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广西壮族自治区梧州市藤县2026年二模数学试题
1．以下四幅图片是人工智能依据山东优秀传统文化生成的、分别为胶东瑞兽、潍青沙鸢齐都蹴鞠”、汶口八角星纹样，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列实数中，是的绝对值的是（　　）
A．2026 B． C． D．
3．如图为小明拍摄的家中冰箱温度的显示，上面的数字为冷藏室的温度，下面的数字为冷冻室的温度，可知冷藏室比冷冻室温度高（　　）
A． B． C． D．
4．二元一次方程组 的解是（　　）
A． B． C． D．
5．已知直线经过点和，其中，则k的值可能为（　　）
A．2 B．1 C． D．
6．某校学生体育素质总评成绩由平时、期中、期末成绩按权重比组成，若小王平时得90分，期中得80分，他想期末总评不低于85分，则小王期末成绩不低于（　　）
A．87分 B．86分 C．85分 D．84分
7．如图，在中，，在同一直线上，，且沿折叠后与重合．连接，．则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．古语有“君子无故，玉不去身”，玉在中国的文明史上有着特殊的地位，其具有仁、智、义、礼、乐、忠、信、天、地、德、道等君子的品节．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其雕刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则废料（即图2中阴影部分）的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（　　）
A．8 B． C． D．
10．辽宁省文旅局通过一系列丰富多彩的文旅活动，彰显“山海有情，天辽地宁”的独特魅力，吸引越来越多的游客来到辽宁、打卡辽宁．将分别标有汉字“天”“辽”“地”“宁”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“辽宁”的概率是（　　）
A． B． C． D．
11．生物学中，植物生长所需水分与生长时间存在一定关联．某研究小组观察某种幼苗，发现其在天内吸收的水分（单位：毫升）与生长时间（单位：天）近似满足一次函数关系．部分实验数据如下表所示，则下列说法正确的是（　　）
生长时间天 10 15 20 30
吸收水分毫升 2.5 3.75 5.0 7.5
A．该一次函数的表达式为
B．当生长时间为38天时，吸收水分为9.5毫升
C．吸收的水分随生长时间的增加而减少
D．当生长时间为50天时，吸收水分为12.5毫升
12．如图，二次函数 的图象与x轴交于点，，与直线 交于点，若函数的图象与x轴只有一个交点，则的值是（　　）
A． B．1 C． D．2
13．若-2x2（x2+ax）+5x3+2的展开式中不含x3项，则a=　 　 .
14．已知 ，则　 　．
15．某山区城市所辖的，两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在，两城间建造一座特大型跨江大桥．如图，观测点与小城在江的同一侧，从小城释放的一架无人机以千米/分钟的速度径直飞往观测点，分钟后到达点，同时测得，．则，两座小城相距　 　千米．
16．如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为　 　．
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．如图，在中，交于点，为的中点，连结，，．
（1）作，垂足为，求的长；
（2）求的值．
19．我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下：
运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元）
汽车 10 80 2 1000
火车 8 100 4 2000
假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时．
（1）当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？
（2）当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？
20．月季作为我市的市花，被广泛种植，形成独特的月季文化景观．某校为了美化校园，用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度（单位：），数据整理如下：
a．两批月季花树高度的频数：
121 125 126 130 134 138 139
第一批 1 3 1 0 4 3 0
第二批 0 1 3 2 5 0 1
b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
第一批 131 134
第二批 131 m 134
（1）写出表中，的值；
（2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是　 　（填“第一批”或“第二批”）；
（3）根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为和的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是多少？
21．如图，在矩形中，点，分别在边、上，是四边形对角线的交点，且，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
22．为推进国产大飞机的研发与应用，某技术中心进行某型号飞机机翼的模拟设计．工程师需要根据设计图纸计算关键支撑结构的长度，以确保其空气动力学性能．机翼（如图①所示）的简化设计图（横截面如图②）中，和是两条垂直于水平线的垂线段，点B在上，点C在上，米，米．线段与水平线成角，线段与水平线成角．请求出图中、和这三段支撑构件的长度（结果取整数）．参考数据：，．
23．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，）在第一象限的图像经过点、．
（1）求a、k的值；
（2）如图2，C为反比例函数在第二象限图像上的一点，连接、、，若，求的值；
（3）如图3，将反比例函数在第一象限的图像，绕坐标原点O逆时针旋转后得到的图形记作曲线l，过、的直线，与曲线l相交于点M、N，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A： 既不是轴对称图形又不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：是轴对称图形但不是中心对称图形，所以B不符合题意；
C：是轴对称图形但不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：既是轴对称图形又是中心对称图形，所以D符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值的是 2026.
故答案为：A .
【分析】根据绝对值的定义可直接得出答案。
3．【答案】D
【知识点】有理数的减法法则；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：4-（-18）=4+18=22（℃）；
故答案为：D .
【分析】根据题意，列出算式，并进行有理数的运算，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①+②，得：3x=9
解得：x=3，
把x=3代入①，得：3-y=1，
解得：y=2.
∴
故答案为：C .
【分析】利用加法消元法解方程组，求出方程组的解即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；有理数的大小比较-直接比较法；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把（2，m)代入得：m=2k-3，把（4，n）代入得：n=4k-3，
∵mn＜0，
∴（2k-3）（4k-3）＜0，
∴①或②
解得：①无解，②
所以。
A：2＞，所以A不符合题意；
B：，所以B符合题意；
C：-1＜，所以C不符合题意；
D：-2＜，所以D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】首先根据 直线经过点和， 可得出m=2k-3，n=4k-3，进而根据mn＜0，可得出①或②，解得，然后逐项进行识别，即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：解：设小王期末成绩为x分，
根据题意，得：90×+80×+≥85
解得：x≥86
即小王期末成绩不低于86分。
故答案为： B.
【分析】设小王期末成绩为x分，根据权重即可得出加权平均数为90×+80×+，进而根据期末总评不低于85分，可得出x≥86，即小王期末成绩不低于86分。
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，且沿折叠后与重合．
∴AD=AB，
∴∠BAD=∠B，
∵．
∴可设∠CAD=4x°，∠BAD=∠B=7x°，
∵，
∴4x+7x+7x=90，
解得：x=5
∴∠CAD=4x°=20°
∴∠ADC=90°-20°=70°。
故答案为：A .
【分析】首先根据轴对称的性质得出AD=AB，进而得出∠BAD=∠B，再根据．可设∠CAD=4x°，∠BAD=∠B=7x°，根据直角三角形两锐角互余，可得出4x+7x+7x=90，进一步可得出∠CAD=4x°=20°，进而得出∠ADC=90°-20°=70°。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接BC，AO，
根据题意，可得出OA=OB=OC=6cm，
∵∠BAC=90°，
∴∠B=∠BAO=45°，
∴AB=OA=6，
∴S扇形ABC= 90×π×（62）2360=18π ∴S阴影=π×62 -18 π =18 π （cm2）
故答案为： B.
【分析】连接BC，AO，首先得出三角形ABO是等腰直角三角形，进而得出根据勾股定理得出AB=OA=6，然后根据扇形面积计算公式得出扇形ABC的面积，进而再从圆面积中减去扇形面积，即可得出阴影部分的面积。
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解： 如图，连接CC'，
∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC'，BC=6，AB= AC = 5，
∴A'B =AB = AC = A'C' = 5，BC' = BC =6，∠CBC'= 60°，
∴△BCC'为等边三角形，点A'在线段BC'的垂直平分线上，
∴CB=CC'，
∴点C在线段BC'的垂直平分线上，
∴A'C垂直平分BC'，
∴Bo =BC' = 3，
∴CO = = 3，A'O = = 4，
∴A'C = A'O+CO =4+3.
故答案为：C.
【分析】如图，连接CC'，首先根据旋转的性质得出△BCC'为等边三角形，可得出CB=CC'，再根据垂直平分线的判定，得出A'C垂直平分BC'，进而根据勾股定理求得CO = = 3，A'O = = 4，进而即可得出A'C = A'O+CO =4+3.
10．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
　 天 辽 地 宁
天 　 （天，辽） （天，地） （天，宁）
辽 （辽，天） 　 （辽，地） （辽，宁）
地 （地，天） （地，辽） 　 （地，宁）
宁 （宁，天） （宁，地） （宁，地） 　
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中取出的两个小球上的汉字能组成“辽宁”的结果有(辽，宁)，(宁，辽)，共2种.
∴P(取出的两个小球上的汉字能组成“辽宁”)=
故答案为：C .
【分析】首先列表进行分析，共有12种等可能的结果，其中取出的两个小球上的汉字能组成“辽宁”的结果有(辽，宁)，(宁，辽)，共2种.进而根据概率计算公式，即可得出答案。
11．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数的其他应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为 吸收的水分（单位：毫升）与生长时间（单位：天）近似满足一次函数关系．
可设y=kx+b，
由表格数据可知：当x=10时，y=2.5；当x=20时，y=5.0，
所以
解得：
所以y=0.25x（10＜x＜40），
所以A不正确；
当x=38时，y=0.25×38=9.5，所以B正确；
因为k=0.25＞0，所以y随x的增大而增大，所以吸收的水分随生长时间的增加而增多，所以C不正确；
当x=50＞40，不符合y=0.25x（10＜x＜40），故而无法确定。
故答案为：B .
【分析】利用表中数据，根据待定系数法确定函数关系式，进而根据函数关系式，以及函数的性质，逐项进行判断，即可得出答案。
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点(m，0)在直线y2=2x+ k上，
代入得：0=2m+k
∴k=-2m
∵二次函数y1 =x2 + bx +c与x轴交于(m，0)、(n，0)，
所以可写成：y1=(x-m)(x-n)=x2-(m +n)x+mn
因为 y=y1+y2=(x-m)(x-n)+ 2x + k
把k =- 2m代入：
y=(x-m)(x-n)+2x -2m
右边因式分解：
y=(x-m)(x-n)+ 2(x-m)=(x-m)(x-n+2)
令y=0，
可得出(x-m)(x-n+2)=0，
可得：x=m或x=n-2，
函数的图象与x轴只有一个交点，
所以m=n-2
整理得：m-n=-2
故答案为：C .
【分析】首先根据点(m，0)在直线y2=2x+ k上，可得出k=-2m，再根据二次函数y1 =x2 + bx +c与x轴交于(m，0)、(n，0)，可根据交点式得出y1=(x-m)(x-n)=x2-(m +n)x+mn，进一步得出 y=y1+y2=(x-m)(x-n)+ 2x + k，进一步整理为y=(x-m)(x-n+2)，令y=0，可得出x=m或x=n-2，再根据函数的图象与x轴只有一个交点，即可得出m=n-2，进一步整理即可得出答案。
13．【答案】2.5
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：-2x2(x2+ax)+5x3+2
=-2x4-2ax3+5x3+2
=-2x4+(5-2a)x3+2
∵展开式中不含x项
∴5-2a=0
∴a=2.5
故答案为：2.5.
【分析】首先化简原式，按x的次数降幂排列，使x3项的系数为零即可求出a。
14．【答案】2
【知识点】解一元一次方程；偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：因为 ，
且，（y+3）2≥0，
所以x-5=0，y+3=0，
所以x=5，y=-3，
所以x+y=5+（-3）=2
故答案为：2 .
【分析】首先根据非负数的性质可得出x=5，y=-3，进一步求代数式x+y的值即可。
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AC于点C，交 AB于点D，
∵，．
∴∠B=30°，
∵CD⊥AC
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=30°，
∴∠BCD=∠B，
∴CD=BD
设CD=xkm，则AD=2xkm，
∵AC=1.5×2=3
∴根据勾股定理，得：（2x）2-x2=32 解得，x= 3 （负值舍去） ∴AD=2 3 ，BD=CD= 3 ，
∴AB=AD+BD=23 + 3 =3 3 .
故答案为： .
【分析】过点C作CD⊥AC于点C，交 AB于点D，首先根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AD=23 ，BD=3 ，进而根据等腰三角形的判定和性质得出BD=CD= 3 ，进一步即可得出AB=AD+BD=23 + 3 =3 3 .
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：设AD的中点为O，连接OB，OC，CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，且AB =3，AD=4，
∴CD =AB =3，BC=AD=4，∠OCD =90°，
∴△OCD是直角三角形，
∵点O是AD的中点，
∴OD=OA=AD=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC= =
∵点E为矩形ABCD内一动点，且∠AED= 90°，
∵点E在以O为圆心，以2为半径的圆上(正方形ABCD内部的半圆上)，
∴OE=0D = 2，
∵点M，N分别为BE，BC的中点，
∴MN是△BCE的中位线，
∴MN=CE，
∴当CE为最小时，MN为最小，MN的最小值为CE，
根据“两点之间线段最短"得：CE +OE ≥OC，
∴CE≥0C-OE=-2，
∴MN的最小值为：=。
故答案为： .
【分析】设AD的中点为O，连接OB，OC，CE，首先根据矩形的性质得出△OCD是直角三角形，进而根据勾股定理可得出：OC= =，再根据三角形中位线定理，可得出MN=CE，可得出当CE为最小时，MN为最小，MN的最小值为CE，进而根据“两点之间线段最短"得：CE +OE ≥OC，可得出MN的最小值为：=。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算法则进行运算即可；
（2）整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（3）首先根据乘法公式进行整式的乘法运算，然后再合并同类项即可；
（4）首先分组写成平方差的形式，进行乘法运算，进一步根据完全平方公式展开，最后再合并同类项即可。
18．【答案】（1）解：如图，作，垂足为，
∵交于点，
∴，
为的中点，，
．
又∵在直角三角形中，，
．
又，
∵，
；
（2）解：过点作，交于，
，
又，
，
∴，
．
又，，
．
又，
．
在直角三角形中，，
，，
．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）如图，作，垂足为，首先根据直角三角形斜边上的中线的性质得出 ．进而根据勾股定理可得出AB=．然后再根据直角三角形面积的两种求法可得出，进而得出；
（2）过点作，交于，首先可证，得出，进而即可根据正切的定义得出．
19．【答案】（1）解：汽车：（元）
火车：（元）
因为6120元元，所以选汽车．
（2）解：设运输路程为千米，由题意得，
解得
即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）通过计算两种运输车辆的费用，可得出汽车的运费少且用时又少，故而可选择汽车；
（2）设运输路程为千米， 根据两种运输工具所需总费用相同 ，即可列出方程：，解方程，即可求解。
20．【答案】（1）解：∵为第二批月季花高度的中位数，第二批有12个数据，
∴中位数是数据按大小顺序排列是第6、7个数据的平均数，
从表格中可得：第6个数据为130，第7个数据为134，
∴，
∵为第一批月季花高度的众数，即频数最多的数据，
∴．
（2）第二批
（3）解：由表格可知，两批花原本的平均数是相等的，
∴在各去掉两棵花后，还要平均数尽可能接近，就是要去掉的花的高度和尽可能接近，
∵，
在第一批花树中，仅有
第一批去掉的两棵花树的高度为和．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（2）第一批的方差：
≈34.7
第二批的方差是：x[（125-131)2+3x(126- 131)2+2 x (130 - 131)2+5 x(134- 131)2+(139-131)2]≈18.5，
18.5<34.7，
则在这两批花树中，高度的整齐度更好的是第二批；
故答案为：第二批；
【分析】（1）根据中位数的定义，结合表中数据，即可得出答案；
（2）通过计算并比较凉皮花树的方差，即可得出答案；
（3）根据平均数不变，选取两个高度和与264cm接近的数据即可。
21．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：设，则，
∵四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）首先根据矩形的性质可得出，，，进而可根据ASA证得，进而，，即可得出四边形是平行四边形，进而根据，可得出四边形是菱形；
（2）设，则，根据菱形的性质得出，然后根据勾股定理可得出，解得，进而得出，再根据平行四边形面积计算公式即可得出 四边形的面积．
22．【答案】解：过点C作于点G，过点B作于点H，如图：
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
由题意得米，米，，，
在中，
∵，
∴，
∴米，
∵，
∴，
∴米，
在中，
∵，
∴，
∴米，
∵，
∴，
∴米，
∴米，
故、和这三段支撑构件的长度分别约为7米，1米，6米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点C作于点G，过点B作于点H，如图：首先证得四边形为矩形，可得出，，进而通过解直角三角形即可得出、和这三段支撑构件的长度。
23．【答案】（1）解：∵反比例函数（）的图象经过点和点，
∴．
∴．
∴点．
把点代入（）得，
∴．
（2）解：∵点C为反比例函数的图象上第二象限的点，
∴设．过C作轴于M，过A作轴于N．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴（正值舍去）．
∴，
∵
设，，则
．
∴．
（3）解：过点作轴的垂线，垂足为点，
，，
，
又，
是等腰直角三角形，
．
过点作轴的垂线，垂足为点，
，，
，
又，
是等腰直角三角形，
．
，
．
由勾股定理得
，
．
，以、为两个互相垂直方向，设平面内一点沿着方向对应的线段长为，沿着方向对应的线段长为，
则点可看作，点可看作．
设直线对应的关系式为，
把，代入得
，
解得，
直线对应的关系式为．
∵反比例函数的图象关于象限角平分线对称，绕原点逆时针旋转后，图象上点满足的乘积定值几何性质不变，因此曲线上任意一点在互相垂直的方向上对应的线段长度乘积仍为6．
可得关系式．
联立，
将代入中，
得，
整理得，
解得，．
当时，，当时，．
，
∴沿方向的线段长度就是点到直线的垂直距离，即点、到直线的距离分别为和，
．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据反比例函数上的点的特征，即可得出．解放乘客的a的值，进而即可得出k的值；
（2）C为反比例函数的图象上第二象限的点，可设．根据AA可证得．可得出．解得m的值，进而设，，则，
，，则根据勾股定理可得出．进而根据正弦定义即可得出．
（2）过点作轴的垂线，垂足为点，首先可证得和是等腰直角三角形，可得出，进而根据勾股定理可得出，．进而根据即可而出答案。
1 / 1广西壮族自治区梧州市藤县2026年二模数学试题
1．以下四幅图片是人工智能依据山东优秀传统文化生成的、分别为胶东瑞兽、潍青沙鸢齐都蹴鞠”、汶口八角星纹样，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A： 既不是轴对称图形又不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：是轴对称图形但不是中心对称图形，所以B不符合题意；
C：是轴对称图形但不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：既是轴对称图形又是中心对称图形，所以D符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．下列实数中，是的绝对值的是（　　）
A．2026 B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值的是 2026.
故答案为：A .
【分析】根据绝对值的定义可直接得出答案。
3．如图为小明拍摄的家中冰箱温度的显示，上面的数字为冷藏室的温度，下面的数字为冷冻室的温度，可知冷藏室比冷冻室温度高（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的减法法则；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：4-（-18）=4+18=22（℃）；
故答案为：D .
【分析】根据题意，列出算式，并进行有理数的运算，即可得出答案。
4．二元一次方程组 的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
①+②，得：3x=9
解得：x=3，
把x=3代入①，得：3-y=1，
解得：y=2.
∴
故答案为：C .
【分析】利用加法消元法解方程组，求出方程组的解即可得出答案。
5．已知直线经过点和，其中，则k的值可能为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；有理数的大小比较-直接比较法；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把（2，m)代入得：m=2k-3，把（4，n）代入得：n=4k-3，
∵mn＜0，
∴（2k-3）（4k-3）＜0，
∴①或②
解得：①无解，②
所以。
A：2＞，所以A不符合题意；
B：，所以B符合题意；
C：-1＜，所以C不符合题意；
D：-2＜，所以D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】首先根据 直线经过点和， 可得出m=2k-3，n=4k-3，进而根据mn＜0，可得出①或②，解得，然后逐项进行识别，即可得出答案。
6．某校学生体育素质总评成绩由平时、期中、期末成绩按权重比组成，若小王平时得90分，期中得80分，他想期末总评不低于85分，则小王期末成绩不低于（　　）
A．87分 B．86分 C．85分 D．84分
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：解：设小王期末成绩为x分，
根据题意，得：90×+80×+≥85
解得：x≥86
即小王期末成绩不低于86分。
故答案为： B.
【分析】设小王期末成绩为x分，根据权重即可得出加权平均数为90×+80×+，进而根据期末总评不低于85分，可得出x≥86，即小王期末成绩不低于86分。
7．如图，在中，，在同一直线上，，且沿折叠后与重合．连接，．则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，且沿折叠后与重合．
∴AD=AB，
∴∠BAD=∠B，
∵．
∴可设∠CAD=4x°，∠BAD=∠B=7x°，
∵，
∴4x+7x+7x=90，
解得：x=5
∴∠CAD=4x°=20°
∴∠ADC=90°-20°=70°。
故答案为：A .
【分析】首先根据轴对称的性质得出AD=AB，进而得出∠BAD=∠B，再根据．可设∠CAD=4x°，∠BAD=∠B=7x°，根据直角三角形两锐角互余，可得出4x+7x+7x=90，进一步可得出∠CAD=4x°=20°，进而得出∠ADC=90°-20°=70°。
8．古语有“君子无故，玉不去身”，玉在中国的文明史上有着特殊的地位，其具有仁、智、义、礼、乐、忠、信、天、地、德、道等君子的品节．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其雕刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则废料（即图2中阴影部分）的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接BC，AO，
根据题意，可得出OA=OB=OC=6cm，
∵∠BAC=90°，
∴∠B=∠BAO=45°，
∴AB=OA=6，
∴S扇形ABC= 90×π×（62）2360=18π ∴S阴影=π×62 -18 π =18 π （cm2）
故答案为： B.
【分析】连接BC，AO，首先得出三角形ABO是等腰直角三角形，进而得出根据勾股定理得出AB=OA=6，然后根据扇形面积计算公式得出扇形ABC的面积，进而再从圆面积中减去扇形面积，即可得出阴影部分的面积。
9．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（　　）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解： 如图，连接CC'，
∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC'，BC=6，AB= AC = 5，
∴A'B =AB = AC = A'C' = 5，BC' = BC =6，∠CBC'= 60°，
∴△BCC'为等边三角形，点A'在线段BC'的垂直平分线上，
∴CB=CC'，
∴点C在线段BC'的垂直平分线上，
∴A'C垂直平分BC'，
∴Bo =BC' = 3，
∴CO = = 3，A'O = = 4，
∴A'C = A'O+CO =4+3.
故答案为：C.
【分析】如图，连接CC'，首先根据旋转的性质得出△BCC'为等边三角形，可得出CB=CC'，再根据垂直平分线的判定，得出A'C垂直平分BC'，进而根据勾股定理求得CO = = 3，A'O = = 4，进而即可得出A'C = A'O+CO =4+3.
10．辽宁省文旅局通过一系列丰富多彩的文旅活动，彰显“山海有情，天辽地宁”的独特魅力，吸引越来越多的游客来到辽宁、打卡辽宁．将分别标有汉字“天”“辽”“地”“宁”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“辽宁”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
　 天 辽 地 宁
天 　 （天，辽） （天，地） （天，宁）
辽 （辽，天） 　 （辽，地） （辽，宁）
地 （地，天） （地，辽） 　 （地，宁）
宁 （宁，天） （宁，地） （宁，地） 　
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中取出的两个小球上的汉字能组成“辽宁”的结果有(辽，宁)，(宁，辽)，共2种.
∴P(取出的两个小球上的汉字能组成“辽宁”)=
故答案为：C .
【分析】首先列表进行分析，共有12种等可能的结果，其中取出的两个小球上的汉字能组成“辽宁”的结果有(辽，宁)，(宁，辽)，共2种.进而根据概率计算公式，即可得出答案。
11．生物学中，植物生长所需水分与生长时间存在一定关联．某研究小组观察某种幼苗，发现其在天内吸收的水分（单位：毫升）与生长时间（单位：天）近似满足一次函数关系．部分实验数据如下表所示，则下列说法正确的是（　　）
生长时间天 10 15 20 30
吸收水分毫升 2.5 3.75 5.0 7.5
A．该一次函数的表达式为
B．当生长时间为38天时，吸收水分为9.5毫升
C．吸收的水分随生长时间的增加而减少
D．当生长时间为50天时，吸收水分为12.5毫升
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数的其他应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为 吸收的水分（单位：毫升）与生长时间（单位：天）近似满足一次函数关系．
可设y=kx+b，
由表格数据可知：当x=10时，y=2.5；当x=20时，y=5.0，
所以
解得：
所以y=0.25x（10＜x＜40），
所以A不正确；
当x=38时，y=0.25×38=9.5，所以B正确；
因为k=0.25＞0，所以y随x的增大而增大，所以吸收的水分随生长时间的增加而增多，所以C不正确；
当x=50＞40，不符合y=0.25x（10＜x＜40），故而无法确定。
故答案为：B .
【分析】利用表中数据，根据待定系数法确定函数关系式，进而根据函数关系式，以及函数的性质，逐项进行判断，即可得出答案。
12．如图，二次函数 的图象与x轴交于点，，与直线 交于点，若函数的图象与x轴只有一个交点，则的值是（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点(m，0)在直线y2=2x+ k上，
代入得：0=2m+k
∴k=-2m
∵二次函数y1 =x2 + bx +c与x轴交于(m，0)、(n，0)，
所以可写成：y1=(x-m)(x-n)=x2-(m +n)x+mn
因为 y=y1+y2=(x-m)(x-n)+ 2x + k
把k =- 2m代入：
y=(x-m)(x-n)+2x -2m
右边因式分解：
y=(x-m)(x-n)+ 2(x-m)=(x-m)(x-n+2)
令y=0，
可得出(x-m)(x-n+2)=0，
可得：x=m或x=n-2，
函数的图象与x轴只有一个交点，
所以m=n-2
整理得：m-n=-2
故答案为：C .
【分析】首先根据点(m，0)在直线y2=2x+ k上，可得出k=-2m，再根据二次函数y1 =x2 + bx +c与x轴交于(m，0)、(n，0)，可根据交点式得出y1=(x-m)(x-n)=x2-(m +n)x+mn，进一步得出 y=y1+y2=(x-m)(x-n)+ 2x + k，进一步整理为y=(x-m)(x-n+2)，令y=0，可得出x=m或x=n-2，再根据函数的图象与x轴只有一个交点，即可得出m=n-2，进一步整理即可得出答案。
13．若-2x2（x2+ax）+5x3+2的展开式中不含x3项，则a=　 　 .
【答案】2.5
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：-2x2(x2+ax)+5x3+2
=-2x4-2ax3+5x3+2
=-2x4+(5-2a)x3+2
∵展开式中不含x项
∴5-2a=0
∴a=2.5
故答案为：2.5.
【分析】首先化简原式，按x的次数降幂排列，使x3项的系数为零即可求出a。
14．已知 ，则　 　．
【答案】2
【知识点】解一元一次方程；偶次方的非负性；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：因为 ，
且，（y+3）2≥0，
所以x-5=0，y+3=0，
所以x=5，y=-3，
所以x+y=5+（-3）=2
故答案为：2 .
【分析】首先根据非负数的性质可得出x=5，y=-3，进一步求代数式x+y的值即可。
15．某山区城市所辖的，两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在，两城间建造一座特大型跨江大桥．如图，观测点与小城在江的同一侧，从小城释放的一架无人机以千米/分钟的速度径直飞往观测点，分钟后到达点，同时测得，．则，两座小城相距　 　千米．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AC于点C，交 AB于点D，
∵，．
∴∠B=30°，
∵CD⊥AC
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=30°，
∴∠BCD=∠B，
∴CD=BD
设CD=xkm，则AD=2xkm，
∵AC=1.5×2=3
∴根据勾股定理，得：（2x）2-x2=32 解得，x= 3 （负值舍去） ∴AD=2 3 ，BD=CD= 3 ，
∴AB=AD+BD=23 + 3 =3 3 .
故答案为： .
【分析】过点C作CD⊥AC于点C，交 AB于点D，首先根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AD=23 ，BD=3 ，进而根据等腰三角形的判定和性质得出BD=CD= 3 ，进一步即可得出AB=AD+BD=23 + 3 =3 3 .
16．如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：设AD的中点为O，连接OB，OC，CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，且AB =3，AD=4，
∴CD =AB =3，BC=AD=4，∠OCD =90°，
∴△OCD是直角三角形，
∵点O是AD的中点，
∴OD=OA=AD=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC= =
∵点E为矩形ABCD内一动点，且∠AED= 90°，
∵点E在以O为圆心，以2为半径的圆上(正方形ABCD内部的半圆上)，
∴OE=0D = 2，
∵点M，N分别为BE，BC的中点，
∴MN是△BCE的中位线，
∴MN=CE，
∴当CE为最小时，MN为最小，MN的最小值为CE，
根据“两点之间线段最短"得：CE +OE ≥OC，
∴CE≥0C-OE=-2，
∴MN的最小值为：=。
故答案为： .
【分析】设AD的中点为O，连接OB，OC，CE，首先根据矩形的性质得出△OCD是直角三角形，进而根据勾股定理可得出：OC= =，再根据三角形中位线定理，可得出MN=CE，可得出当CE为最小时，MN为最小，MN的最小值为CE，进而根据“两点之间线段最短"得：CE +OE ≥OC，可得出MN的最小值为：=。
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算法则进行运算即可；
（2）整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减；
（3）首先根据乘法公式进行整式的乘法运算，然后再合并同类项即可；
（4）首先分组写成平方差的形式，进行乘法运算，进一步根据完全平方公式展开，最后再合并同类项即可。
18．如图，在中，交于点，为的中点，连结，，．
（1）作，垂足为，求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）解：如图，作，垂足为，
∵交于点，
∴，
为的中点，，
．
又∵在直角三角形中，，
．
又，
∵，
；
（2）解：过点作，交于，
，
又，
，
∴，
．
又，，
．
又，
．
在直角三角形中，，
，，
．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）如图，作，垂足为，首先根据直角三角形斜边上的中线的性质得出 ．进而根据勾股定理可得出AB=．然后再根据直角三角形面积的两种求法可得出，进而得出；
（2）过点作，交于，首先可证，得出，进而即可根据正切的定义得出．
19．我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下：
运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元）
汽车 10 80 2 1000
火车 8 100 4 2000
假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时．
（1）当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？
（2）当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？
【答案】（1）解：汽车：（元）
火车：（元）
因为6120元元，所以选汽车．
（2）解：设运输路程为千米，由题意得，
解得
即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）通过计算两种运输车辆的费用，可得出汽车的运费少且用时又少，故而可选择汽车；
（2）设运输路程为千米， 根据两种运输工具所需总费用相同 ，即可列出方程：，解方程，即可求解。
20．月季作为我市的市花，被广泛种植，形成独特的月季文化景观．某校为了美化校园，用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度（单位：），数据整理如下：
a．两批月季花树高度的频数：
121 125 126 130 134 138 139
第一批 1 3 1 0 4 3 0
第二批 0 1 3 2 5 0 1
b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
第一批 131 134
第二批 131 m 134
（1）写出表中，的值；
（2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是　 　（填“第一批”或“第二批”）；
（3）根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为和的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是多少？
【答案】（1）解：∵为第二批月季花高度的中位数，第二批有12个数据，
∴中位数是数据按大小顺序排列是第6、7个数据的平均数，
从表格中可得：第6个数据为130，第7个数据为134，
∴，
∵为第一批月季花高度的众数，即频数最多的数据，
∴．
（2）第二批
（3）解：由表格可知，两批花原本的平均数是相等的，
∴在各去掉两棵花后，还要平均数尽可能接近，就是要去掉的花的高度和尽可能接近，
∵，
在第一批花树中，仅有
第一批去掉的两棵花树的高度为和．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（2）第一批的方差：
≈34.7
第二批的方差是：x[（125-131)2+3x(126- 131)2+2 x (130 - 131)2+5 x(134- 131)2+(139-131)2]≈18.5，
18.5<34.7，
则在这两批花树中，高度的整齐度更好的是第二批；
故答案为：第二批；
【分析】（1）根据中位数的定义，结合表中数据，即可得出答案；
（2）通过计算并比较凉皮花树的方差，即可得出答案；
（3）根据平均数不变，选取两个高度和与264cm接近的数据即可。
21．如图，在矩形中，点，分别在边、上，是四边形对角线的交点，且，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：设，则，
∵四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）首先根据矩形的性质可得出，，，进而可根据ASA证得，进而，，即可得出四边形是平行四边形，进而根据，可得出四边形是菱形；
（2）设，则，根据菱形的性质得出，然后根据勾股定理可得出，解得，进而得出，再根据平行四边形面积计算公式即可得出 四边形的面积．
22．为推进国产大飞机的研发与应用，某技术中心进行某型号飞机机翼的模拟设计．工程师需要根据设计图纸计算关键支撑结构的长度，以确保其空气动力学性能．机翼（如图①所示）的简化设计图（横截面如图②）中，和是两条垂直于水平线的垂线段，点B在上，点C在上，米，米．线段与水平线成角，线段与水平线成角．请求出图中、和这三段支撑构件的长度（结果取整数）．参考数据：，．
【答案】解：过点C作于点G，过点B作于点H，如图：
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
由题意得米，米，，，
在中，
∵，
∴，
∴米，
∵，
∴，
∴米，
在中，
∵，
∴，
∴米，
∵，
∴，
∴米，
∴米，
故、和这三段支撑构件的长度分别约为7米，1米，6米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点C作于点G，过点B作于点H，如图：首先证得四边形为矩形，可得出，，进而通过解直角三角形即可得出、和这三段支撑构件的长度。
23．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，）在第一象限的图像经过点、．
（1）求a、k的值；
（2）如图2，C为反比例函数在第二象限图像上的一点，连接、、，若，求的值；
（3）如图3，将反比例函数在第一象限的图像，绕坐标原点O逆时针旋转后得到的图形记作曲线l，过、的直线，与曲线l相交于点M、N，求的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数（）的图象经过点和点，
∴．
∴．
∴点．
把点代入（）得，
∴．
（2）解：∵点C为反比例函数的图象上第二象限的点，
∴设．过C作轴于M，过A作轴于N．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴（正值舍去）．
∴，
∵
设，，则
．
∴．
（3）解：过点作轴的垂线，垂足为点，
，，
，
又，
是等腰直角三角形，
．
过点作轴的垂线，垂足为点，
，，
，
又，
是等腰直角三角形，
．
，
．
由勾股定理得
，
．
，以、为两个互相垂直方向，设平面内一点沿着方向对应的线段长为，沿着方向对应的线段长为，
则点可看作，点可看作．
设直线对应的关系式为，
把，代入得
，
解得，
直线对应的关系式为．
∵反比例函数的图象关于象限角平分线对称，绕原点逆时针旋转后，图象上点满足的乘积定值几何性质不变，因此曲线上任意一点在互相垂直的方向上对应的线段长度乘积仍为6．
可得关系式．
联立，
将代入中，
得，
整理得，
解得，．
当时，，当时，．
，
∴沿方向的线段长度就是点到直线的垂直距离，即点、到直线的距离分别为和，
．
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据反比例函数上的点的特征，即可得出．解放乘客的a的值，进而即可得出k的值；
（2）C为反比例函数的图象上第二象限的点，可设．根据AA可证得．可得出．解得m的值，进而设，，则，
，，则根据勾股定理可得出．进而根据正弦定义即可得出．
（2）过点作轴的垂线，垂足为点，首先可证得和是等腰直角三角形，可得出，进而根据勾股定理可得出，．进而根据即可而出答案。
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