点是抛物线的最高点,点A到地面的距离AO=2.4 m,球网上端点B到地面的距离BC=1.55 m,人与球网之间的距离OC=1.6 m,假设两种击球路线都经过点B正上方0.05 m处的点D,网前吊球和扣杀球的落点分别为点E、F.
(1)请在图③中建立合适的平面直角坐标系,并分别求出两种击球路线相应的函数表达式.
【模型应用】
(2)网前吊球的落点到球网的距离CE的长是________ m.
(3)甲在A处击球,扣杀球时,羽毛球的平均速度约为36 m/s,网前吊球时,羽毛球下降的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系式为h=5t2.乙在看到甲击球的同时尝试接球,从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5 s.请通过计算说明,乙能接到哪种方式的击球.
考点强化练16　二次函数的应用(1)
基础过关
1.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒,经过t(单位:秒)时球距离地面的高度h(单位:米)适用公式h=10t-5t2,那么球弹起后又回到地面所花的时间为(　　)
A.5秒 B.10秒 C.1秒 D.2秒
答案:D
解析:令h=0,得10t-5t2=0,解得t=2或t=0(不合题意,舍去),所以球弹起后又回到地面所花的时间是2秒.故选D.
2.一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,按如图所示的直角坐标系,水流喷出的高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系式是y=-x2+2x+,则水流喷出的最大高度是(　　)
A.3 m B.2.75 m
C.2 m D.1.75 m
答案:B
解析:y=-x2+2x+=-(x-1)2+1+=-(x-1)2+,
∴当x=1时,y取最大值,最大值为,即水流喷出的最大高度是=2.75米.故选B.
3.如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是 m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m.若实心球落地点为M,则OM=______m.
答案:
解析:如图,建立直角坐标系,
由题意可知,P(0,),B(5,4),其中B点为抛物线顶点,
设抛物线相应的函数表达式为y=a(x-5)2+4,将P(0,)代入上式,
解得a=-,即抛物线相应的函数表达式为y=-(x-5)2+4.
∵M为抛物线与x轴的交点,
故令-(x-5)2+4=0,
解得x1=,x2=-(舍),
∴OM= m.
4.某景区大门上半部分的截面示意图如图所示,顶部L1,左、右门洞L2、L3均呈抛物线型,水平横梁AC=16 m,L1的最高点B到AC的距离BO=4 m,L2、L3关于BO所在直线对称.MN、MP、NQ为框架,点M、N在L1上,点P、Q分别在L2、L3上,MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC.以O为原点,以AC所在直线为x轴,以BO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线L1相应的函数表达式;
(2)已知抛物线L3相应的函数表达式为y=-(x-4)2,NQ= m,求MN的长.
解:(1)∵BO=4 m,
∴抛物线L1的顶点B的坐标为(0,4).
设抛物线L1相应的函数表达式为y=ax2+4,
∵AC=16 m,
结合二次函数的对称性得A(-8,0)、C(8,0),
将C(8,0)代入y=ax2+4,
得0=64a+4,
解得a=-,
∴抛物线L1相应的函数表达式为y=-x2+4.
(2)由(1)知抛物线L1相应的函数表达式为y=-x2+4,
∵MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC,NQ= m,且抛物线L3相应的函数表达式为y=-(x-4)2,
∴yN-yQ=-x2+4-[-(x-4)2]=(yN、yQ分别为点N、Q的纵坐标),
整理得x2-3(x-4)2=24,
解得x1=x2=6,
∴MN=2×6=12(m).
能力提升
5.在水分、养料等条件一定的情况下,某植物的生长速度y(单位:厘米/天)和光照强度x(单位:勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1 000)内,y与x近似成一次函数关系;在中高光照强度范围(x≥1 000)内,y与x近似成二次函数关系,其部分图像如图所示.根据图像,下列结论正确的是(　　)
A.当x≥1 000时,y随x的增大而减小
B.当x=2 000时,y有最大值
C.当y≥0.6时,x≥1 000
D.当y=0.4时,x=600
答案:B
解析:当x≥1 000时,y随x的增大先增大,后减小,故A选项错误,不符合题意;
∵二次函数的图像过点(1 000,0.6)、(3 000,0.6),∴二次函数图像的对称轴为直线x==2 000.∵二次函数图像的开口向下,∴x=2 000时,y有最大值,
故B选项正确,符合题意;
由题中图像可得,当y=0.6时,x1=1 000,x2=3 000,
∴当y≥0.6时,1 000≤x≤3 000,
故C选项错误,不符合题意;
由题中图像可得,当y=0.4时,x对应的值有2个,故D选项错误,不符合题意.
故选B.
6.(2025·江苏浙江中考)为了实时规划路径,卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图①,点P是一个固定观测点,运动点Q从A处出发,沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为x(单位:km)(0≤x≤n),PQ2为y(单位:km2).如图②,y关于x的函数图像与y轴交于点C,最低点D(m,81),且经过E(1,225)和F(n,225)两点.下列选项正确的是(　　)
图①
图②
A.m=12
B.n=24
C.点C的纵坐标为240
D.点(15,85)在该函数图像上
答案:D
解析:如图,作PG⊥AB于G,当x=1时,动点Q运动到点H的位置,则由题意和图像可知PH2=225,当点Q运动到点G时,PQ2最小,即PG2=81,HG=m-1.
在Rt△PGH中,由勾股定理,得225=81+(m-1)2,解得m=13,∴A选项错误;
∴AG=m=13,HG=m-1=12.
当x=n时,点Q运动到点B,则PB2=225=PH2,∴PB=PH.
∵PG⊥AB,∴BG=HG=12,
∴AB=13+12=25,∴B选项错误;
∴当x=0,即点Q在A点时,
AP2=AG2+PG2=132+81=250,
∴点C的纵坐标为250,∴选项C错误;
当x=15时,点Q运动到点K,
∴AK=15,∴GK=AK-AG=2,∴PK2=KG2+PG2=4+81=85,∴点(15,85)在该函数图像上,∴D选项正确.故选D.
7.图①为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,图②是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图像,点B(6,2.68)在图像上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可判定货车________完全停到车棚内.(填“能”或“不能”)
图①
图②
答案:能
解析:CD=4 m,B(6,2.68),6-4=2.
在y=-0.02x2+0.3x+1.6中,
当x=2时,y=-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12.∵2.12>1.8,
∴货车能完全停到车棚内.
8.某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动.
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直.
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y(单位:m)与距发球点的水平距离x(单位:m)的对应值如下表(不考虑空气阻力).
水平距离x/m 0 2 3 5 6 …
高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 …
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件,建立平面直角坐标系、描点、连线(如图),发现羽毛球飞行路线是抛物线y=ax2+bx+1.1的一部分.
【建立模型】求y与x的函数表达式(不要求写自变量取值范围).
(1)羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度能否达到2.8 m 请说明理由.
(2)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,改变发球方式,使其函数表达式变为y=ax2+kx+1.1,发球点与球网的水平距离是5 m.若羽毛球飞过球网正上方时,飞行的高度超过2.1 m,且球的落地点与球网的水平距离小于6 m.求k的取值范围.
解:(1)将(2,2.3)、(3,2.6)代入y=ax2+bx+1.1,得解得
∴y=-0.1x2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)2+2.7,∴当x=4时,y有最大值,最大值为2.7.
∵2.8>2.7,∴羽毛球在此次飞行过程中,飞行的高度不能达到2.8 m.
(2)∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变,∴a=-0.1,
∴函数表达式为y=-0.1x2+kx+1.1.
当x=5时,y=-0.1×52+5k+1.1>2.1,
解得k>0.7.
∵球的落地点与球网的水平距离小于6,
∴当x=11时,y=-0.1×112+11k+1.1<0,
解得k<1,∴k的取值范围为0.7创新拓展
9.(2025·江苏盐城中考)【生活观察】小明通过观察发现,将运动中的羽毛球看成一个点,扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种路线,如图①和图②所示.
扣杀图近似路线 网前吊球近似路线
图① 图②
图③
【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线,网前吊球的路线近似为抛物线.羽毛球运动轨迹的剖面如图③所示,从A点击球,击球点是抛物线的最高点,点A到地面的距离AO=2.4 m,球网上端点B到地面的距离BC=1.55 m,人与球网之间的距离OC=1.6 m,假设两种击球路线都经过点B正上方0.05 m处的点D,网前吊球和扣杀球的落点分别为点E、F.
(1)请在图③中建立合适的平面直角坐标系,并分别求出两种击球路线相应的函数表达式.
【模型应用】
(2)网前吊球的落点到球网的距离CE的长是________ m.
(3)甲在A处击球,扣杀球时,羽毛球的平均速度约为36 m/s,网前吊球时,羽毛球下降的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系式为h=5t2.乙在看到甲击球的同时尝试接球,从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5 s.请通过计算说明,乙能接到哪种方式的击球.
解:(1)以O为坐标原点,OF所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立如图所示的坐标系,
则A(0,2.4),D(1.6,1.6),
设直线AD相应的函数表达式为y=kx+n,
∴解得
∴扣杀球击球路线相应的函数表达式为y=-x+;
设网前吊球击球路线相应的函数表达式为y=ax2+,将点D(1.6,1.6)代入,解得a=-,
∴网前吊球击球路线相应的函数表达式为y=-x2+.
(2)令-x2+=0,
∵x>0,∴x=,∴E(,0),
∴OE= m,
∴CE=OE-OC=(-1.6)m.
故答案为(-1.6).
(3)对于y=-x+,令y=0,则-x+=0,
∴x=4.8,∴F(4.8,0),∴OF=4.8,∴AF=≈5.52(m).
∵扣杀球时,羽毛球的平均速度约为36 m/s,
∴≈0.15(秒).
∵0.15<0.5,
∴乙不能接到扣杀球的击球.
∵从A点击球,击球点是抛物线的最高点,
∴2.4=5t2,又t>0,∴t=0.68.
∵0.68>0.5,∴乙能接到网前吊球的击球.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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