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深圳福田区莲花中学2026年初三数学三模试卷
1．在学校足球比赛中，如果某班足球队进3个球记作+3个，那么该队失2个球记作（　　）
A．+2个 B．-2个 C．+3个 D．-3个
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 失2个球记作 ：-2
故答案为：B
【分析】根据正负数的意义即可得出答案。
2．下列四幅作品分别代表二十四节气中的“春分”“立夏”“秋分”“小雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A：不是中心对称图形，所以A 不符合题意；
B：不是中心对称图形，所以B不符合题意；
C：不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：是中心对称图形，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义，逐项进行识别，即可得出答案。
3．某社区全民健身器材采购花费32000元，32000，用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 32000 =3.2.
故答案为：A。
【分析】根据绝对值大于10的数的科学记数法的规范表示方法：a（其中1≤a＜10，n为正整数，且比原整数位少1），正确表示出来即可。
4．下列计算正确的是（　　）
A．a+2b=3ab B． C．2ab·3a=6a2b D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A： a+2b不是同类项，不能合并，所以A不正确；
B：，所以B不正确；
C： 2ab·3a=6a2b ，所以C正确；
D： ，所以D不正确。
故答案为：C。
【分析】根据合并同类项法则，可得出A不正确；根据幂的乘方可得出B不正确；根据单项式乘单项式法则可得出C正确；根据完全平方公式可得出D不正确，即可得出答案。
5．骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉.已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE=69°，∠CEF=134°，则∠ADE的度数为（　　）
A．57° B．65° C．67° D．75°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥DE， ∠BCE=69°，
∴∠CED= ∠BCE=69°，
∵ ∠CEF=134°，
∴∠DEF=134°-69°=65°，
∵ AD∥EF，
∴ ∠ADE∠DEF=65°。
故答案为：B。
【分析】首先根据平行线的性质，得出∠CED= ∠BCE=69°，进而根据两角的差可得出∠DEF=134°-69°=65°，再根据平行线的性质，即可得出∠ADE∠DEF=65°。
6．如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24.则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；正弦的概念；求正弦值
【解析】【解答】解：∵ AB=25，BC=7，CA=24.
∴AB2=625，CA2+BC2=242+72=625，
∴CA2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴ sinB =.
故答案为：B。
【分析】首先根据勾股定理的逆定理可得出∠ACB=90°，进而再根据正弦的定义，即可得出答案。
7．甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花4小时，甲160小时制作手工艺品的数量与乙120小时制作手工艺品的数量相同.若甲制作一件手工艺品需要x小时，则根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲制作一件手工艺品需要x小时，
根据题意，得：
故答案为：A.
【分析】设甲制作一件手工艺品需要x小时，可得出乙制作一件手工艺品需要（x-4）小时，进而根据 甲160小时制作手工艺品的数量与乙120小时制作手工艺品的数量相同 ，即可得出方程。
8．如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=12，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=12，
∵AE是对称轴，
∴∠AEB=90°，
∵ ∠B=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴BE=AE=6，
∴EC=BC-BE=12-6，EF=BE=6，
∴CF=EF-EC=6-(12-6)=12-12。
故答案为：12-12。
【分析】首先根据菱形的性质可得出BC=AB=12，再根据等腰直角三角形的性质，得出BE=AE=6，进一步得出EC=BC-BE=12-6，进而由轴对称的性质可得出EF=BE=6，进一步即可得出CF=EF-EC=6-(12-6)=12-12。
9．因式分解：a2-6a=　 　.
【答案】a(a-6)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： a2-6a=a(a-6)，
故答案为：a(a-6).
【分析】根据直接提取公因式解答即可.
10．深港澳青少年创意设计大赛顺利收官，某参赛小组有4名深圳学生、3名港澳学生，随机抽取1名选手展示作品，恰好抽到港澳学生的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：P恰好抽到港澳学生=.
故答案为：
【分析】根据概率计算公式可直接得出答案。
11．无人机广泛应用于城市测绘，某无人机测绘点位坐标为（2，3），将该点沿x轴向右平移4个单位，平移后对应点的坐标为　 　.
【答案】（6，3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 点（2，3） 沿x轴 向右平移4个单位， 平移后对应点的坐标为 （2+4，3），即（6，3）。
故答案为：（6，3）
【分析】根据点的平移规律，即可得出答案。
12．如图，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上.若菱形ABCO的面积是4，则k的值为　 　.
【答案】-2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ 菱形ABCO的面积是4，
∴，
设点A的坐标为（x，y）（点A在第二象限）
∴xy=-2
∴k=xy=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据反比例函数的几何意义即可得出答案。
13．如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为弧AC的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F，若则AE的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；正切的概念；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：.AB是 ⊙O的 直径，
∴∠ADB=90°，
∵AH是OO的切线，
∴AB⊥AH，
∴∠BAF=90°，
∵∠FAD+∠AFB=90°，∠B+∠AFB=90°，
∴∠FAD=∠B，
在Rt△ADF中，tan∠FAD==tan B=
∴AD=
∵点D为弧AC的中点，
∴，
∴ ∠CAD=∠B，
在Rt△ADE中，∵tan∠EAD==tan B=
∴DE=
∴AE = =
故答案为：
【分析】首先根据圆周角定理的推论，得出∠ADB=90°，再根据切线的性质得出∠BAF=90°，进而即可得出∠FAD=∠B，然后根据正切的定义，可得出AD=，进而得出DE=，再根据勾股定理，即可得出AE = =。
14．计算：
【答案】解：原式=
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】首先根据算术平方根，零整数指数幂，特殊锐角的三角函数值及绝对值的性质进行化简，进而再进行实数的混合运算即可。
15．先化简，再求值：其中x=-2.
【答案】解：
=
=
=
当x=-2时：原式=
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；分式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算进行化简，进而把 x=-2. 代入化简后的式子中，求代数式的值即可。
16．学校组织七、八年级学生参加了“校园安全知识”测试（满分100分）.已知七年级有600人参加，八年级也有600人参加，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：七年级86947984719076839087
八年级88769078879375878779
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 a 90 44.4
八年级 84 87 b 36.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　，
小畅同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断小畅同学是　 　（填“七”或“八”）年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校七年级和八年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握校园安全知识的水平较好 请给出一条理由.
【答案】（1）85；87；七
（2）解：七年级优秀人数：人；
八年级：人；
360+420=780（人）
答：该校七年级和八年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数总计780人。
（3）解：八年级较好。
理由：∵七年级的方差为44.4，八年级的方差为36.6，36.6<44.4
∴八年级的成绩更稳定。
【知识点】用样本估计总体；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解： 七年级测试成绩按照从小到大的顺序重新排列为：71，76，79，83，84，86，87 ，90，90，94，
∴七年级测试成绩的中位数a为：；
八年级：88，76，90，78，87，93，75，87，87，79
其中87出现了2次，其他数据均为1次，
∴八年级测试成绩的众数b为：87；
∵七年级的中位数为85，八年级的中位数为87， 小畅同学得了86分，位于年级中等偏上水平 ，
∴ 小畅同学是 七年级学生。
故第1空答案为：85；第2空答案为：87；第3空答案为：七；
【分析】（1）根据中位数，众数的定义可分别得出a，b的值，进而再根据中位数的意义，即可判断出小畅同学所在的年级；
（2）根据样本中数据求出样本的优秀率，进而估计全体的优秀率，进而即估计出该校七年级和八年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）根据方差的意义，通过比较36.6<44.4，即可得出答案。
17．依托深汕合作区智慧农业产业园智能化深加工项目，农户把某农产品加工成甲，乙两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克甲等级农产品和4千克乙等级农产品共收入112元，销售4千克甲等级农产品和2千克乙等级农产品共收入68元.（不考虑加工损耗）
（1）求每千克甲等级农产品和每千克乙等级农产品的销售单价分别为多少元
（2）农户待加工的农产品成本为8元/千克，共6000千克农产品全部精加工为甲、乙产品后对外售卖，要求总利润不低于16000元，则至少需加工甲等级农产品多少千克
【答案】（1）解：设甲等级农产品 的销售单价为x元/千克，乙等级农产品的销售单价为y元/千克。
解得：x=12，y=10。
（2）解：设加工甲等级农产品 m千克。
利润：（12-8）m+（10-8）（6000-m）≥16000
解得：m≥2000。至少加工2000千克。
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲等级农产品 的销售单价为x元/千克，乙等级农产品的销售单价为y元/千克。根据 销售6千克甲等级农产品和4千克乙等级农产品共收入112元，销售4千克甲等级农产品和2千克乙等级农产品共收入68元.即可得出方程组。解方程组求解即可；
（2）设加工甲等级农产品 m千克。根据总利润不低于16000元，可得出不等式（12-8）m+（10-8）（6000-m）≥16000，解不等式求出解集，并进一步求得最小解即可。
18．如图1，△ABC中，∠ACB=90°.
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线射线BO，交AC于点O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，如图2，以点O为圆心，以OC的长为半径画⊙O，证明：AB是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，若求⊙O的半径r.
【答案】（1）解：如图，射线BO即为所求。
（2）证明：过O作OD⊥AB于D。
由题意可得，BO平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB，
∴OD=OC，
又OC为半径，
∴OD为半径，
∴AB是 ⊙O 的切线；
（3）解：在直角三角形ABC中：设BC=2k，AB=3k
所以AC=
在△ABC中，AC=5，
∴
解得k=，
∴BC=2k=2，AB=3，
∵BO平分∠ABC，OD⊥AB， ∠ACB=90°.
∴OC=OD，
又OB=OB，
∴Rt，
∴BD=BC=2，
∴AD=AB-BD=3-2=，
∵OA=AC-OC=5-r，
在Rt中：（5-r）2=（）2+r2，
解得：r=2.
【知识点】勾股定理；切线的判定；切线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图平分已知角，进行作图，并保留作图痕迹即可；
（2）根据圆心到直线AB的距离等于半径长，即可得出结论；
（3）利用设BC=3k，AB=3k，在△ABC中，AC=5，解得k，进而求出半径。
19．如图1，在凸六边形ABCDEF中，满足AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”。其中AB与DE，BC与EF，CD与FA叫做“主对边”；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F叫做“主对角”；AD，BE，CF叫做“主对角线”。
）
（1）【类比探究】
如图1，小明类比平行四边形性质进行研究，得出如下结论（填“是”或“否”）：
①平行六边形的三组主对边是否相等 结论：　 　；
②平行六边形的三条主对角线是否互相平分 结论：　 　.
（2）小明还想研究平行六边形的三组主对角是否相等，如图2，他给出了两种证明方法，请选择其中一种证明方法，帮他将证明过程补充完整：
选择方法 ▲ （填写“1”或“2”）
方法1：证明：如图，连接AD，BE，CF，
∵AF∥CD，
∴∠FAD= ▲ .（ ▲ ）
∵AB∥DE，
∴ ▲
∴∠BAD+∠FAD=∠ADE+∠ADC即 ▲
同理可证∠ABC=∠DEF，∠BCD= ▲ ，
∴平行六边形的三组主对角分别相等.
方法2：证明：如图，延长AB，DC交于点M，
∵AF∥CD，
∴ ▲ （ ▲ ）
∵AB∥DE，
∴ ▲
∴ ▲
同理可证∠ABC=∠E，∠BCD= ▲ ，
∴平行六边形的三组主对角分别相等.
（3）【菱六边形】
六条边都相等的平行六边形叫做"菱六边形".如图3，已知平行六边形OPQRST满足OP=PQ=QR=RS，求证：平行六边形OPQRST是菱六边形.
【答案】（1）否（主对边不一定相等）；②否（主对角线不互相平分）
（2）方法1；∠CDA（两直线平行，内错角相等）；同理可证∠ABC=∠DEF，∠BCD=∠EFA。
（3）证明：过点Q作QH平行且等于PO，连接OH，HS，
∴平行四边形PQHO是平行四边形，
∴PQ//OH，PQ =OH，
∵在平行六边形OPQRST中，PQ//ST，
∴OH//ST；
∵在平行六边形OPQRST中，PO//RS，PO=RS，
∴QH//RS，QH = RS，
∴四边形QRSH为平行四边形，
∴QR//HS，QR= HS，
∵ QR//OT，
∴HS//OT，
∴四边形HSTO为平行四边形，
∴HS =OT，OH = ST，
∴QR = OT，PQ = ST，
∵OP = PQ = QR =RS，
∴PQ = QR = RS = ST = OT = PO，
∴平行六边形OPORST是菱六边形.
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：(1)连接BE，CF，AD，BE，AD交于点O，
由图可知，平行六边形的三组主对边不相等，三条主对角线也不互相平分；
故第1空答案为：否；第2空答案为：否；
（2）(2)方法1：证明：如图2，连接AD，BE，CF，
∵AF//CD，
∴∠FAD=∠ADC.(两直线平行，内错角相等)
∵AB//DE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴ ∠BAD+∠FAD=∠ADE+∠ADC，
即∠BAF=∠CDE，
同理可证∠ABC=∠DEF，∠BCD=∠AFE，
∴平行六边形的三组主对角分别相等.
方法2：证明：如图3，延长AB，DC交于点M，
∵AF//CD，
∴∠A+∠AMD=180°，（两直线平行，同旁内角互补)
∵AB//DE，
∴ ∠D+∠AMD =90°，
∴∠A=∠D，
同理可证∠ABC=∠E，∠BCD=∠F，
∴平行六边形的三组主对角分别相等.
故答案为：1(或2)；∠ADC；两直线平行，内错角相等；∠BAD=∠EDA；∠BAF=∠CDE；∠AFE；∠A+∠AMD=180°，两直线平行，同
旁内角互补；∠D+∠AMD=90°；∠A=∠D；∠F；
【分析】（1）根据“平行六边形”的定义，结合图形，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质，逐步推理，即可得出结论；
（3）根据平行四边形的性质和判定，得出PQ = QR = RS = ST = OT = PO，进一步根据 "菱六边形" 的定义，得出结论。
20．【情境导入】
中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分。九（1）班同学在进行历史和数学跨学科学习时，进行了方案探究和任务性学习：
【数学建模】
图1是一个盖碗，图2是其截面图，盖碗高度ED=5.3cm，CE=0.3cm，碗口宽AB=6cm，茶盖的最高点D离AB的距离DO=1cm，碗体ACB呈抛物线状（碗体厚度不计）；
【任务探究】
（1）任务一：如图2，以碗口宽AB的中点为原点O，以AB所在直线为x轴，AB的中垂线DC为y轴，建立平面直角坐标系，则C点的坐标为（ ▲ ， ▲ ），A点的坐标（ ▲ ， ▲ ），并求碗体ACB的抛物线解析式；
（2）任务二：如图2，若圆弧线ADB是圆的一部分，且圆心M在y轴的负半轴上，求该圆的半径和圆心M的坐标；
（3）任务三：如图3，把盖碗中的茶水喝掉一部分后，发现水面由AB处下降了1.5cm至线段PQ处，求此时水面PQ的宽度。
【答案】（1）解：C（0，-4），A（-3，0）。
设代入A（-3，0），C（0，-4）。
解得：a=
∴
（2）解：设圆心M（0，m），半径R。利用MA=MD。
解得m=-4，半径R=5。
圆心M（0，-4）。
（3）解：水面下降1.5cm时，y=-1.5。
代入抛物线：
解得：
宽度
【知识点】点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）∵ ED=5.3cm，CE=0.3cm， DO=1cm，
∴OC=ED-CE-OD=5.3-0.3-1=4，
∴点C的坐标为：（0，-4）；
∵ AB=6cm，
∴OA=OB=，
∴A点的坐标为：（-3，0）。
故答案为：C（0，-4），A（-3，0）；
【分析】（1）结合图形，根据平面直角坐标系的位置，即可得出C（0，-4），A（-3，0）；进而根据待定系数法即可得出；
（2）设圆心M（0，m），半径R，利用MA=MD，即可得出，解得m=-4，半径R=5，即可得出圆心M（0，-4）；
（3）根据题意，可得出当水面下降1.5cm时，y=-1.5，即可得出，解方程可得出进而得出宽度
1 / 1深圳福田区莲花中学2026年初三数学三模试卷
1．在学校足球比赛中，如果某班足球队进3个球记作+3个，那么该队失2个球记作（　　）
A．+2个 B．-2个 C．+3个 D．-3个
2．下列四幅作品分别代表二十四节气中的“春分”“立夏”“秋分”“小雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．某社区全民健身器材采购花费32000元，32000，用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．a+2b=3ab B． C．2ab·3a=6a2b D．
5．骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉.已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE=69°，∠CEF=134°，则∠ADE的度数为（　　）
A．57° B．65° C．67° D．75°
6．如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24.则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
7．甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花4小时，甲160小时制作手工艺品的数量与乙120小时制作手工艺品的数量相同.若甲制作一件手工艺品需要x小时，则根据题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=12，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（　　）
A．4 B． C． D．
9．因式分解：a2-6a=　 　.
10．深港澳青少年创意设计大赛顺利收官，某参赛小组有4名深圳学生、3名港澳学生，随机抽取1名选手展示作品，恰好抽到港澳学生的概率为　 　.
11．无人机广泛应用于城市测绘，某无人机测绘点位坐标为（2，3），将该点沿x轴向右平移4个单位，平移后对应点的坐标为　 　.
12．如图，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上.若菱形ABCO的面积是4，则k的值为　 　.
13．如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为弧AC的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F，若则AE的长为　 　.
14．计算：
15．先化简，再求值：其中x=-2.
16．学校组织七、八年级学生参加了“校园安全知识”测试（满分100分）.已知七年级有600人参加，八年级也有600人参加，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：七年级86947984719076839087
八年级88769078879375878779
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 a 90 44.4
八年级 84 87 b 36.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　，
小畅同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断小畅同学是　 　（填“七”或“八”）年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校七年级和八年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握校园安全知识的水平较好 请给出一条理由.
17．依托深汕合作区智慧农业产业园智能化深加工项目，农户把某农产品加工成甲，乙两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克甲等级农产品和4千克乙等级农产品共收入112元，销售4千克甲等级农产品和2千克乙等级农产品共收入68元.（不考虑加工损耗）
（1）求每千克甲等级农产品和每千克乙等级农产品的销售单价分别为多少元
（2）农户待加工的农产品成本为8元/千克，共6000千克农产品全部精加工为甲、乙产品后对外售卖，要求总利润不低于16000元，则至少需加工甲等级农产品多少千克
18．如图1，△ABC中，∠ACB=90°.
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线射线BO，交AC于点O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，如图2，以点O为圆心，以OC的长为半径画⊙O，证明：AB是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，若求⊙O的半径r.
19．如图1，在凸六边形ABCDEF中，满足AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”。其中AB与DE，BC与EF，CD与FA叫做“主对边”；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F叫做“主对角”；AD，BE，CF叫做“主对角线”。
）
（1）【类比探究】
如图1，小明类比平行四边形性质进行研究，得出如下结论（填“是”或“否”）：
①平行六边形的三组主对边是否相等 结论：　 　；
②平行六边形的三条主对角线是否互相平分 结论：　 　.
（2）小明还想研究平行六边形的三组主对角是否相等，如图2，他给出了两种证明方法，请选择其中一种证明方法，帮他将证明过程补充完整：
选择方法 ▲ （填写“1”或“2”）
方法1：证明：如图，连接AD，BE，CF，
∵AF∥CD，
∴∠FAD= ▲ .（ ▲ ）
∵AB∥DE，
∴ ▲
∴∠BAD+∠FAD=∠ADE+∠ADC即 ▲
同理可证∠ABC=∠DEF，∠BCD= ▲ ，
∴平行六边形的三组主对角分别相等.
方法2：证明：如图，延长AB，DC交于点M，
∵AF∥CD，
∴ ▲ （ ▲ ）
∵AB∥DE，
∴ ▲
∴ ▲
同理可证∠ABC=∠E，∠BCD= ▲ ，
∴平行六边形的三组主对角分别相等.
（3）【菱六边形】
六条边都相等的平行六边形叫做"菱六边形".如图3，已知平行六边形OPQRST满足OP=PQ=QR=RS，求证：平行六边形OPQRST是菱六边形.
20．【情境导入】
中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分。九（1）班同学在进行历史和数学跨学科学习时，进行了方案探究和任务性学习：
【数学建模】
图1是一个盖碗，图2是其截面图，盖碗高度ED=5.3cm，CE=0.3cm，碗口宽AB=6cm，茶盖的最高点D离AB的距离DO=1cm，碗体ACB呈抛物线状（碗体厚度不计）；
【任务探究】
（1）任务一：如图2，以碗口宽AB的中点为原点O，以AB所在直线为x轴，AB的中垂线DC为y轴，建立平面直角坐标系，则C点的坐标为（ ▲ ， ▲ ），A点的坐标（ ▲ ， ▲ ），并求碗体ACB的抛物线解析式；
（2）任务二：如图2，若圆弧线ADB是圆的一部分，且圆心M在y轴的负半轴上，求该圆的半径和圆心M的坐标；
（3）任务三：如图3，把盖碗中的茶水喝掉一部分后，发现水面由AB处下降了1.5cm至线段PQ处，求此时水面PQ的宽度。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 失2个球记作 ：-2
故答案为：B
【分析】根据正负数的意义即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A：不是中心对称图形，所以A 不符合题意；
B：不是中心对称图形，所以B不符合题意；
C：不是中心对称图形，所以C不符合题意；
D：是中心对称图形，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义，逐项进行识别，即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 32000 =3.2.
故答案为：A。
【分析】根据绝对值大于10的数的科学记数法的规范表示方法：a（其中1≤a＜10，n为正整数，且比原整数位少1），正确表示出来即可。
4．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A： a+2b不是同类项，不能合并，所以A不正确；
B：，所以B不正确；
C： 2ab·3a=6a2b ，所以C正确；
D： ，所以D不正确。
故答案为：C。
【分析】根据合并同类项法则，可得出A不正确；根据幂的乘方可得出B不正确；根据单项式乘单项式法则可得出C正确；根据完全平方公式可得出D不正确，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥DE， ∠BCE=69°，
∴∠CED= ∠BCE=69°，
∵ ∠CEF=134°，
∴∠DEF=134°-69°=65°，
∵ AD∥EF，
∴ ∠ADE∠DEF=65°。
故答案为：B。
【分析】首先根据平行线的性质，得出∠CED= ∠BCE=69°，进而根据两角的差可得出∠DEF=134°-69°=65°，再根据平行线的性质，即可得出∠ADE∠DEF=65°。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；正弦的概念；求正弦值
【解析】【解答】解：∵ AB=25，BC=7，CA=24.
∴AB2=625，CA2+BC2=242+72=625，
∴CA2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴ sinB =.
故答案为：B。
【分析】首先根据勾股定理的逆定理可得出∠ACB=90°，进而再根据正弦的定义，即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲制作一件手工艺品需要x小时，
根据题意，得：
故答案为：A.
【分析】设甲制作一件手工艺品需要x小时，可得出乙制作一件手工艺品需要（x-4）小时，进而根据 甲160小时制作手工艺品的数量与乙120小时制作手工艺品的数量相同 ，即可得出方程。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=12，
∵AE是对称轴，
∴∠AEB=90°，
∵ ∠B=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴BE=AE=6，
∴EC=BC-BE=12-6，EF=BE=6，
∴CF=EF-EC=6-(12-6)=12-12。
故答案为：12-12。
【分析】首先根据菱形的性质可得出BC=AB=12，再根据等腰直角三角形的性质，得出BE=AE=6，进一步得出EC=BC-BE=12-6，进而由轴对称的性质可得出EF=BE=6，进一步即可得出CF=EF-EC=6-(12-6)=12-12。
9．【答案】a(a-6)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： a2-6a=a(a-6)，
故答案为：a(a-6).
【分析】根据直接提取公因式解答即可.
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：P恰好抽到港澳学生=.
故答案为：
【分析】根据概率计算公式可直接得出答案。
11．【答案】（6，3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 点（2，3） 沿x轴 向右平移4个单位， 平移后对应点的坐标为 （2+4，3），即（6，3）。
故答案为：（6，3）
【分析】根据点的平移规律，即可得出答案。
12．【答案】-2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ 菱形ABCO的面积是4，
∴，
设点A的坐标为（x，y）（点A在第二象限）
∴xy=-2
∴k=xy=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据反比例函数的几何意义即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；正切的概念；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：.AB是 ⊙O的 直径，
∴∠ADB=90°，
∵AH是OO的切线，
∴AB⊥AH，
∴∠BAF=90°，
∵∠FAD+∠AFB=90°，∠B+∠AFB=90°，
∴∠FAD=∠B，
在Rt△ADF中，tan∠FAD==tan B=
∴AD=
∵点D为弧AC的中点，
∴，
∴ ∠CAD=∠B，
在Rt△ADE中，∵tan∠EAD==tan B=
∴DE=
∴AE = =
故答案为：
【分析】首先根据圆周角定理的推论，得出∠ADB=90°，再根据切线的性质得出∠BAF=90°，进而即可得出∠FAD=∠B，然后根据正切的定义，可得出AD=，进而得出DE=，再根据勾股定理，即可得出AE = =。
14．【答案】解：原式=
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】首先根据算术平方根，零整数指数幂，特殊锐角的三角函数值及绝对值的性质进行化简，进而再进行实数的混合运算即可。
15．【答案】解：
=
=
=
当x=-2时：原式=
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；分式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先根据分式的混合运算进行化简，进而把 x=-2. 代入化简后的式子中，求代数式的值即可。
16．【答案】（1）85；87；七
（2）解：七年级优秀人数：人；
八年级：人；
360+420=780（人）
答：该校七年级和八年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数总计780人。
（3）解：八年级较好。
理由：∵七年级的方差为44.4，八年级的方差为36.6，36.6<44.4
∴八年级的成绩更稳定。
【知识点】用样本估计总体；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解： 七年级测试成绩按照从小到大的顺序重新排列为：71，76，79，83，84，86，87 ，90，90，94，
∴七年级测试成绩的中位数a为：；
八年级：88，76，90，78，87，93，75，87，87，79
其中87出现了2次，其他数据均为1次，
∴八年级测试成绩的众数b为：87；
∵七年级的中位数为85，八年级的中位数为87， 小畅同学得了86分，位于年级中等偏上水平 ，
∴ 小畅同学是 七年级学生。
故第1空答案为：85；第2空答案为：87；第3空答案为：七；
【分析】（1）根据中位数，众数的定义可分别得出a，b的值，进而再根据中位数的意义，即可判断出小畅同学所在的年级；
（2）根据样本中数据求出样本的优秀率，进而估计全体的优秀率，进而即估计出该校七年级和八年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）根据方差的意义，通过比较36.6<44.4，即可得出答案。
17．【答案】（1）解：设甲等级农产品 的销售单价为x元/千克，乙等级农产品的销售单价为y元/千克。
解得：x=12，y=10。
（2）解：设加工甲等级农产品 m千克。
利润：（12-8）m+（10-8）（6000-m）≥16000
解得：m≥2000。至少加工2000千克。
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲等级农产品 的销售单价为x元/千克，乙等级农产品的销售单价为y元/千克。根据 销售6千克甲等级农产品和4千克乙等级农产品共收入112元，销售4千克甲等级农产品和2千克乙等级农产品共收入68元.即可得出方程组。解方程组求解即可；
（2）设加工甲等级农产品 m千克。根据总利润不低于16000元，可得出不等式（12-8）m+（10-8）（6000-m）≥16000，解不等式求出解集，并进一步求得最小解即可。
18．【答案】（1）解：如图，射线BO即为所求。
（2）证明：过O作OD⊥AB于D。
由题意可得，BO平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB，
∴OD=OC，
又OC为半径，
∴OD为半径，
∴AB是 ⊙O 的切线；
（3）解：在直角三角形ABC中：设BC=2k，AB=3k
所以AC=
在△ABC中，AC=5，
∴
解得k=，
∴BC=2k=2，AB=3，
∵BO平分∠ABC，OD⊥AB， ∠ACB=90°.
∴OC=OD，
又OB=OB，
∴Rt，
∴BD=BC=2，
∴AD=AB-BD=3-2=，
∵OA=AC-OC=5-r，
在Rt中：（5-r）2=（）2+r2，
解得：r=2.
【知识点】勾股定理；切线的判定；切线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图平分已知角，进行作图，并保留作图痕迹即可；
（2）根据圆心到直线AB的距离等于半径长，即可得出结论；
（3）利用设BC=3k，AB=3k，在△ABC中，AC=5，解得k，进而求出半径。
19．【答案】（1）否（主对边不一定相等）；②否（主对角线不互相平分）
（2）方法1；∠CDA（两直线平行，内错角相等）；同理可证∠ABC=∠DEF，∠BCD=∠EFA。
（3）证明：过点Q作QH平行且等于PO，连接OH，HS，
∴平行四边形PQHO是平行四边形，
∴PQ//OH，PQ =OH，
∵在平行六边形OPQRST中，PQ//ST，
∴OH//ST；
∵在平行六边形OPQRST中，PO//RS，PO=RS，
∴QH//RS，QH = RS，
∴四边形QRSH为平行四边形，
∴QR//HS，QR= HS，
∵ QR//OT，
∴HS//OT，
∴四边形HSTO为平行四边形，
∴HS =OT，OH = ST，
∴QR = OT，PQ = ST，
∵OP = PQ = QR =RS，
∴PQ = QR = RS = ST = OT = PO，
∴平行六边形OPORST是菱六边形.
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：(1)连接BE，CF，AD，BE，AD交于点O，
由图可知，平行六边形的三组主对边不相等，三条主对角线也不互相平分；
故第1空答案为：否；第2空答案为：否；
（2）(2)方法1：证明：如图2，连接AD，BE，CF，
∵AF//CD，
∴∠FAD=∠ADC.(两直线平行，内错角相等)
∵AB//DE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴ ∠BAD+∠FAD=∠ADE+∠ADC，
即∠BAF=∠CDE，
同理可证∠ABC=∠DEF，∠BCD=∠AFE，
∴平行六边形的三组主对角分别相等.
方法2：证明：如图3，延长AB，DC交于点M，
∵AF//CD，
∴∠A+∠AMD=180°，（两直线平行，同旁内角互补)
∵AB//DE，
∴ ∠D+∠AMD =90°，
∴∠A=∠D，
同理可证∠ABC=∠E，∠BCD=∠F，
∴平行六边形的三组主对角分别相等.
故答案为：1(或2)；∠ADC；两直线平行，内错角相等；∠BAD=∠EDA；∠BAF=∠CDE；∠AFE；∠A+∠AMD=180°，两直线平行，同
旁内角互补；∠D+∠AMD=90°；∠A=∠D；∠F；
【分析】（1）根据“平行六边形”的定义，结合图形，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质，逐步推理，即可得出结论；
（3）根据平行四边形的性质和判定，得出PQ = QR = RS = ST = OT = PO，进一步根据 "菱六边形" 的定义，得出结论。
20．【答案】（1）解：C（0，-4），A（-3，0）。
设代入A（-3，0），C（0，-4）。
解得：a=
∴
（2）解：设圆心M（0，m），半径R。利用MA=MD。
解得m=-4，半径R=5。
圆心M（0，-4）。
（3）解：水面下降1.5cm时，y=-1.5。
代入抛物线：
解得：
宽度
【知识点】点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）∵ ED=5.3cm，CE=0.3cm， DO=1cm，
∴OC=ED-CE-OD=5.3-0.3-1=4，
∴点C的坐标为：（0，-4）；
∵ AB=6cm，
∴OA=OB=，
∴A点的坐标为：（-3，0）。
故答案为：C（0，-4），A（-3，0）；
【分析】（1）结合图形，根据平面直角坐标系的位置，即可得出C（0，-4），A（-3，0）；进而根据待定系数法即可得出；
（2）设圆心M（0，m），半径R，利用MA=MD，即可得出，解得m=-4，半径R=5，即可得出圆心M（0，-4）；
（3）根据题意，可得出当水面下降1.5cm时，y=-1.5，即可得出，解方程可得出进而得出宽度
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