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2026徐州专版中考数学
考点强化练21　等腰、等边与直角三角形
基础过关
1.如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是(　　)
A.3 B.6
C. D.3
2.若△ABC的三边长a、b、c满足(a-b)2++|c-3|=0,则△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
3.若等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm,则该等腰三角形的周长为　　　cm.
4.(2025·四川资阳中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B,点E在线段AB上,CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形,可增加的一个条件是________.
5.(2024·徐州新沂月考)如图,点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.
(1)若∠BAC=100°,则∠B=　　　　;
(2)求证:BD=CE.
6.(2024·徐州期中)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠DCB=90°,E、F分别是BD、AC的中点,连接EF.
(1)请你猜测EF与AC的位置关系,并给予证明;
(2)当AC=8,BD=10时,求EF的长.
能力提升
7.(2025·陕西中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD为AB边上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8.(2025·安徽中考)如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE=,则AC的长是(　　)
A.4 B.6 C.2 D.3
9.如图,在等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,延长BC至点E,使CE=CD.若DE=4,则AB= (　　)
A.4 B.6
C.8 D.8
10.一种遮阳伞如图,遮阳伞支架AB垂直于地面BC,点D在AB上,AD=0.6 m,D、E、F三点共线,DF=3DE=3AE.当太阳光线与DF垂直时,它与地面的夹角正好为60°,则DF落在地面上的投影GH=　　　　m.
11.(2023·徐州邳州月考)如图,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC至点E,使CE=CD,DF⊥BE,垂足为F.
(1)求证:DB=DE;
(2)若CF=4,求△ABC的周长.
创新拓展
12.两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作,∠ABC=90°,AB=40 m,BC=30 m,直线BD为生产流水线,且BD平分△ABC的面积(即D为AC的中点).机器人甲从点A出发,沿A→B的方向以v1(单位:m/min)的速度匀速运动,其所在位置用点P表示,机器人乙从点B出发,沿B→C→D的方向以v2(单位:m/min)的速度匀速运动,其所在位置用点Q表示.两个机器人同时出发,设机器人运动的时间为t(单位:min),记点P到BD的距离(即垂线段PP'的长)为d1(单位:m),点Q到BD的距离(即垂线段QQ'的长)为d2(单位:m).当机器人乙到达终点时,两个机器人立即同时停止运动,此时d1=7.5 m.d2与t的部分对应数值如表(t1t/min 0 t1 t2 5.5
d2/m 0 16 16 0
(1)机器人乙运动的路线长为　　　m;
(2)求t2-t1的值;
(3)当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等(即d1=d2)时,求t的值.
考点强化练21　等腰、等边与直角三角形
基础过关
1.如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是(　　)
A.3 B.6
C. D.3
答案:A
解析:∵D是Rt△ABC的斜边AC的中点,AC=6,∴BD=CD=AD=AC=3,又∠BDC=60°,
∴△BCD为等边三角形,∴BC=BD=3.故选A.
2.若△ABC的三边长a、b、c满足(a-b)2++|c-3|=0,则△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
答案:D
解析:由题意,得解得∵a2+b2=c2,且a=b,∴△ABC为等腰直角三角形.故选D.
3.若等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm,则该等腰三角形的周长为　　　cm.
答案:10
解析:①当腰长是2 cm,底边长是4 cm时,2+2=4,不能构成三角形;②当底边长是2 cm,腰长是4 cm时,能构成三角形.故该等腰三角形的周长为4+4+2=10(cm).
4.(2025·四川资阳中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B,点E在线段AB上,CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形,可增加的一个条件是________.
答案:∠BCE=∠B(答案不唯一)
解析:要使△BCE成为等边三角形,可增加的一个条件是∠BCE=∠B,理由如下:
∵CE∥DA,∴∠A=∠BEC,
又∠A=∠B,∴∠B=∠BEC.
∵∠BCE=∠B,∴∠B=∠BCE=∠BEC,
∴△BCE为等边三角形.
5.(2024·徐州新沂月考)如图,点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.
(1)若∠BAC=100°,则∠B=　　　　;
(2)求证:BD=CE.
(1)解:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠BAC=100°,
∴∠B=×(180°-100°)=40°.
故答案为40°.
(2)证明:如图,过点A作AP⊥BC于点P.
∵AB=AC,
∴BP=PC.
∵AD=AE,∴DP=PE,
∴BP-DP=PC-PE,∴BD=CE.
6.(2024·徐州期中)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠DCB=90°,E、F分别是BD、AC的中点,连接EF.
(1)请你猜测EF与AC的位置关系,并给予证明;
(2)当AC=8,BD=10时,求EF的长.
解:(1)EF⊥AC.理由如下:
如图,连接AE、CE,
∵∠BAD=90°,∠DCB=90°,E为BD的中点,
∴AE=BD,CE=BD,
∴AE=CE.
又F是AC的中点,∴EF⊥AC.
(2)∵AC=8,BD=10,E、F分别是BD、AC的中点,∴AE=CE=5,CF=4.
由(1)知EF⊥AC,
∴EF==3.
能力提升
7.(2025·陕西中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD为AB边上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案:C
解析:∵∠ACB=90°,CD为AB边上的中线,∴CD=AB,∴CD=AD=BD,∴∠B=∠BCD.∵AD=CD,DE⊥AC,∴∠ADE=∠CDE.∵∠A+∠ADE=90°,∠A+∠B=90°,∴图中与∠A互余的角共有4个.故选C.
8.(2025·安徽中考)如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE=,则AC的长是(　　)
A.4 B.6 C.2 D.3
答案:B
解析:∵∠A=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=×(180°-120°)=30°.∵ED⊥AC,∴∠CDE=90°.在Rt△EDC中,tan C=tan 30°=,∴DC=3.又D是AC的中点,∴AC=2DC=6.故选B.
9.如图,在等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,延长BC至点E,使CE=CD.若DE=4,则AB= (　　)
A.4 B.6
C.8 D.8
答案:C
解析:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°.∵BD是AC边上的中线,∴BD⊥AC,AD=CD=AC,∠ABD=∠CBD=30°,∴AB=2AD.∵CE=CD,∴∠E=∠CDE,又∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E=60°,∴∠E=30°,∴∠CBD=∠E,∴BD=DE=4.在Rt△ABD中,由勾股定理,得AB2-AD2=BD2,即(2AD)2-AD2=(4)2,解得AD=4,∴AB=2AD=8.故选C.
10.一种遮阳伞如图,遮阳伞支架AB垂直于地面BC,点D在AB上,AD=0.6 m,D、E、F三点共线,DF=3DE=3AE.当太阳光线与DF垂直时,它与地面的夹角正好为60°,则DF落在地面上的投影GH=　　　　m.
答案:
解析:如图,作EM⊥AD于点M,GN⊥FH于点N,
∴∠MED+∠MDE=90°.
∵∠EDG=90°,
∴∠MDE+∠BDG=90°,
∴∠MED=∠BDG.
∵DG∥FH,∴∠DGB=∠FHG=60°,
∴∠MED=∠BDG=90°-∠DGB=30°.
∵AE=DE,∴DM=AD=0.3 m,
∴DE=2DM=0.6 m,
∴DF=3DE=1.8 m.
∵∠FDG=∠F=∠GNF=90°,
∴四边形DGNF是矩形,
∴GN=DF=1.8 m.
在Rt△GNH中,∵∠GHN=60°,
∴GH=(m).
11.(2023·徐州邳州月考)如图,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC至点E,使CE=CD,DF⊥BE,垂足为F.
(1)求证:DB=DE;
(2)若CF=4,求△ABC的周长.
(1)证明:∵△ABC为等边三角形,BD是中线,
∴∠ACB=60°,∠CBD=∠ABC=30°,
又CE=CD,∴∠CDE=∠E=∠ACB=30°,∴∠CBD=∠E=30°,∴DB=DE.
(2)解:∵DF⊥BE,∴∠DFC=90°,∠FDC=90°-∠FCD=30°.
∵CF=4,∴DC=2CF=8.
∵△ABC为等边三角形,BD是中线,
∴AB=BC=AC=2DC=16,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=3×16=48.
创新拓展
12.两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作,∠ABC=90°,AB=40 m,BC=30 m,直线BD为生产流水线,且BD平分△ABC的面积(即D为AC的中点).机器人甲从点A出发,沿A→B的方向以v1(单位:m/min)的速度匀速运动,其所在位置用点P表示,机器人乙从点B出发,沿B→C→D的方向以v2(单位:m/min)的速度匀速运动,其所在位置用点Q表示.两个机器人同时出发,设机器人运动的时间为t(单位:min),记点P到BD的距离(即垂线段PP'的长)为d1(单位:m),点Q到BD的距离(即垂线段QQ'的长)为d2(单位:m).当机器人乙到达终点时,两个机器人立即同时停止运动,此时d1=7.5 m.d2与t的部分对应数值如表(t1t/min 0 t1 t2 5.5
d2/m 0 16 16 0
(1)机器人乙运动的路线长为　　　m;
(2)求t2-t1的值;
(3)当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等(即d1=d2)时,求t的值.
解:(1)∵∠ABC=90°,AB=40 m,BC=30 m,
∴AC==50(m).
又D为AC中点,∴CD=AC=25 m.
∵BC+CD=30+25=55(m),
∴机器人乙运动的路线长为55 m.
故答案为55.
(2)根据题意,得v2==10(m/min),
∵在△ABC中,∠ABC=90°,D为AC中点,
∴BD=CD=AD=25 m,
∴∠ABD=∠A,∠DBC=∠C,
∴sin∠ABD=sin∠A=,sin∠DBC=sin C=.
当点Q在BC上时,d2=BQ·sin∠DBC=10t×=8t(m),∴8t1=16,解得t1=2.
当点Q在CD上时,作AH⊥BD,垂足为H(如图),
则AH=AB·sin∠ABD=40×=24(m).
∵∠CDB=∠ADH,
∴sin∠CDB=sin∠ADH=,
∴d2=QD·sin∠CDB=(55-10t)×t,∴t2=16,解得t2=.
∴t2-t1=-2=.
(3)当t=5.5 min时,d1=7.5 m,
此时,BP==12.5(m),
∴AP=AB-BP=40-12.5=27.5(m),
∴v1==5(m/min),
∴d1=BP·sin∠ABD=(40-5t)×=24-3t(m).
当点Q在BC上时,由d1=d2,得24-3t=8t,解得t=;
当点Q在CD上时,由d1=d2,得24-3t=t,解得t=.
∴t=或t=.
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